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1、利用几何画板探索轨迹的教学研究性学习一得 研究性学习是指学生在教师的指导下，从学生生活和社会经验中，选择和确定研究专题，仿照科学研究的方法和过程，主动地获取知识，并应用知识来解决问题的学习活动。研究性学习围绕一个主题或问题，以小组学习为主要形式，学生自主进行的探索性、实践性、开放性课程。研究性学习是以问题的解决为主要形式的学习活动，问题是它的重要载体，整个学习活动以问题的自然形成序列。研究性学习更强调实践，注重体验，关注结果。其特点是内容强调开放性、学主体性、注重学生之间合作学习、讲求体验式、活动化。矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。下面通过对一个数学问题的探索，谈谈我的一点体会。教师：求曲线的方程、通过
2、方程研究曲线的性质是解析几何的两大主要问题。今天与同学们讨论一个问题：怎样探索点的轨迹。聞創沟燴鐺險爱氇谴净。问题是数学的心脏，思维从问题开始。我们先看一个具体的例子：如图1，过椭圆()的左焦点F1作弦AB。现在来研究焦点弦AB有关的问题。轨迹1 过原点O作弦AB的垂线，垂足为M，求点M的轨迹方程。 图1 图2几何画板演示：拖动主动点A在椭圆上转动或制作点A在椭圆上运动的动画按钮，跟踪点M，得到点M的轨迹是一个小圆。如图2残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。“怎样求出这个小圆的方程？”学生：按一般思路，假设弦AB所在直线的斜率为k，则AB的垂线的斜率为，列出这两条直线的方程，联立这两个方程解出交点(即垂足)
3、M的坐标，最后消去参数k就得到点M的轨迹方程。哇！好复杂。酽锕极額閉镇桧猪訣锥。学生们埋头进行着复杂的运算。其中一个学生望着投影大屏幕，既不动手，也不说话。教师：“你为什么不动手做？”学生：“我在想这个轨迹是一个圆，而且是以OF1为直径的圆，是不是有什么简单的方法做出来。噢，我知道了。一般的解题思路很容易想出来，但运算也很复杂。我有一个很好也很简单的方法：彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。因为OMAB ，所以|OM|2+|F1M|2= |OF1|2，若设点M的坐标为(x ，y)，点F1的坐标为(c，0)，则謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。x2+y2+(xc)2+y2=c2，即。这就是所求的轨迹方程。”“啊！这么简单
4、？”同学们都惊讶起来。马上又有一个学生说：“大家都被椭圆这个外表给迷惑住了。其实这个问题只与原点和点F1的坐标有关，而与椭圆的弦无任何联系。就是给定两点O与F1，过这两点作两条互相垂直的直线，求交点的轨迹方程。这当然很容易解得。”厦礴恳蹒骈時盡继價骚。教师：“很好。刚才同学们讨论得很不错。在探求点的轨迹时，一定要注意设法找出动点所满足的几何条件，寻找动点与不动点之间的几何关系。平面几何的有关结论对求点的轨迹很有用处。下面我们将问题改变一下：茕桢广鳓鯡选块网羈泪。轨迹2 如图3，求弦AB中点P的轨迹方程。”“猜猜看，点P的轨迹是什么？”不少学生已经利用几何画板演示了出来：几何画板演示：拖动主动点
5、A，得到点P的轨迹是一个小椭圆，并且这个小椭圆的长轴是线段OF1即半焦距。如图4。“真是椭圆。”学生的兴趣被调动起来。“怎样求这个小椭圆的方程？”教师在下面观察学生的解法，却发现不少学生 图3对这类问题无从下手。教师：“根据求轨迹方程的一般步骤，求哪一点的轨迹方程，就应该假设该点的坐标为(x，y)，因此先设P点坐标为(x，y)。要建立点P的坐标(x，y)满足的方程，观察图形，这里有四个点A(x1，y1)、B(x2，y2)、P、F1，其中点F1是定点，A、B、P都是动点，但点A是主动点，引起点P运动的原因是由于点A在椭圆上运动。因此要找到点P与A、B、F这三个点的坐标之间的关系。这是解决问题的关
6、键。”鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。“点P与A、B两点的坐标的关系怎样？”学生：“根据中点坐标公式得到，。”“如何将A、B、P、F1这四点的坐标联系起来？”“利用直线的斜率。”“直线AB的斜率怎样表示？”“有，还有。”“如何得到？”“”“A、B两点在哪？满足什么方程？” 图4“在椭圆上。满足，。”“知道怎样求了吗？”学生很快得到下列解法(经过整理)：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，则，因为点A、B都在椭圆上，则 ，两式相减得 ，于是有 ，化简得 ， 此即为所求的轨迹方程。教师：“以上解法是很典型的。这里设点A、B的坐标，但并不需要求出，只是利用A、B的坐标进行过渡。这是解析几何中常
7、用的一种求轨迹方法设而不求。寻找动点之间的关系是求轨迹问题的关键。还有其它解法没有？”籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。一学生：“因为直线AB经过点F1，可以设直线AB的方程为y=k(x+c)，与椭圆方程联立解方程组得出A、B两点的坐标”預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。另一学生：“不必解出A、B的坐标，将直线AB的方程为y=k(x+c)代入椭圆方程得到的一元二次方程的两根就是点A、B的横坐标x1，x2，正好可以利用韦达定理得到，将点A、B的横坐标都表示为直线AB的斜率k的函数，消去参数k就行了。”渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。教师：“很好。请同学们将解法写出来。”以下是学生的另一种解法(经整理)：解法二：假设直线AB的斜率
