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1、高一数学下第5章空间向量及其运算解析及答案巩固基础一、自主梳理1.在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量,同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量.空间向量的加法、减法与数乘向量运算是平面向量运算的推广.2.平行于同一平面的向量叫做共面向量,如果两个向量a、b不共线,则向量p与向量a、b共面的充要条件是:存在唯一的实数对x、y,使p=xa+yb.矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。3.空间向量基本定理:如果三个向量a、b、c不共面,那么对空间任一向量p,存在一个唯一的有序数组x、y、z,使p=xa+yb+zc.a,b,c叫做空间的一个基底,a、b、c叫做基向量,(x,y,z)叫做p关于基底a,b,c的
2、坐标.聞創沟燴鐺險爱氇谴净。4.把|a|b|cosa,b叫做向量a、b的数量积,记作ab,即ab=|a|b|cosa,b,其性质有:残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。(1)abab=0;(2)cosa,b=(a、b均为非零向量);(3)a2=aa=|a|2; (4)|ab|a|b|.二、点击双基1.在以下四个式子中正确的有( )a+bc a(bc) a(bc) |ab|=|a|b|A.1个 B.2个 C.3个 D.0个解析:根据数量积的定义，bc是一个实数，a+bc无意义.实数与向量无数量积,故a(bc)错，|ab|=|a|b|cosa,b|，只有a(bc)正确.酽锕极額閉镇桧猪訣锥。答案:A2.设向量a
3、、b、c不共面,则下列集合可作为空间的一个基底的是( )A.a+b,b-a,a B.a+b,b-a,b C.a+b,b-a,c D.a+b+c,a+b,c解析:由已知及向量共面定理,易得a+b,b-a,c不共面,故可作为空间的一个基底,故选C。3.在平行六面体ABCDABCD中,向量、是( )A.有相同起点的向量 B.等长的向量C.共面向量 D.不共面向量解析:-=,、共面.答案:C4.已知a=(1，0)，b=(m,m)(m0),则a,b=_.彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。答案:455.已知四边形ABCD中，=a-2c，=5a+6b-8c，对角线AC、BD的中点分别为E、F，则=_.謀荞抟箧飆鐸怼类蒋
4、薔。解析:=+, 又=+， 两式相加，得2=(+)+(+)+(+). E是AC的中点，故+=0.同理,+=0. 2=+=(a-2c)+(5a+6b-8c)=6a+6b-10c.=3a+3b-5c.答案:3a+3b-5c训练思维【例1】证明空间任意无三点共线的四点A、B、C、D共面的充分必要条件是:对于空间任一点O,存在实数x、y、z且x+y+z=1,使得=x+y+z.厦礴恳蹒骈時盡继價骚。剖析:要寻求四点A、B、C、D共面的充要条件,自然想到共面向量定理.解:依题意知,B、C、D三点不共线,则由共面向量定理的推论知:四点A、B、C、D共面对空间任一点O,存在实数x1、y1,使得=+x1+y1茕
5、桢广鳓鯡选块网羈泪。 =+x1(-)+y1(-)=(1-x1-y1)+x1+y1,取x=1-x1-y1,y=x1,z=y1,则有=x+y+z,且x+y+z=1.鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。链接提示 向量基本定理揭示了向量间的线性关系,即任一向量都可由基向量唯一的线性表示,为向量的坐标表示奠定了基础.共(线)面向量基本定理给出了向量共(线)面的充要条件,可用以证明点共(线)面.本题的结论,可作为证明空间四点共面的定理使用.籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。【例2】 已知空间四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,用向量法证明BDAC.剖析:我们选择一组基向量,将目标向量用基向量线性表示,从而将向量的运算转化为三
6、个基向量间的运算. 证明:设AB=b,AC=c,AD=d,且b2=d2, (b-c)2=(d-c)2, bc=dc. 而=(d-b)c=dc-bc=0,BDAC.讲评:合理选择基向量是利用向量解题的基本技能之一,同学们在学习中应加强这方面的训练.【例3】在平行四边形ABCD中，ABAC1，ACD90，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60角，求B、D间的距离.預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。解:如图，因为ACD90, 所以0.同理,0. 因为AB与CD成60角, 所以，60或120. 因为, 所以2222222 22223211cos， 所以2或,即B、D间的距离为2或.【例4】在棱长为1的正方体AB
