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1、12.4圆锥曲线的共同性质及应用【知识网络】1用联系的观点看圆锥曲线的共同性质2学会圆锥曲线几何性质的简单综合应用3进一步体会函数方程思想、化归转化思想、分类讨论思想、数形结合思想【典型例题】例1(1)若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,则的值为( )A B C D(2)曲线与曲线的 ( )A焦距相等 B 离心率相等 C焦点相同 D准线相同(3)双曲线的离心率为,双曲线的离心率为,则+的最小值为( )AB2CD4(4)已知椭圆+=1与双曲线=1(m,n,p,qR+)有共同的焦点F1、F2,P是椭圆和双曲线的一个交点,则|PF1|PF2|=矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。(5)若方程(1k)x2(3k2)y
2、2=4表示椭圆,则k的取值范围是例2双曲线C与椭圆有相同的焦点,直线y=为C的一条渐近线.(1)求双曲线C的方程;(2)过点P(0,4)的直线,交双曲线C于A,B两点,交x轴于Q点(Q点与C的顶点不重合).当,且时,求Q点的坐标.聞創沟燴鐺險爱氇谴净。例3 已知椭圆C1的方程为,双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点,而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点。残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。 (1) 求双曲线C2的方程; (2) 若直线l:与椭圆C1及双曲线C2恒有两个不同的交点,且l与C2的两个交点A和B满足(其中O为原点),求k的取值范围。酽锕极額閉镇桧猪訣锥。例4 学校科技小组在计算机上模拟
3、航天器变轨返回试验. 设计方案如图:航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为,变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以轴为对称轴、 为顶点的抛物线的实线部分,降落点为. 观测点同时跟踪航天器.彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程;(2)试问:当航天器在轴上方时,观测点测得离航天器的距离分别为多少时,应向航天器发出变轨指令?【课内练习】1双曲线离心率为2,有一个焦点与抛物线的焦点重合,则mn的值为( )ABCD2已知双曲线的中心在原点,离心率为.若它的一条准线与抛物线的准线重合,则该双曲线与抛物线的交点到原点的距离是()謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。A2+BC
4、D213方程所表示的曲线是 ( )A焦点在x轴上的椭圆 B焦点在y轴上的椭圆 C焦点在x轴上的双曲线 D焦点在 y轴上的双曲线4某圆锥曲线C是椭圆或双曲线,其中心为原点,对称轴为坐标轴,且过点A(2,2),B(,),则厦礴恳蹒骈時盡继價骚。A曲线C可以是椭圆也可以是双曲线 B曲线C一定是双曲线C曲线C一定是椭圆 D这样的曲线不存在5若直线与圆没有公共点,则以(m,n)为点P的坐标,过点P的一条直线与椭圆的公共点有_个。茕桢广鳓鯡选块网羈泪。6设圆过双曲线的右顶点和右焦点,圆心在双曲线上,则圆心到双曲线中心的距离 7如图,从点发出的光线沿平行于抛物线的轴的方向射向此抛物线上的点P,反射后经焦点F
5、又射向抛物线上的点Q,再反射后沿平行于抛物线的轴的方向射向直线再反射后又射回点M,则鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。x0=8设F1(-c,0)、F2(c,0)是椭圆+=1(ab0)的两个焦点,P是以F1F2为直径的圆与椭圆的一个交点,若PF1F2=5PF2F1,求椭圆的离心率籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。9双曲线中心在原点,坐标轴为对称轴,与圆x2y2=17交于A(4,1)若圆在点A的切线与双曲线的一条渐近线平行,求双曲线的方程預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。10垂直于x轴的直线交双曲线=1右支于M,N两点,A1,A2为双曲线的左右两个顶点,求直线A1M与A2N的交点P的轨迹方程,并指出轨迹的形状渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。1
6、2.4圆锥曲线的共同性质及应用A组1若方程表示双曲线时,这些双曲线有相同的( )A实轴长 B虚轴长 C焦距 D焦点2 P是双曲线的右支上一点,M、N分别是圆(x5)2y24和(x5)2y21上的点,则|PM|PN|的最大值为( )铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。A.6B.7C.8D.93设双曲线以椭圆长轴的两个端点为焦点,其准线过椭圆的焦点,则双曲线的渐近线的斜率为()ABCD4设02,若方程x2siny2cos=1表示焦点在y轴上的椭圆,则的取值范围是5已知双曲线的一条准线与抛物线y2=6x的准线重合,则该双曲线的离心率是6设F1、F2为曲线C1的焦点,P是曲线C2与C1的一个交点,求的值擁締凤袜备訊
