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1、2020/8/12,阜师院数科院,第五章 傅里叶变换,利用三角级数的周期性来展开周期函数,5.1 傅里叶级数,周期函数的傅里叶展开； 奇函数和偶函数的傅里叶展开； 有限区间中的函数的的傅里叶展开； 复数形式的的傅里叶展开；。,2020/8/12,阜师院数科院,复变项级数,幂级数,2020/8/12,阜师院数科院,的函数形式与周期是任意的，说道周期与形式是固定的。要通过三角函数表示 f(x)，则必须a. 改变三角函数的周期为 2l。b. 组合各种周期的三角函数来表现 f(x)。这就是傅里叶级数。,三角函数族：,1. 周期函数的傅里叶展开,周期为 2l 的函数 f(x) 满足,2020/8/12,
2、阜师院数科院,a. 2l 周期性,b. 按三角函数族展开,不同的函数形式由不同的组的 和 表示。,同样,(5.1.3),此为傅里叶级数展开,2020/8/12,阜师院数科院,三角函数组具有正交性,(5.1.4),因此,(5.1.5),2020/8/12,阜师院数科院,2020/8/12,阜师院数科院,此为傅里叶系数,此外，三角函数族还有完备性，即这个函数族足够展开任何周期函数。,函数和级数并不完全是一个东西，例如幂级数就有收敛域的问题。故必须讨论它们在什么条件下完全一致,狄里希利定理,若函数 f(z) 满足条件 (1) 处处连续，或在每个周期内只有有限个第一类间断点；(2) 在每个周期内只有有
3、限个极值点，则三角级数 (5.1.3) 收敛，且,其中,2020/8/12,阜师院数科院,例,交流电压 经过半波整流后的傅立叶级数。,解,周期为,2020/8/12,阜师院数科院,2020/8/12,阜师院数科院,和,频谱,各个频率分量的幅度,2020/8/12,阜师院数科院,通常，函数 f(t) 表示某系统的按时间变化的性质，叫在时域中的表示的性质。而频谱表示这种性质在频域中的表示。,因此，傅里叶级数也是一种从时域到频域的变换。,2020/8/12,阜师院数科院,2.奇函数和偶函数的傅里叶展开,是奇函数，,是偶函数。,故 奇函数 f(z) 有,其中,偶函数 f(z) 有,其中,2020/8/
4、12,阜师院数科院,例,周期,矩形波,奇函数,2020/8/12,阜师院数科院,频域中的图示由你们给出,2020/8/12,阜师院数科院,3. 有限区间中的函数的的傅里叶展开,f(x) 定义于 (0, l).,可以认为它是某个周期为 2l 的函数在半个周期中的部分。即令此周期函数为 g(x), 在半周期 (0, l) 中 g(x)=f(x). 这种做法叫延拓。,2020/8/12,阜师院数科院,例,偶延拓,奇延拓,2020/8/12,阜师院数科院,4. 复数形式的的傅里叶,其中,2020/8/12,阜师院数科院,例,矩形波,2020/8/12,阜师院数科院,5.2 傅里叶积分与傅里叶变换,周期
5、函数变为傅里叶级数，被看作周期函数从时域到频域的变换。不过，由于时域的函数具有周期性，频域的函数是离散的级数。如果时域的函数失去周期性，到频域的变换如何实现？频域的函数形式又是什么样的呢？,有限区间的函数可以延拓为周期函数。因此，失去周期性的时域中的函数的定义域当为 。从方便于研究而言，它又可以看作为周期趋于无穷大的函数。,设 g(x) 为周期函数，有如下傅里叶展开,1. 傅里叶积分,2020/8/12,阜师院数科院,令：,则,(5.2.1),2020/8/12,阜师院数科院,若 有限，则,(5.2.1)中的余弦部分的极限为：,同理，正弦部分的极限为：,2020/8/12,阜师院数科院,故,其