7、CDA1B1C1D1中，BD1交平面ACB1于点E，求证：(1)BD1平面ACB1；(2)BE=ED1.证明:(1)我们先证明BD1AC. =+,=+, =(+)(+)=+ =-=|2-|2=1-1=0. BD1AC.同理可证BD1AB1，于是BD1平面ACB1. (2)设底面正方形的对角线AC、BD交于点M，则=，即2=.对于空间任意一点O，设=b,=m,=b1,=d1，则上述等式可改写成2(m-b)=d1-b1或b1+2m=d1+2b.记=e.此即表明，由e向量所对应的点E分线段B1M及D1B各成(=2)之比，所以点E既在线段B1M(B1M面ACB1)上又在线段D1B上.所以点E是D1B与
8、平面ACB1的交点.此交点E将D1B分成2与1之比，即D1EEB=21.所以BE=ED1.渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。链接聚焦 利用空间向量可以解决立体几何中的线线垂直、线线平行、四点共面、求长度、求夹角等问题.状元训练复习篇1.平行六面体ABCDA1B1C1D1中,M为AC和BD的交点,若=a,=b,=c,则下列式子中与B1M相等的是( )铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。A.-a+b+c B.a+b+cC.a-b+c D.-a-b+c解析：=+=+(+)=-+=c-a+b,故选A.答案:A2.O、A、B、C为空间四个点，又、为空间的一个基底，则( )A.O、A、B、C四点不共线 B.O、A、B、C四点共面，
9、但不共线C.O、A、B、C四点中任意三点不共线D.O、A、B、C四点不共面解析：由基底意义，、三个向量不共面，但A、B、C三种情形都有可能使、共面.只有D才能使这三个向量不共面，故应选D.擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。答案:D3.在空间四边形ABCD中,若BCD是正三角形,且E是其中心,则+-等于( )A.0 B.2C.2 D.0解析：选取基底,=b,=c,=d,则=(b+c+d), 原式=b+(c-b)-()-d=0.答案：D4.如图,已知线段AB在平面内,线段AC,线段BDAB,且与所成的角是30,如果AB=a,AC=BD=b,则C、D间的距离是_.贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。解析：因为AC,所以ACA
10、B. 过点D作DD,D为垂足,则DBD=30,=120, |CD|2=(+)2=|2+|2+|2+2+2 +2=b2+a2+b2+2b2cos120=a2+b2, 所以CD=.答案：5.直三棱柱ABCA1B1C1中，BC1AB1，BC1A1C，求证：AB1A1C.证明：，()()0，. 同理,，.0()， 0.又, ()0 设D为BC的中点，则2. 20. BCAD. ABAC. 又A1AB1B, A1CAB1.讲评:本题在利用空间向量来解决位置关系问题时，要用到空间多边形法则、向量的运算、数量积以及平行、相等和垂直的条件.坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。加强篇6.沿着正四面体OABC的三条棱、的方向有
11、大小等于1、2、3的三个力f1、f2、f3.试求此三个力的合力f的大小以及此合力与三条棱所夹角的余弦.蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。解：用a、b、c分别代表棱、上的三个单位向量，则f1=a,f2=2b,f3=3c,则f=f1+f2+f3=a+2b+3c,買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄。 |f|2=(a+2b+3c)(a+2b+3c)=|a|2+4|b|2+9|c|2+4ab+6ac+12bc=1+4+9+4|a|b|cosa,b+6|a|c|cosa,c+12|b|c|cosb,c=14+4cos60+6cos60+12cos60=14+2+3+6=25.綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴。 |f|=5,即所求合力的大小为5
12、, 且cosf,a=. 同理,可得cosf,b=,cosf,c=.7.已知空间四边形ABCD中,AB2+CD2=AD2+BC2,求证:ACBD.证明：选择基向量:=b,=c,=d, 由题意有b2+(d-c)2=d2+(c-b)2,cd=cb, c(d-b)=0.=0. ACBD.8.(全新创编题)已知三棱柱ABCA1B1C1,在某个空间直角坐标系中,=(,-,0),=(m,0,0),=(0,0,n),其中m、n0.(1)证明三棱柱ABCA1B1C1是正三棱柱;(2)若m=n,求直线CA1与平面A1ABB1所成角的大小.(1)证明：=-=(,m,0), |=|=|=m, ABC为正三角形. 又=
13、0,=0, AA1AB,AA1AC. AA1平面ABC. 三棱柱ABCA1B1C1是正三棱柱.(2)解:作CDAB于D,连结A1D. AA1平面ABC,面AA1B1B平面ABC. CD平面AA1B1B,则A1D为斜线A1C在平面AA1B1B的射影. CA1D为直线CA1与平面AA1B1B所成的角. 在RtCDA1中,CD=m=n,A1D=n. CA1D=45.教学参考 一、教学思路1.要使学生正确理解空间向量的加法法则、减法法则以及空间向量的数量积,掌握空间向量垂直、平行的条件及三个向量共面、四点共面的条件.驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦。2.空间中的任何一个向量都可以用不共面的三个向量线性表示,这三个向量也称为一个基底.在证明两个向量平行、垂直或求其夹角时,往往把它们用同一个基底来表示,从而实现
