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1、动态模型,描述对象特征随时间（空间）的演变过程 分析对象特征的变化规律 预报对象特征的未来性态 研究控制对象特征的手段,微分方程建模,根据函数及其变化率之间的关系，确定函数本身 根据建模目的和问题分析作出简化假设 按照内在规律或用类比法建立微分方程,传染病模型,问题,描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 预报传染病高潮到来的时刻 预防传染病蔓延的手段 按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型,模型1 （SI模型） 模型假设： 健康人和病人在时刻t这两类人在总人数中所占的比例分别记作和 s(t)和i(t). 每个病人每天有效接触（足以使人致病）人数为 ， 称日接触率。,模型建立,
2、(1),(2),若记初始时刻（t=0)病人的比例为 ，则 模型求解解得：,(3),模型分析 但 必须修改模型。,模型2传染病无免疫性，病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染（SIS模型）,模型假设 1)、2)条与模型1相同，增加的条件为 3）病人每天被治愈的占病人总数的比例为 ，称为日治愈率。病人治愈后成为仍可被感染的健康人。 模型建立,(4),(5),模型求解,(5)的解为,（6）,模型分析,定义 ， 是一个传染期内每个病人有效接触的平均人数，称为接触数。易知，当 时，,（7）,模型3传染病有免疫性，病人治愈后即移出感染系统，称移出者（SIR模型）。,模型假设： 1） 人数N不变，健康人、病人和移出者比例分别为 2） 模型建立：,和,病人的日接触率为,，日治愈率为,，传染期接触,数为,（8）,（9）,方程（9）无法求出 和 的解析解，在相平面 上研究解的性质。 相轨线的定义域为 在方程（9）中消去 dt并注意到 的定义，可得,（10）,（11）,容易求得（11）的解为 （12）即为相轨线。 模型分析 在D内作相轨线 的图形，,（12）,相轨线及其分析 故 是阈值。,从而得预防传染病蔓延的手段：,习题：,在SIR模型中，证明： 若 ，则 先增加，在 处达到最大，然后减小并趋于0； 单调减少至 . 若 ，则 单调减少并趋于0， 单调减少至 .,
