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1、数学物理方程复习要点,复变函数部分： 1。掌握科西积分定理，科西公式； 2。掌握泰劳展开和洛朗展开，能将一个函数在不同的区域展开为级数； 3。掌握留数定理及其留数定理的应用； 4。掌握傅里叶变换的定义及性质，能用傅里叶变换方法求解常微分方程的边值问题； 5。掌握拉普拉斯变换的定义及性质，能用拉斯变换方法求解常微分方程的边值问题。,第七章 数学物理方程定解问题 1、能导出弦的横振动方程、均匀杆的纵振动方程、扩散 方程、热传导方程、静电场方程 2、能正确写出波动方程、输运方程的初始条件 3、能正确写出数理方程方程的三类边界条件(注意符号的 正负) 固定端、自由端、弹性支撑、绝热、过截面有热量交换
2、衔接条件：振动问题，两种材料连接，位移连续、连接面上二力相等 静电场：电势相等，点位移矢量连续 4、能正确写出定解问题 5、掌握达朗贝尔公式，熟练运用达朗贝尔公式解无界和半 无界弦波动方程的定解问题 6、明确行波法中波动方程解的物理意义,第八章 分离变量方法,本章内容要求全面掌握 1、熟练运用分离变量方法求解波动方程、输运方程和圆域内外拉普拉斯方程齐次边界条件的定解问题 2、准确求出各种本征值和本征函数 3、能用傅里叶级数方法和冲量定理方法求解非齐次振动方程和输运方程的定解问题 4、掌握非齐次边界条件的处理方法（一般处理方法和特殊处理方法） 5、熟悉用分离变量方法求解泊松方程的定解问题,第九章
3、,1、能将拉普拉斯方程在球坐标系下分离变量得到欧拉方 程、勒让德方程和连带的勒让德方程。 2、能将拉普拉斯方程在柱坐标系下分离变量得到贝塞尔 方程。 3、熟练掌握拉普拉斯方程、波动方程、输运方程、亥姆 方程、球坐标系下、柱坐标系下分离变量的结果（见 236页表格） 4、熟悉常点邻域上、正则奇点邻域上的级数解法。 5、掌握阶贝塞尔方程的级数解和1/2阶、-1/2贝塞尔函数的表达式。 6、熟悉阶诺依曼函数的定义。 7、知道m和-m整数阶贝塞尔函数线性相关，以及虚宗量贝 塞尔函数的概念。 8、明确贝塞尔方程在x=0处存在自然的边界条件。 9、掌握施特姆-刘维尔本征值的四个基本性质。,第十章 球函数,
4、1、熟悉 阶勒让德多项式的几种表达式，能熟练写出前几个勒让德多项式。 2、掌握勒让德多项式的正交关系、模，能将一个函数展成广义傅立叶级数。 3、熟练利用勒让德多项式给出拉普拉斯方程轴对称性定解问题的解。 4、掌握勒让德多项式的递推公式，并能熟练应用。 5、熟悉连带的勒让德多项式的四种表达式，能写出前几个连带的勒让德多项式。 6、熟悉连带勒让德多项式的正交关系、模，能将一个函数展成广义傅立叶级数。 7、熟练利用连带勒让德多项式给出拉普拉斯方程非轴对称性定解问题的解。,第十一章 柱函数,1、熟悉三类贝塞尔方程和三类柱函数 2、掌握几类柱函数的自然边界条件 3、熟练掌握贝塞尔函数的递推公式 4、掌握
5、贝塞尔函数的零点与模值 5、能将函数展成贝塞尔级数 6、能熟练解决柱坐标系下的边值问题（波动方程，输运方程，圆盘的边值问题，圆柱体的边值问题，） 7、了解虚宗量贝塞尔方程、虚宗量贝塞尔函数、虚宗量汉克尔函数的基本概念。 8、熟悉球贝塞尔函数、球诺伊曼函数和球汉克尔函数都可用初等函数来表示 9、熟悉三类球形函数的递推公式 10、能求解球形区域亥姆霍兹方程的定解问题,第十二章 格林函数方法,1、熟悉泊松方程的三类边值问题 2、熟悉求解泊松方程的格林函数法的求解步骤。 3、熟悉泊松方程三类边值问题的积分公式， 4、掌握泊松方程三种边值问题的积分公式归结为求解格林函数的边值问题。 5、掌握三维无界空间
