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1、1,数学物理方程,数学物理方程主要是描述各种物理、力学等自然现象的偏微分方程和积分方程，本课程只介绍其最基本的内容，即三大类二阶线性偏微分方程方程的基本性质及其求解方法。,2,第九章典型方程与定解问题,本章将介绍三大类偏微分方程的来由、偏微分方程定解问题的提法、偏微分方程的简单分类和线性偏微分方程的简单性质等基本内容。,3,9.1 典型方程的建立,波动方程的导出,设有一根两端拉紧的均匀柔软细弦，其长为L。当弦作微小横振动时，求弦上各点的运动规律(不妨设弦的两端是固定的)。,在弦作微小横振动时所处的平面上建立一个直角坐标平面，使得弦的平衡位置处于x轴的区间0,L上，则其所的运动规律可用一函数u(
2、x,t)来表示。,4,9.1.1 波动方程的导出,只作微小横振动：,由牛顿力学定律：,弦作微小横振动：,从而有：,由于,所以，T=T(x,t)与x,t均无关,5,9.1.1 波动方程的导出,所以， 应该满足如下偏微分方程：,如果在t 时刻，x处受一线密度为F(x,t)，方向与u轴平行的外力作用，在弦段微元处的合力为,进而有：,6,9.1.1 波动方程的导出,所以，弦振动过程中的位移函数 满足,称此方程一维非齐次波动方程，其中 称为非齐次项或自由项，描述强迫振动过程。如果 它描述的是弦的自由振动过程：,这个方程通常也称为弦振动方程。,7,9.1.1 波动方程的导出,用类似的方法可以导出,二维波动
3、方程：,三维波动方程：,此处的 或 也称为非齐次项，若 或 ，则也称为二维或三维齐次波动方程,若记,8,9.1.1 波动方程的导出,则二维或三维波动方程可统一地记为：,同样可以类似地定义n维波动方程如下：,其中,9,9.1.2 热传导方程的导出,设某温度场内有热源，在t时刻， 处单位时间单位体积产生的热量为 ，求温度场的温度函数 满足的方程。,在温度场中任取一个有界区域，时间段,设在区域、给定的时间段 内，,通过的边界流出外的热量为 ，,内温度变化所需要的热量为 。,热源所产生的热量为,10,9.1.2 热传导方程的导出,则,由热力学的Fourier实验定理得：,其中n为的边界的外法线方向。,
4、11,9.1.2 热传导方程的导出,定理 设空间区域是由分片光滑的闭曲面所围成，函数 在上一阶连续可导，则有,或,其中， 是在 处的外法向量的方向余弦，以上公式称为Gauss公式。,12,9.1.2 热传导方程的导出,由Gauss公式可得：,13,9.1.2 热传导方程的导出,所以,记,则,也就是,14,9.1.2 热传导方程的导出,对问题作适当简化，可得,二维热传导方程：,一维热传导方程：,其中的函数 称为热源，相应的方程称为非齐次热传导方程；若,则称相应的方程为齐次热传导方程。,15,9.1.2 热传导方程的导出,同一个方程可以描述多个物理现象，例如传输线方程组,16,9.1.2 热传导方
5、程的导出,可得,同理,17,9.1.2 热传导方程的导出,化简得,电报方程：G=L=0，方程化为,高频传输问题：G=R=0，方程化为,18,9.1.4 稳定问题,在热传导问题中，在某些条件下，物体的温度可以达到稳定状态，此时，温度函数和热源函数均与时间无关：,从而有：,此方程称为Poisson方程，若,则称为Laplace方程或调和方程。,19,9.1.4 稳定问题,用同样的方法，可以得到二维Poisson方程和二维Laplace方程如下：,Poisson方程：,Laplace方程：,对于二维和三维波动方程，可以考虑其稳定问题，同样可得相应维数的 Poisson 方程和 Laplace 方程。
6、,20,9.1 典型方程的建立,三类典型方程：,波动方程,热传导方程,Poisson方程,21,9.2定解条件与定解问题,三类方程,如果有解，则其解应该不唯一。,在这众多的解中确定出所需要的解，还需要增加另外的条件，即定解条件，使之成为定解问题，在此条件下，再来讨论适定性，即存在性、唯一性和稳定性。,22,9.2.1有界弦振动的定解条件,对于弦振动方程,弦的初始状态，也就是初始位移和初始速度，对弦的振动过程应该有重要影响，必须给予考虑：,对于有界弦振动，其端点的运动规律也必须考虑，也就是：考虑其端点条件或边界条件。,23,9.2.1 有界弦振动的定解条件,对于有界弦振动而言，其界条件有如下三种
7、：,(1) 给定端点的运动规律：,如果端点固定：,这样的边界条件称为第一类边界条件。,则称为第一类齐次边界条件。,24,9.2.1 有界弦振动的定解条件,(2) 作用在端点的外力在u轴方向上的分量 已知：,这样的边界条件称为第二类边界条件。,同样可得第二类齐次边界条件：,25,9.2.1 有界弦振动的定解条件,(3) 端点的弹性支撑,弦在 处固定在弹簧上，弹簧另一端固定，弹簧的弹性系数为k，则弹簧的张力应与弦的弹性恢复力平衡：,如果弹簧的另一端不是固定，而是按某一规律运动，以上的平衡条件应为,26,9.2.1有界弦振动的定解条件,对于弦的左端点 也可以作类似的讨论，得到的结论为：,或,(2.7
