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1、评分标准（B）20132014 第 2 学期概率统计期末试卷 B一、填空题（每空 3 分，共 21 分）1.设 A, B 为任意两事件，P (A)=0.7, P(B)=0.2, 且 BA, 则 P(A-B)= .答案：0.52. 设随机变量 X 的分布律为 则 C= .,15.03.24.041i答案：0.33. 已知随机变量 X 的分布函数为 f(x), 则 Y = 2X 1 的概率密度为 .答案： 1()2yf4. 设随机变量(X,Y )的分布律为X Y -1 00 0.25 0.151 0.4 0.2则 PXY= . 答案：0.855. 设随机变量 X 的概率密度为其,02)(xexf则
2、 X 所服从的分布为 ，E(2X+1)= .答案：参数为 0.5 或参数为 2 的指数分布，26. 已知一批零件的长度 X（单位：厘米）服从正态分布 N(,1),从中随机抽取 16 个零件，得到长度的平均值为 40 厘米，则 的置信水平为 0.90 的置信区间为 .答案：（39.59, 40.41）或 )(2zn一、单选题（每小题 3 分，共 21 分）1. 设设 A, B 为任意两事件，P(A)0, P(B)0, 且 A 与 B 相互独立，则下列说法成立的是( )(A)AB= (B) P(AB)=0 (C)P(A B)=P(A)+P(B) (D) P(AB)=P(A)P(B)答案：D2.随机
3、变量 X 的分布函数 F(x)=PX x在区间（-，+）上( )(A)处处连续 (B)必有间断点 (C)处处左连续 (D)处处右连续答案：D3. 设二维随机变量(X,Y )的概率密度为其,0,12)yxyxf则 PX+Y1=( )(A)0.5 (B)0.1 (C)0.2 (D)0.25答案：A4. 对任意两个随机变量 X 和 Y，以下选项正确的是( )(A)D(X+Y)=D(X)+D(Y) (B)E(X+Y)=E(X)+E(Y) (C)E(XY)=E(X)E(Y) (D)D(XY)=D(X)D(Y)答案：B5.设随机变量 XB(n,p), p(0,1), 当 n 充分大时，X 近似服从( )(
4、A)XN(np,np(1-p) (B)XN(p,p(1-p) (C)XN(np,p(1-p) (D)XN(p,np(1-p)答案：A6. 设 X1, X2, ，X n 是来自总体 N(0,1)的样本, 则 服从的分布为( )nii12(A)自由度为 n 的 2 分布 (B) 自由度为 n-1 的 2 分布 (C) 自由度为 n 的 T 分布 (D) 自由度为 n-1 的 T 分布答案：A7. 在假设检验中，显著性水平 是指( )(A) P接受 H0|H0 为假 (B) P拒绝 H0|H0 为真(C) P拒绝 H1|H1 为真 (D) P接受 H1|H1 为假答案：B三、解答题（共 58 分）1
5、. （本题 8 分） 仓库中有不同工厂生产的灯管，其中甲厂生产的为 1000 支，次品率为 2%；乙厂生产的为 2000 支，次品率为 3%; 丙厂生产的为 3000 支，次品率为 4%; 如果从中随机抽取一支，发现为次品，问该次品是甲厂产品的概率为多少？解：设 A, B, C 分别表示产品是由甲、乙、丙三厂生产；H 表示产品为次品. 显然 A, B, C 构成完备事件组，且由题知 %4|,3|%,2| CHPPP由 Bayes 公式，所求概率为5 分)(|)(|)(|)(|)|( CPHBPAAHAA 7 分63%4236128 分.02. （本题 8 分）某种化合物中酒精含量的百分比 X
6、是一随机变量，其分布函数为45,(),011,xF假设该化合物的成本为每升 元，而销售价格与酒精百分含量 X 有关：当 时，销售价格3C123每升 元，否则每升 元.试求：1C2(1) 随机变量 X 的密度函数 f(x);(2)每升利润 Y 的概率分布. 解：(1)由题意可知，当 时， 3 分01),1(20)()(3xdxFfX于是 X 的概率密度为4 分320(1),1(),xxf其 它(2)由题意可知，每升的利润 Y 是酒精含量的百分比 X 的函数：6 分1322,C其 它由于7 分110().41563323PXF（ ）可见每升利润 Y 的概率密度为或 8 分13230.456.8C1
7、32304C3. （本题 8 分）设随机变量 X 在区间(2, 5)内服从均匀分布，现对 X 进行三次独立观测，试求至少两次观测值大于 3 的概率.解：因为随机变量 X 在(2，5)上服从均匀分布，所以 X 的概率密度为2 分其 ,05231)(xxf事件“对 X 的观测值大于 3”的概率为4 分53dxXP设 Y 表示三次独立观测中观测值大于 3 的次数，则 ，于是32,BY8 分70)(1)(223CY4 （本题 9 分）设二维随机变量(X, Y )的联合分布律为求：(1) 判断 X, Y 是否相互独立？是否相关？并说明理由；(2) EX, EY, E(X-Y);解：X, Y 的边缘分布律
8、如下：2 分12,ip12,3jYp(1)由于 所以 X, Y 相互独立. 4 分,21,jipjiij由 X, Y 相互独立知 X, Y 不相关；6 分 1 21 1/6 1/32 1/6 1/3(2) 132EX53Y9 分()65. （本题 9 分）假设总体 X 服从正态分布 N(, 4), 由来自总体 X 的简单随机样本得样本均值为 试,X求满足 的最小的样本容量 n:|0.295P解：由于总体 X N(, 4)，所以 1 分),4(3 分0.2|0.1|XPn5 分2()要使 即使|0.95,PX()10.95,n即 查表得().7,1n,7.)6.1(由分布函数的单调增性知，只需
9、8 分.9,0n由此得 故样本容量 n 至少取 385.9 分2(10.96)384.1,n6. （本题 8 分）设总体 X 的密度函数为 求参数 a 的矩估计量，并判其其,0),(2);(xaxf断此估计量是否是参数 a 的无偏估计量.解：总体一阶矩为：3 分2020()(;)()3aaEXxfdxdx令 得参数 a 的矩估计量为,31A5 分XA31由于 所以估计量 是参数 a 的无偏估计量.8 分,3)( aXEa7. （本题 8 分） 设某次考试的学生成绩服从正态分布，其标准差为 15，从中随机的抽取 36 位考生的成绩，算得平均成绩为 66.5. 问在显著性水平=0.05 下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为 70 分？解：按题意需检验H0 ： H1 ： 2 分770此为双边检验，由于方差 2 已知，应选用 z 检验，在显著水平为 = 0.05 下，H 0 的拒绝域为= = 4 分20znxz|025. 96.|现有 n=36， ，=15， 计算得到5.6x701.966 分4.1nxz可知，z 未落入拒绝域中，故在 0.05 的显著水平下应接受 H0 ，可以认为这次考试全体考生的平均成绩为 70 分。8 分
