《成人全国高考(专升本)高等数学成考核心考点笔记成考成考难点资料》由会员分享，可在线阅读，更多相关《成人全国高考(专升本)高等数学成考核心考点笔记成考成考难点资料（3页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2015年成人高考（专升本）高等数学二（第一章样本，完整版共14页）严格依据大纲编写：笔记目录第一章极限和连续第一节极限复习考试要求1.了解极限的概念（对极限定义等形式的描述不作要求）。会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。会运用等价无穷小量代换求极限。聞創沟燴鐺險爱氇谴净。4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。主要知识内容（一）数列的极限1.数列定义按一定顺
2、序排列的无穷多个数称为无穷数列，简称数列，记作xn，数列中每一个数称为数列的项，第n项xn为数列的一般项或通项，例如残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。（1）1，3，5，（2n-1），（等差数列）（2）（等比数列）（3）（递增数列）（4）1，0，1，0，（震荡数列）都是数列。它们的一般项分别为（2n-1）,。对于每一个正整数n，都有一个xn与之对应，所以说数列xn可看作自变量n的函数xn=f（n），它的定义域是全体正整数，当自变量n依次取1,2,3一切正整数时，对应的函数值就排列成数列。酽锕极額閉镇桧猪訣锥。在几何上，数列xn可看作数轴上的一个动点，它依次取数轴上的点x1,x2,x3,.xn,。2.数列的极
3、限定义对于数列xn，如果当n时，xn无限地趋于一个确定的常数A，则称当n趋于无穷大时，数列xn以常数A为极限，或称数列收敛于A，记作彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。比如：无限的趋向0，无限的趋向1否则，对于数列xn，如果当n时，xn不是无限地趋于一个确定的常数，称数列xn没有极限，如果数列没有极限，就称数列是发散的。謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。比如：1，3，5，（2n-1），1，0，1，0，数列极限的几何意义：将常数A及数列的项依次用数轴上的点表示，若数列xn以A为极限，就表示当n趋于无穷大时，点xn可以无限靠近点A，即点xn与点A之间的距离|xn-A|趋于0。厦礴恳蹒骈時盡继價骚。比如：（以下部分略) 完整
4、版14页请联系QQ：1273114568索取无限的趋向0无限的趋向1（二）数列极限的性质与运算法则1.数列极限的性质定理1.1（惟一性）若数列xn收敛，则其极限值必定惟一。定理1.2（有界性）若数列xn收敛，则它必定有界。注意：这个定理反过来不成立，也就是说，有界数列不一定收敛。比如：1，0，1，0，有界：0，12.数列极限的存在准则定理1.3（两面夹准则）若数列xn,yn,zn满足以下条件：（1），（2），则定理1.4若数列xn单调有界，则它必有极限。3.数列极限的四则运算定理。定理1.5（1）（2）（3）当时，（三）函数极限的概念1.当xx0时函数f（x）的极限（1）当xx0时f（x）的极
5、限定义对于函数y=f（x），如果当x无限地趋于x0时，函数f（x）无限地趋于一个常数A，则称当xx0时，函数f（x）的极限是A，记作茕桢广鳓鯡选块网羈泪。或f（x）A（当xx0时）例y=f（x）=2x+1x1,f（x）?x1x1（2）左极限当xx0时f（x）的左极限定义对于函数y=f（x），如果当x从x0的左边无限地趋于x0时，函数f（x）无限地趋于一个常数A，则称当xx0时，函数f（x）的左极限是A，记作鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。或f（x0-0）=A（3）右极限当xx0时，f（x）的右极限定义对于函数y=f（x），如果当x从x0的右边无限地趋于x0时，函数f（x）无限地趋于一个常数A，则称当xx
6、0时，函数f（x）的右极限是A，记作籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。或f（x0+0）=A例子：分段函数，求，解：当x从0的左边无限地趋于0时f（x）无限地趋于一个常数1。我们称当x0时，f（x）的左极限是1，即有預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。当x从0的右边无限地趋于0时，f（x）无限地趋于一个常数-1。我们称当x0时，f（x）的右极限是-1，即有渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。显然，函数的左极限右极限与函数的极限之间有以下关系：定理1.6当xx0时，函数f（x）的极限等于A的必要充分条件是反之，如果左、右极限都等于A，则必有。x1时f(x)?x1x1f(x)2对于函数，当x1时，f（x）的左极限是2，右极限也是2。2.当
7、x时，函数f（x）的极限（1）当x时，函数f（x）的极限y=f(x)xf(x)?y=f(x)=1+xf(x)=1+1定义对于函数y=f（x），如果当x时，f（x）无限地趋于一个常数A，则称当x时，函数f（x）的极限是A，记作铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。或f（x）A（当x时）（2）当x+时，函数f（x）的极限定义对于函数y=f（x），如果当x+时，f（x）无限地趋于一个常数A，则称当x+时，函数f（x）的极限是A，记作擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。这个定义与数列极限的定义基本上一样，数列极限的定义中n+的n是正整数；而在这个定义中，则要明确写出x+，且其中的x不一定是正整数，而为任意实数。贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷
8、。y=f(x)x+f(x)x？x+，f(x)=2+2例：函数f（x）=2+e-x，当x+时，f（x）？解：f（x）=2+e-x=2+，x+，f（x）=2+2所以（3）当x-时，函数f（x）的极限定义对于函数y=f（x），如果当x-时，f（x）无限地趋于一个常数A，则称当x-时，f（x）的极限是A，记作坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。x-f(x)？则f(x)=2+(x0)x-,-x+f(x)=2+2例：函数，当x-时，f（x）？解：当x-时，-x+2，即有由上述x，x+，x-时，函数f（x）极限的定义，不难看出：x时f（x）的极限是A充分必要条件是当x+以及x-时，函数f（x）有相同的极限A。蜡變黲癟報伥
9、铉锚鈰赘。例如函数，当x-时，f（x）无限地趋于常数1，当x+时，f（x）也无限地趋于同一个常数1，因此称当x时的极限是1，记作買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄。其几何意义如图3所示。f(x)=1+y=arctanx不存在。但是对函数y=arctanx来讲，因为有即虽然当x-时，f（x）的极限存在，当x+时，f（x）的极限也存在，但这两个极限不相同，我们只能说，当x时，y=arctanx的极限不存在。綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴。x)=1+y=arctanx不存在。但是对函数y=arctanx来讲，因为有即虽然当x-时，f（x）的极限存在，当x+时，f（x）的极限也存在，但这两个极限不相同，我们只能说，当x时，y
10、=arctanx的极限不存在。驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦。（四）函数极限的定理定理1.7（惟一性定理）如果存在，则极限值必定惟一。定理1.8（两面夹定理）设函数在点的某个邻域内（可除外）满足条件：（1），（2）则有。注意：上述定理1.7及定理1.8对也成立。下面我们给出函数极限的四则运算定理定理1.9如果则（1）（2）（3）当时，时，上述运算法则可推广到有限多个函数的代数和及乘积的情形，有以下推论：（1）（2）（3）用极限的运算法则求极限时，必须注意：这些法则要求每个参与运算的函数的极限存在，且求商的极限时，还要求分母的极限不能为零。猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑。另外，上述极限的运算法则对于的情形也都成立。
11、（五）无穷小量和无穷大量1.无穷小量（简称无穷小）定义对于函数，如果自变量x在某个变化过程中，函数的极限为零，则称在该变化过程中，为无穷小量，一般记作常用希腊字母，来表示无穷小量。定理1.10函数以A为极限的必要充分条件是：可表示为A与一个无穷小量之和。注意：（1）无穷小量是变量，它不是表示量的大小，而是表示变量的变化趋势无限趋于为零。（2）要把无穷小量与很小的数严格区分开，一个很小的数，无论它多么小也不是无穷小量。（3）一个变量是否为无穷小量是与自变量的变化趋势紧密相关的。在不同的变化过程中，同一个变量可以有不同的变化趋势，因此结论也不尽相同。锹籁饗迳琐筆襖鸥娅薔。例如：振荡型发散（4）越变
12、越小的变量也不一定是无穷小量，例如当x越变越大时，就越变越小，但它不是无穷小量。（5）无穷小量不是一个常数，但数“0”是无穷小量中惟一的一个数，这是因为。2.无穷大量（简称无穷大）定义；如果当自变量（或）时，的绝对值可以变得充分大（也即无限地增大），则称在该变化过程中，为无穷大量。记作。構氽頑黉碩饨荠龈话骛。注意：无穷大（）不是一个数值，“”是一个记号，绝不能写成或。3.无穷小量与无穷大量的关系无穷小量与无穷大量之间有一种简单的关系，见以下的定理。定理1.11在同一变化过程中，如果为无穷大量，则为无穷小量；反之，如果为无穷小量，且，则为无穷大量。当无穷大无穷小当为无穷小无穷大4.无穷小量的基本
13、性质性质1有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量；性质2有界函数（变量）与无穷小量的乘积是无穷小量；特别地，常量与无穷小量的乘积是无穷小量。性质3有限个无穷小量的乘积是无穷小量。性质4无穷小量除以极限不为零的变量所得的商是无穷小量。5.无穷小量的比较定义设是同一变化过程中的无穷小量，即。（1）如果则称是比较高阶的无穷小量，记作；（2）如果则称与为同阶的无穷小量；（3）如果则称与为等价无穷小量，记为；（4）如果则称是比较低价的无穷小量。当等价无穷小量代换定理：如果当时，均为无穷小量，又有且存在，则。均为无穷小又有这个性质常常使用在极限运算中，它能起到简化运算的作用。但是必须注意：等价无穷小量代换可以
14、在极限的乘除运算中使用。輒峄陽檉簖疖網儂號泶。常用的等价无穷小量代换有：当时，sinxx;tanx;arctanxx;arcsinxx;（六）两个重要极限1.重要极限重要极限是指下面的求极限公式令这个公式很重要，应用它可以计算三角函数的型的极限问题。其结构式为：2.重要极限（以下部分略) 完整版14页请联系QQ：1273114568索取重要极限是指下面的公式：其中e是个常数（银行家常数），叫自然对数的底，它的值为e=2.718281828495045其结构式为：重要极限是属于型的未定型式，重要极限是属于“”型的未定式时，这两个重要极限在极限计算中起很重要的作用，熟练掌握它们是非常必要的。尧侧閆繭絳闕绚勵蜆贅。（七）求极限的方法：1.利用极限的四则运算法则求极限；2.利用两个重要极限求极限；3.利用无穷小量的性质求极限；4.利用函数的连续性求极限；5.利用洛
