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1、金太阳新课标资源网 第3讲 导数的实际应用知 识 梳理 利用导数解决生活、生产优化问题，其解题思路是： 优化问题函数模型解决数学问题优化问题的解重 难 点 突 破 1.重点：利用于数学知识建立函数模型，借助于导数解决最优化问题。2.难点：建模的过程3.重难点：认真审题，建立数学模型，解决与函数有关的最优化问题. （1）关注由导数的定义和物理意义处理实际应用问题问题1：路灯距地平面为,一个身高为的人以的速率在地面上行走，从路灯在地平面上射影点C，沿某直线离开路灯，求人影长度的变化速率v.矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。点拨：利用导数的物理意义解决设路灯距地平面的距离为，人的身高为.设人从点运动到处路程为
2、米，时间为(单位：秒)，AB为人影长度，设为,则聞創沟燴鐺險爱氇谴净。， ,又,人影长度的变化速率为.（2）利用导数处理最大（小）值问题是高考常见题型.问题2.（2006江苏）请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。OO1剖析设为,则由题设可得正六棱锥底面边长为（单位：）于是底面正六边形的面积为（单位：）帐篷的体积为（单位：）求导数，得令解得(不合题意，舍去),.当时，,为增函数；当时，,为减函数。所以当时,最大.答当为时，帐篷的体积最大.热 点 考
3、点 题 型 探 析考点: 最优化问题题型1.函数模型中的最优化问题例1.设工厂到铁路线的垂直距离为20km,垂足为B.铁路线上距离B为100km处有一原料供应站C,现要在铁路BC之间某处D修建一个原料中转车站,再由车站D向工厂修一条公路.如果已知每千米的铁路运费与公路运费之比为3:5,那么,D应选在何处,才能使原料供应站C运货到工厂A所需运费最省?酽锕极額閉镇桧猪訣锥。【解题思路】由勾股定理建模.解析 ： 设BD之间的距离为km,则|AD|=,|CD|=.如果公路运费为元/km,那么铁路运费为元/km.故从原料供应站C途经中转站D到工厂A所需总运费为:+,().对该式求导,得=+=,令,即得2
4、5=9(),解之得彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。=15,=-15(不符合实际意义,舍去).且=15是函数在定义域内的唯一驻点,所以=15是函数的极小值点,而且也是函数的最小值点.由此可知,车站D建于B,C之间并且与B相距15km处时,运费最省.謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。【名师指引】 这是一道实际生活中的优化问题,建立的目标函数是一个复合函数,用过去的知识求其最值往往没有一般方法,即使能求出,也要涉及到较高的技能技巧.而运用导数知识,求复合函数的最值就变得非常简单.厦礴恳蹒骈時盡继價骚。例2.某产品按质量分为10个档次,生产第一档(即最低档次)的利润是每件8元,每提高一个档次,利润每件增加2元,但在相同的时
5、间内产量减少3件.在相同的时间内,最低档的产品可生产60件.问在相同的时间内,生产第几档次的产品的总利润最大?有多少元?茕桢广鳓鯡选块网羈泪。思路分析:在一定条件下,“利润最大”“用料最省”“面积最大”“效率最高”“强度最大”等问题,在生产、生活中经常用到,在数学上这类问题往往归结为求函数的最值问题.除了常见的求最值的方法外,还可用求导法求函数的最值.但无论采取何种方法都必须在函数的定义域内进行.鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。解法一:设相同的时间内,生产第x(xN*,1x10)档次的产品利润y最大.2分依题意,得y=8+2(x1)603(x1)4分=6x2+108x+378=6(x9)2+864(1x
6、10),8分显然,当x=9时,ymax=864(元),即在相同的时间内,生产第9档次的产品的总利润最大,最大利润为864元.10分解法二:由上面解法得到y=6x2+108x+378.求导数,得y=12x+108,令y=12x+108=0,解得x=9.因x=91,10,y只有一个极值点,所以它是最值点,即在相同的时间内,生产第9档次的产品利润最大,最大利润为864元.籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。【名师指引】一般情况下,对于实际生活中的优化问题,如果其目标函数为高次多项式函数、简单的分式函数简单的无理函数、简单的指数、对数函数,或它们的复合函数,均可用导数法求其最值.由此也可见,导数的引入,大大拓宽了中
7、学数学知识在实际优化问题中的应用空间.預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。题型2:几何模型的最优化问题【名师指引】与最值有关的问题应合理解模,使问题获解.例3.(07上海春季高考)某人定制了一批地砖. 每块地砖 (如图1所示）是边长为米的正方形，点E、F分别在边BC和CD上，、和四边形均由单一材料制成，制成、和四边形的三种材料的每平方米价格之比依次为3:2:1. 若将此种地砖按图2所示的形式铺设，能使中间的深色阴影部分成四边形.渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。图1(1) 求证：四边形是正方形；(2) 在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？图2【解题思路】图2是由四块图1所示地砖绕点按顺时针旋转后得到，为等腰直