6、的基本解和二维无界空间极坐标下的基本解。 6、熟练应用电像法求半空间、球形区域和圆域等的格林函数 7、运用电像法给出半空间、球形区域和圆域等边值问题的积分公式。,第十三章 积分变换法,1、掌握傅立叶变换的定义 2、掌握傅立叶变换的基本性质 3、掌握拉普拉斯变换的定义 4、掌握拉普拉斯变换的基本性质 5、熟练运用傅立叶变换法求解无限长杆热传导问 题，无限长弦振动问题 6、熟练运用拉普拉斯变换法求解热传导问题、输运 问题和弦振动问题 。 7、明确傅立叶变换、拉普拉斯变换求解问题的类 型，求解问题的优势和不足。,数学物理方法复习 2,例 一内外半径分别为a和b 的介质球壳，其内表面绝热，外表面的上半
7、球面保持恒温u1, 而下半球面保持恒温u2,求球壳内的稳定温度分布。 解：以球壳中心为原点取球坐标系，定解问题为 球坐标系下的拉普拉斯方程为,数学物理方法复习 2,设 并设 得到 令,显然，本题关于极轴是对称的，m=0,则连带的勒氏方程简化 为勒让得方程 欧拉方程和勒让得方程的解为 问题的一般解为 代入第一个边界条件，得 由此得,所以 代入 第二个边界条件，有 利用 我们得到,利用递推公式 上式 利用关系 可得 于是，最后得到,例 2 求解定解问题 解：研究球内问题，边界条件是第一类的，球的半径为a。 采用球坐标系，以求心为球坐标系的极点，对称轴作为极 轴。问题归为轴对称性问题，与m无关，则定
8、解问题在球坐标 系下的具体的表达形式为 令 ，分离变量得,欧拉型方程的解 注意到边界条件 则关于 的解为 轴对称下，球内的一般解为 代入边界条件确定系数Cl得 则 故在第一类边界条下，拉普拉斯方程在球内的解为,讨论 1、 若 已是勒让德展 式，不需展开，直接对比两边确定系数。 2、球外问题 同样分离变量可得，轴对称下球外拉普拉斯方程的一般解是 代入边界条件确定系数，,第一类边界条件下，拉普拉斯方程在球外的解为 也可写成 考虑 3、考虑第二类边界条件 的情况。,例 3 半径为a高为h的均匀圆柱，下底和侧面的温度保持为零 度,上底温度分布为 ，求柱体内各点的稳定温度分布。 解：本题满足拉普拉斯方程
9、。用柱坐标系，极点在下底中 心， z轴沿圆柱的轴。由于是均匀圆柱，故圆柱轴是对称轴，解与 无关，故定解问题是 令 代入方程，分离变量得两个常微分方程 齐次边界条件 与第二个方程构成本征值问题,解本征值问题： （1）当 时，方程是零阶虚宗量贝塞尔方程，注意到 自然边界条件 （即 ），应排除汉克 耳函数，解为 ， 把这个解代入边界条件，得 注意到虚宗量贝塞尔函数没有实的零点，该式不能成立，故 应排除 的情况。 （2）当 时，方程是零阶贝塞尔方程，考虑自然边 界条件 下的解是 代入本征值的边界条件，得 则 这里 是零阶贝塞尔函数的第n个零点,（3）若取 ，则 这是不可能的（ ），应排除 的情况。 可见当柱侧为第一类边界条件时，只能取本征值 本征函数为 此时 我们得到柱侧为第一类奇次边界条件时的一般解 代入上下底边界条件，确定系数An,Bn,有,我们得到 这里 则有 得到系数 问题的解,即 讨论 （1）若给出 （2）本题中的条件 ，若换成 侧面绝热，即 本题的本征值为 问题的一般解,代入上下底的边界条件可求出 代入得到解,