8、)或(2.9)称为第三类边界条件，(2.6)或(2.8)称为第三类齐次边界条件。,27,9.2.1有界弦振动的定解条件,第三类边界条件可统一记成,有界弦振动方程加上初始条件和两个端点各加一个边界条件后可构成一个定解问题。两个端点的边界条件可以是这三类边界条件之一，它们的类型可以互不相同。这样的定解问题称为有界弦振动方程的初边值问题。例如，如下便是一个完整的初边值问题：,28,9.2.1有界弦振动的定解条件,对于空间区域为有限区域的二维三维波动方程，同样有三类边界条件，也可以构成二维三维甚至更高维的波动方程的初边值问题。,29,9.2.2三维热传导方程定解条件,对于热传导问题，我们也可以提初边值
9、，其边界条件也可分为第一、第二、第三类边界条件，而且还有明确的物理意义。,设区域的边界为,内的温度函数,满足热传导方程,显然，初始时刻的温度对随后的温度变化有明显影响，因此需要知道温度的初始分布：,30,9.2.2 三维热传导方程定解条件,边界条件的提法：,(1) 边界上的温度变化规律已知：,这样的边界条件称为第一类边界条件,(2) 第二类边界条件：在点 处单位时 间单位面积流出曲面的热量为,31,9.2.2 三维热传导方程定解条件,(3) 不同介质之间的热传递：第三边界条件,设的边界的另一边是另一种介质，与接触的温度是,牛顿定律：通过上的面积元d,从一种介质流到另一种介质的热量 与两介质的温
10、度差成正比，与 成正比：,32,9.2.2 三维热传导方程定解条件,通过的边界流出的热量 服从Fourier 实验定律：,33,9.2.2 三维热传导方程定解条件,三类边界条件的统一形式：,其中 g为已知函数。,第一边界条件：,第二边界条件：,第三边界条件：,34,9.2.3 定解问题,如果空间变量的取值范围的边界是空集，则此时只需考虑初值问题，也称Cauchy问题，例如，如下三维波动方程初值问题：,二维热传导方程初值问题：,35,9.2.3定解问题,如果空间变量的取值范围的边界集非空，则需在初值条件和边值条件下求解微分方程，称为初边值问题或混合问题；例如：如下第一类边界条件混合问题：,36,
11、9.2.3 定解问题,对于描述稳定现象的微分方程，由于与时间无关，自然无法提初值条件，只能边值条件，例如：,第一边值问题,第二边值问题,第三边值问题,37,9.2.4 定解问题的适定性,对于定解问题，有这样的一些问题需要研究：,(1) 解的存在性：解是否存在，根据实际意 义，解应该存在是一回事，数学上严格 证明其解一定存在是另一回事。,(2) 若解存在，有多少个解？是否唯一？这 是唯一性问题。,(3) 定解条件有微小误差时，其解函数是否 也有微小误差？这是稳定性问题。,38,9.3 线性方程与迭加原理,9.3.1 偏微分方程的一般名称,偏微分方程：含有(一个或多个)多元未知函数及其偏导数的式子
12、(一个或多个)，称为偏微数方程。其一般形式为,或,39,9.3.1 方程的一般名称,方程的阶数：偏微分方程中含未知函数的最高阶偏导数的阶数称为方程的阶数。,例如：,线性方程(线性方程组)：如果一个偏微分方程或方程组对所有未知函数及其偏导数都是一次的，则其为线性方程或线性方程组。否则称为非线性方程或非线性方程组。,40,9.3.1 方程的一般名称,拟线性方程：一个偏微分方程，如果只对未知函数的最高阶偏导数是一次的，则称为拟线性方程。,半线性偏微分方程：如果一个偏微分方程对于未知函数的最高阶偏导数是线性的，但对于低阶偏导数是非线性的，这种方程称为半线性偏微分方程。,41,9.3.1 方程的一般名称
13、,例：,如果,则此偏微分方程是拟线性偏微分方程。,如果,则此偏微分方程是半线性偏微分方程。,方程的解：如果将一个函数代替方程中的未知函数，能使方程变成恒等式，则称这个函数为方程的一个解。,42,9.3.2线性方程的叠加原理,以n个变元的二阶偏微分方程为例：,二阶线性偏微分算子,其中 是自变量， 是 的函数,二阶线性偏微分方程,43,9.3.2 线性方程的叠加原理,线性偏微分算子的线性性质：,线性偏微分方程的性质,性质1 设 满足线性方程( 为已知函数),设,则,44,9.3.2 线性方程的叠加原理,在一定条件下，性质1可以推广成如下无穷级数形式和积分形式：,性质2 设 满足线性方程,又设,则,45,9.3.2 线性方程的叠加原理,性质3 设 为自变量，又 若函数 满足线性方程,其中 为参量，又设 对参量 的积分为,对 的求导可与积分号交换，则满足方程,