8、角三角形， 四边形是正方形. 解析 (2) 设，则，每块地砖的费用为，制成、和四边形三种材料的每平方米价格依次为3a、2a、a(元)，. 由，当时，有最小值，即总费用为最省.答：当米时，总费用最省. 【名师指引】处理较复杂的应用题审题时要逐字逐句地去啄磨.题型3:三角模型的最优化问题例4.若电灯B可在桌面上一点O的垂线上移动，桌面上有与点O距离为的另一点A，问电灯与点0的距离怎样，可使点A处有最大的照度？（照度与成正比，与成反比）铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。【解题思路】如图，由光学知识，照度与成正比，与成反比，即（是与灯光强度有关的常数）要想点处有最大的照度，只需求的极值就可以了.解析：设到的距离为
9、，则，于是，.当时，即方程的根为（舍）与，在我们讨论的半闭区间内，所以函数在点取极大值，也是最大值。即当电灯与点距离为时，点的照度为最大. 擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。（0，）+-点评：在有关极值应用的问题中，绝大多数在所讨论的区间上函数只有一点使得=0且在该点两侧，的符号各异，一般称为单峰问题，此时，该点就是极值点，也是最大（小）值点.贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。【名师指引】多参数的数学应用题要注意分清哪些是主元,哪些是参数;函数最值有关的问题通常利用导数求解比较方便.坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。【新题导练】.1在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方
10、底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。解析:设箱底边长为，则无盖的方底箱子的高为，其体积为，则，令，得，解得（已舍去）且仅当时，；当时，.所以函数在时取得极大值，结合实际情况，这个极大值就是函数的最大值.，故当箱底边长为时，箱子容积最大，最大容积是.2.一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10公里时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每公里的费用总和最小？買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄。设船速度为时，燃料费用为元，则，由可得，总费用，令得，当时，此时函数单调递减，当时，此时函数
11、单调递增，当时，取得最小值，此轮船以20公里/小时的速度使行驶每公里的费用总和最小綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴。抢 分 频 道 基础巩固训练1.我国儿童4岁前身高增长的速度最快的是在哪一个年龄段?答: 据有关统计资料,我国儿童4岁前身高情况有一组统计数据年龄/岁0.511.522.533.54身高/米0.520.630.730.850.931.011.061.12思路分析: 要判断这一个问题.必须要计算每半年这个群体长高的平均增长率,再加以比较即可,通过计算每半年长高的平均增长率分别是2.2, 2, 2.4, 1.6, 1.6, 1, 1.2可知我国儿童在1.5岁至2岁这一时段身高增长的速度最快驅踬髏
12、彦浃绥譎饴憂锦。2.（2008深圳6校）某日中午时整，甲船自处以的速度向正东行驶，乙船自的正北处以的速度向正南行驶，则当日时分时两船之间距离对时间的变化率是_.猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑。解析:距离对时间的变化率即瞬时速度。即此时距离函数对时间变量的导数。将物理学概念与数学中的导数概念迁移到实际应用题中来。易求得从点开始，小时时甲乙两船的距离锹籁饗迳琐筆襖鸥娅薔。，当时，3.要建造一个长方体形状的仓库，其内部的高为3m，长和宽的和为20m，则仓库容积的最大值为 1800m3 .構氽頑黉碩饨荠龈话骛。解：设长为，则宽为，仓库的容积为V则，令得当时，；当时，时，4.要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm
13、，要使体积为最大，则其高应为_.kh20解：设圆锥底面半径为r，高为，则，圆锥体积一天，令得，当时，；时，时，V最大，当应填5.质量为5 kg的物体运动的速度为v=(18t3t2) m/s,在时间t=2 s时所受外力为_N.輒峄陽檉簖疖網儂號泶。分析:本题主要考查导数的物理意义即速度v(t)对时间的导数是该时刻的加速度.解:v=186t,v|t=2=1862=6.t=2时物体所受外力F为65=30.综合拔高训练6.在长为100千米的铁路线AB旁的C处有一个工厂，工厂与铁路的距离CA为20千米.由铁路上的B处向工厂提供原料，公路与铁路每吨千米的货物运价比为53，为节约运费，在铁路的D处修一货物转
14、运站，设AD距离为x千米，沿CD直线修一条公路(如图).尧侧閆繭絳闕绚勵蜆贅。(1)将每吨货物运费y(元)表示成x的函数.(2)当x为何值时运费最省？解：(1)设公路与铁路每吨千米的货物运价分别为5k、3k(元)(k为常数)AD=x，则DB=100x.识饒鎂錕缢灩筧嚌俨淒。每吨货物运费y=(100x)3k+5k(元)(2)令y=3k+5kk=05x3=0x0，解得x=15当0x15时，y15时，y0当x=15时，y有最小值.答：当x为15千米时运费最省.7.(广东省2008届六校第二次联考)设某物体一天中的温度T是时间t的函数，已知，其中温度的单位是，时间的单位是小时中午12:00相应的t=0，中午12:00以后相应的t取正数，中午12:00以前相应的t取负数（如早上8：00相应的t=-4，下午16：00相应的t=4）若测得该物体在早上8:00的温度为8，中午12:00的温度为60，下午13:00的温度为58，且已知该物体的温度早上8:00与下午16:00有相同的变化率.凍鈹鋨劳臘锴痫婦胫籴。（1）求该物体的温度T关于时间t的函数关系式；（2）该物体在上午10:00到下午14:00这段时间中(包括端点)何时温度最高？最高温度是多少？解：(1) 因为, 2分而, 故, 3分 . 6分. 7分 (2) ,