6、中,(5.2.4),(5.2.5),(5.2.4) 是 f(x) 的傅里叶积分，(5.2.5) 为它的傅里叶变换。,为某函数从时域到频域的变换。频域中的函数可能是连续的。,2020/8/12,阜师院数科院,傅里叶积分定理：若函数 f(x) 在区间 上满足条件(1) 在任意有限区间满足狄里希利条件；(2) 在区间 上绝对可积 （即 收敛）， 则f(x) 可表为傅里叶积分，且,傅里叶积分值=,2. 振幅谱和相位谱,又可写,为振幅谱 为相位谱,连续点 间断点,2020/8/12,阜师院数科院,3. 奇、偶函数,偶函数,奇函数,2020/8/12,阜师院数科院,例,定义矩形函数为,将矩形脉冲 展开作傅
7、里叶积分。,偶函数,(1),2020/8/12,阜师院数科院,2020/8/12,阜师院数科院,4. 复数形式的傅里叶积分,原函数,像函数,2020/8/12,阜师院数科院,表示为,原函数到像函数的正变换,像函数到原函数的反变换,例,同前例,2020/8/12,阜师院数科院,证明：,5. 傅里叶变换的基本性质,(1) 导数定理,#,2020/8/12,阜师院数科院,(2) 积分定理,记,则,由导数定理,即,#,2020/8/12,阜师院数科院,(3) 相似性定理,通常将变换 f(x) f(ax) 称为相似变换，它将测量的尺子的单位改变为原来单位的1/a，相应地，测量的长度值变为原值的 a 倍，
8、而保持函数的形式不变。有时也叫尺度变换。,#,证明,2020/8/12,阜师院数科院,(4) 延迟定理,x 看作时间，记时由 x 到 x-x0 表示提前了 x0。记作“延迟”是习惯说法。,证明,2020/8/12,阜师院数科院,证明,#,(5) 位移定理,频域的位移,(6) 卷积定理,原函数的卷积与像函数的乘积间的关系,若,和,则,卷积：,2020/8/12,阜师院数科院,证明,#,2020/8/12,阜师院数科院,一维变换到高维空间中的变换,三维,相互独立,也相互独立,6. 多重傅里叶积分,矢量表示,2020/8/12,阜师院数科院,5.3 函数,1. 作为广义函数的引入,物理上，存在这样的
9、物理量，在无限小的范围内具有有限大小的量。这样的量的密度为无穷大，但是在整个空间，这个物理量的总量却为 有限。,2020/8/12,阜师院数科院,函数作为密度被引入。 例如，电子电量是有限的 。 电子的半径的测量上限 随测量精度提高，上限越来越小，趋于零。 理论研究也得出电子半径为零的结果。 于是，当空间存在一个电子时，这时空间中的电荷 密度就由 函数来表示。,2020/8/12,阜师院数科院,数学上可以将无限小的范围看作有限大小范围的极限,一维,考虑线质量密度,全空间总质量,2020/8/12,阜师院数科院,的极限,全空间总质量不变,密度,因此，作为广义函数引入 函数：,则,2020/8/1
10、2,阜师院数科院,又，对,2. 一些性质,(1) 偶函数,从图形可以看出,(2) 阶跃函数或亥维赛单位函数,2020/8/12,阜师院数科院,(3) 挑选性,对连续函数,(4) 表示连续量,持续于 0, 1 的力 F(t) 的冲量为各无穷小时间段的冲量之和。各无穷小时段上的连续力的冲量可以看作瞬时力 的冲量,2020/8/12,阜师院数科院,(5) 复合函数,若 的实根 全部是单根，则,例,2020/8/12,阜师院数科院,3. 其它表示,4. 傅里叶变换,2020/8/12,阜师院数科院,例,阶跃函数的傅里叶变换,不满足傅立叶积分定理，不能直接给出其傅立叶变换，必须采用某种变通办法,定义函数系列：,，显然,2020/8/12,阜师院数科院,5. 多维情况,小结,傅立叶级数和傅立叶积分是通过积分实现的从时域到频域的复变换，提供在频域表示函数性质的方法。 B.周期函数变换为离散级数,非周期函数变换为积分。 C.傅立叶积分的若干性质,有利于其应用。 D. 函数和阶跃函数。,