7、顎轮烂蔷。7设双曲线方程为,P为双曲线上任意一点,F为双曲线的一个焦点,讨论以|PF|为直径的圆与圆x2y2=a2的位置关系贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。8已知A(2,0),B(2,0),动点P与A、B两点连线的斜率分别为和,且满足=t (t0且t1).坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。(1)求动点P的轨迹C的方程;(2)当t0时,曲线C的两焦点为F1,F2,若曲线C上存在点Q使得F1QF2=120O,求t的取值范围.B组1已知双曲线m:9x216y2=144,若椭圆n以m的焦点为顶点,以m的顶点为焦点,则椭圆n的准线方程是( )蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。A. B. C. D.2当8k17时,曲线与有相同的( )A焦
8、距 B准线 C焦点 D离心率3已知椭圆(ab0),与双曲线(m0,n0)有相同的焦点(c,0),(c,0),若c是a,m的等比中项,n2是2m2与c2的等差中项,则椭圆的离心率是( )買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄。ABCD4设椭圆,双曲线,抛物线y2=2(m+n)x(其中mn0)的离心率分别为e1、e2、e3,则e1e2与e3的大小关系是綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴。5一动圆圆心在抛物线x2=2y上,过点(0,)且恒与定直线l相切,则直线l的方程( )A. x= B. x= C. D. y= 6已知定点A(0,t)(t0),点M是抛物线y2=x上一动点,A点关于M的对称点是N(1)求N点的轨迹方程;(2)设(
9、1)中所求轨迹与抛物线y2=x交于B,C两点,求当ABAC时t的值7直线l:x2y3=0与椭圆C1:交于A,B两点,R是抛物线C2:y2=2px(p0)上一点若直线l与C2无公共点,且ABR有最小面积,求p的值和R点的坐标驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦。8设双曲线C的中心在原点,以抛物线y2=2x-4的顶点为双曲线的右焦点,抛物线的准线为双曲线的右准线.猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑。(1)试求双曲线C的方程; (2)设直线l:y=2x+1与双曲线C交于A、B两点,求|AB|; (3)对于直线y=kx+1,是否存在这样的实数k,使直线l与双曲线C的交点A、B关于直线y=ax(a为常数)对称,若存在,求出k值;若不
10、存在,请说明理由.锹籁饗迳琐筆襖鸥娅薔。12.4圆锥曲线的共同性质及应用【典型例题】例1 (1)解:椭圆的右焦点为(2,0),所以抛物线的焦点为(2,0),则,故选D(2)由知该方程表示焦点在x轴上的椭圆,由知该方程表示焦点在y轴上的双曲线,故只能选择答案A(3)C提示:用基本不等式(4)m-p 提示:分别用椭圆和双曲线的定义,并将两等式平方相减(5)(,1)提示:将问题转化成解不等式组问题例2(1)依据渐近线设双曲线方程,并用待定系数法求得双曲线方程是;(2)设Q点的坐标,用定比分点公式联列方程组,得.構氽頑黉碩饨荠龈话骛。例3、(1)设双曲线C2的方程为,则故C2的方程为(2)将由直线l与
11、椭圆C1恒有两个不同的交点得即.由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点A,B得解此不等式得由、得故k的取值范围为例4、(1)设曲线方程为,由题意可知,. . 曲线方程为. (2)设变轨点为,根据题意可知 得 ,或(不合题意,舍去). 得 或(不合题意,舍去). 点的坐标为, .答:当观测点测得距离分别为时,应向航天器发出变轨指令. 【课内练习】1A 提示:可以分别求出m,n2B提示:求出基本量3C提示:注意sin的取值范围4B提示:考虑对称性52提示:运用点到直线的距离公式后,说明点P在椭圆内6提示:可以利用距离相等求出圆心的坐标76提示:由抛物线方程得焦点坐标,进而得到P,Q的坐标,再由直线
12、QN与MN关于直线l对称,求得x0輒峄陽檉簖疖網儂號泶。88 ,.9提示:先求圆的切线方程,进而得到双曲线的渐近线方程,再用待定系数法求双曲线的方程10,a=b时表示以原点为圆心,a为半径的圆;ab时,表示焦点在x轴上的椭圆;ab时,表示焦点在y轴上的椭圆提示:设出点的坐标,写出直线方程(含参变量),结合点在曲线上,消去参数尧侧閆繭絳闕绚勵蜆贅。12.4圆锥曲线的共同性质及应用A组1D提示:焦点可以在不同的轴上2设双曲线的两个焦点分别是F1(5,0)与F2(5,0),则这两点正好是两圆的圆心,当且仅当点P与M、F1三点共线以及P与N、F2三点共线时所求的值最大,此时识饒鎂錕缢灩筧嚌俨淒。|PM
13、|PN|(|PF1|2)(|PF2|1)1019故选B3C提示:求出基本量4()()提示:二次项系数为正,且y2的分母较大5提示:依据基本量之间的关系及准线方程,分别求出a,c凍鈹鋨劳臘锴痫婦胫籴。6提示:分别应用椭圆、双曲线的定义,求出|PF1|,|PF2|,再用余弦定理恥諤銪灭萦欢煬鞏鹜錦。7当点P在双曲线的右支上时,外切;当点P在双曲线的左支上时,内切提示:用双曲线的定义及两圆相切时的几何性质鯊腎鑰诎褳鉀沩懼統庫。8(1)设点P坐标为(x,y),依题意得=ty2=t(x24)+=1轨迹C的方程为+=1(x2). (2)当1t0时,曲线C为焦点在x轴上的椭圆,设=r1,= r2, 则r1+ r2=2a=4.在F1PF2中,=2c=4, F1PF2=120,由余弦定理,得4c2=r+r2r1r2= r+r+ r1r2= (r1+r2)2r1r2(r1+r2)2()2=3a2, 16(1+t)12, t.硕癘鄴颃诌攆檸攜驤蔹。所以当t0时,曲线上存在点Q使F1QF2=120当t1时,曲线C为焦点在y轴上的椭圆,设=r1,= r2,则r1+r2=2a=4 t,在F1PF2中, =2c=4. F1PF2=120O,由余弦定理,得4c2=r+r2r1r2= r+r+ r1r2= (r1+r2)2r1r2(r1+r2)2()2=