8、为k，则直线AB的方程为y=k(x+c)，代入椭圆方程得 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，则，=， 由得，代入y=k(x+c)得，整理得 ， 即为所求的方程。学生：“我改变原椭圆的长轴或短轴的长，所求轨迹的形状也随着改变了，但这两个椭圆的形状仍然十分相似，也不知有没有必然的联系？”铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。学生：“与的比例正好等于，哇！我发现这两个椭圆的离心率是一样的！因此它们的形状相同。”教师：“很好。看来大家已经掌握了求轨迹的关键寻找被动点与主动点之间的关系。刚才所探索的都是弦AB上特殊点的轨迹。同学们能否利用几何画板探索其它点的轨迹？请大家根据这个椭圆及弦AB，自行发现问
9、题，提出问题和解决问题。”擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。学生们立即投入到探索中。一位学生：轨迹3“在弦AB上任意取一点Q，跟踪点Q，动画哇！怎么点Q的轨迹是这样的？”不少学生也发现了同样的问题。教师将这位学生计算机上的画面切换到大屏幕，几何画板演示：在弦AB上任取一点Q，跟踪点Q，拖动主动点A，取到如下几何图形(如图57所示)：贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。 图5 图6 图7坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。“呀！这是什么图形？”“怎么会有这样的图形？”“自学习解析几何以来还从没见过这样的图形。”“该给这个轨迹起个什么名字呢？”学生们发出惊叹。拖动点Q，发现点Q的轨迹也发生变化。当点Q接近中点P时，点Q的轨迹图形接近于中
10、点P的轨迹小椭圆(如图6)，而当点Q接近于点A或B时，轨迹图形就接近于大椭圆(如图7)。蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。轨迹4 “老师，我发现，如果将弦AB的两端A、B分别与椭圆长轴两个端点A1、A2连起来，则这两条直线A2A与A1B的交点C好象在椭圆的准线上。”另一个学生叫起来。買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄。“老师，点Q的轨迹不是我们所熟悉的圆、椭圆、双曲线或抛物线，其轨迹方程一定很复杂。点C的轨迹这么简单，那么应该可以求出其方程吧。”綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴。教师：“试试看吧。”采取常规方法“交轨法”求解：设直线AA2、BA1的方程分别为y = k1(xa)，y = k2(x+a)，将AA2的方程代入椭圆方程整
11、理得,此方程的两根是A、A2的横坐标x1与a，故可求得A(x1，y1)点坐标为,图8同理可求得B(x2，y2)点坐标为。由A、F1、B三点共线可得，即 ，将A、B两点坐标代入并整理得a2(a+c)k12k2 + a2(c-a)k1k22 + b2(a+c)k1 + b2(c-a)k2 = 0，驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦。将，代入上式得，分解因式得 ，因为直线AA2、BA1的交点在椭圆外，所以，故 ， 即。即为直线AA2、BA1的交点的轨迹方程，而这就是椭圆的准线方程。“同样的道理，直线A2B与A1A的交点D也在准线上。”“老师，不管C、D两点在左准线上怎样运动，CF1D是一个定值。如图9所示。”又一
12、个学生发现了一个结论。同学们利用上个问题的解决方法，很快证明了出来。教师：“很高兴看到你们能探索出这么多 图9结论出来。利用几何画板，你们还能探索出什么结论吗？如果是圆、椭圆等常见轨迹，请同学们课后尽量给出证明。”轨迹5 “老师，如图10作OAB的重心G，其轨迹也是一个椭圆。”一位学生说。(以下是学生课后提供的解答过程：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，G(x，y)，AB中点为M(x0，y0)，则，由，得，此即为直线AB的斜率k， 图10又 ， 整理得. 故OAB重心G的轨迹方程为：。)下面是学生们得到的几条奇形怪状的曲线：轨迹6 “OAB的内心的轨迹是一条鸡蛋形曲线(如图11所示)。”轨
13、迹7 “OAB的垂心的轨迹是一条形状的曲线(如图12所示)。” 图11 图12轨迹8“OAB的外心的轨迹是一条反形状的曲线(如图13所示)。”轨迹9“OAB中，过点A作OB的垂线，垂足的轨迹是两叶花卉形(如图14所示)。” 图13 图14轨迹10“老师，如图15作ABF2的重心G，其轨迹也是一个椭圆。”(以下是学生课后的解答：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，G(x，y)，则由F2(c，0)与G(x，y)可得AB中点M的坐标为，猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑。因为 ，所以 ，整理得 ，即 。此即为ABF2的重心G的轨迹方程。) 图15又是几条奇妙的曲线：轨迹11“ABF2的内心的轨迹是与椭圆相似的一
14、条曲线(如图16所示)。”轨迹12“ABF2的垂心的轨迹是一条形状的曲线(如图17所示)。”轨迹13“ABF2的外心的轨迹是一条反形状的曲线(如图18所示)。”轨迹14“ABF2中，过点A作BF2的垂线，垂足的轨迹是两叶花卉形(如图19所示)。” 图16 图17图18 图19轨迹1518“延长AF2交椭圆于另一点C，联BF2 ，ABC的重心、内心、垂心、外心的轨迹都是一不知名的曲线(如图2023所示)。”锹籁饗迳琐筆襖鸥娅薔。 图20 图21图22 图23“老师，椭圆与双曲线、抛物线都是圆锥曲线，它们有很多相似的性质。以上问题在双曲线与抛物线中是不是也具有相似的结论？”“问得好。同学们探讨一下这位
