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1、课题：第8章圆锥曲线方程小结与复习（一）一、复习引入：名 称椭 圆双 曲 线图 象定 义平面内到两定点的距离的和为常数（大于）的动点的轨迹叫椭圆即当22时，轨迹是椭圆， 当2=2时，轨迹是一条线段 当22时，轨迹不存在平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线即当22时，轨迹是双曲线当2=2时，轨迹是两条射线当22时，轨迹不存在标准方 程焦点在轴上时：焦点在轴上时：注：是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上焦点在轴上时：焦点在轴上时：常数的关 系 ，最大，最大，可以渐近线焦点在轴上时：焦点在轴上时：抛物线：图形方程焦点准线二、章节知识点回顾：椭圆、双曲线、抛物线分别是
2、满足某些条件的点的轨迹，由这些条件可以求出它们的标准方程，并通过分析标准方程研究这三种曲线的几何性质矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。1椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹2椭圆的标准方程：，（）3椭圆的性质：由椭圆方程() (1)范围:,，椭圆落在组成的矩形中(2)对称性:图象关于轴对称图象关于轴对称图象关于原点对称原点叫椭圆的对称中心，简称中心轴、轴叫椭圆的对称轴从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距聞創沟燴鐺險爱氇谴净。（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点椭圆共有四个顶点：，加两焦点共有六个特殊点叫椭圆的长轴，叫椭圆的短轴长分别为分别为椭
3、圆的长半轴长和短半轴长椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。 (4)离心率:椭圆焦距与长轴长之比椭圆形状与的关系：，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在时的特例椭圆变扁，直至成为极限位置线段，此时也可认为圆为椭圆在时的特例酽锕极額閉镇桧猪訣锥。4椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个内常数，那么这个点的轨迹叫做椭圆其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数就是离心率彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式5椭圆的准线方程对于，左准线；右准线对于，下准线；上准线焦点到准线的距离（焦参数）椭圆的准线方
4、程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称6椭圆的焦半径公式：（左焦半径）,（右焦半径）,其中是离心率焦点在y轴上的椭圆的焦半径公式：（ 其中分别是椭圆的下上焦点）謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关可以记为：左加右减，上减下加7椭圆的参数方程8双曲线的定义：平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线即这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距厦礴恳蹒骈時盡继價骚。在同样的差下，两定点间距离较长，则所画出的双曲线的开口较开阔（两条平行线）两定点间距离较短（大于定差），则所画出的双曲线的开口较狭窄（
5、两条射线）双曲线的形状与两定点间距离、定差有关茕桢广鳓鯡选块网羈泪。9双曲线的标准方程及特点：（1）双曲线的标准方程有焦点在x轴上和焦点y轴上两种：焦点在轴上时双曲线的标准方程为：(,)；焦点在轴上时双曲线的标准方程为：(,)(2)有关系式成立，且其中a与b的大小关系:可以为10焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母、项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即项的系数是正的，那么焦点在轴上；项的系数是正的，那么焦点在轴上鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。11双曲线的几何性质：（1）范围、对称性由标准方程，从横
6、的方向来看，直线x=-a,x=a之间没有图象，从纵的方向来看，随着x的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。（2）顶点顶点：，特殊点：实轴：长为2a, a叫做半实轴长虚轴：长为2b，b叫做虚半轴长双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异（3）渐近线过双曲线的渐近线（）（4）离心率双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率范围：双曲线形状与e的关系：，e越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔預
7、頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。12等轴双曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线 等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。13共渐近线的双曲线系如果已知一双曲线的渐近线方程为，那么此双曲线方程就一定是：或写成14共轭双曲线以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线 区别：三量a,b,c中a,b不同（互换）c相同共用一对渐近线 双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为-1铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。15 双曲线的第二定义：到定点F的距离与到定直线的距离
8、之比为常数的点的轨迹是双曲线 其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线常数e是双曲线的离心率擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。16双曲线的准线方程：对于来说，相对于左焦点对应着左准线，相对于右焦点对应着右准线；焦点到准线的距离（也叫焦参数）对于来说，相对于上焦点对应着上准线；相对于下焦点对应着下准线17双曲线的焦半径定义：双曲线上任意一点M与双曲线焦点的连线段，叫做双曲线的焦半径焦点在x轴上的双曲线的焦半径公式：焦点在y轴上的双曲线的焦半径公式： （ 其中分别是双曲线的下上焦点）18双曲线的焦点弦：定义：过焦点的直线割双曲线所成的相交弦焦点弦公式： 当双曲线焦点在x轴上时，过左焦点与左支交于两点
9、时： 过右焦点与右支交于两点时：当双曲线焦点在y轴上时，过左焦点与左支交于两点时：过右焦点与右支交于两点时：19双曲线的通径：定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦20 抛物线定义：平面内与一个定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点F叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。21抛物线的准线方程： (1), 焦点:，准线：(2), 焦点:，准线：(3), 焦点:，准线：(4), 焦点:，准线：相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的，即坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚
10、。不同点：(1)图形关于X轴对称时，X为一次项，Y为二次项，方程右端为、左端为；图形关于Y轴对称时，X为二次项，Y为一次项，方程右端为，左端为（2）开口方向在X轴（或Y轴）正向时，焦点在X轴（或Y轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在X轴（或Y轴）负向时，焦点在X轴（或Y轴）负半轴时，方程右端取负号蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。22抛物线的几何性质（1）范围因为p0，由方程可知，这条抛物线上的点M的坐标(x，y)满足不等式x0，所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄。（2）对称性以y代y，方程不变，所以这条抛物线关于x轴对称，
11、我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴（3）顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点在方程中，当y=0时，x=0，因此抛物线的顶点就是坐标原点（4）离心率抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示由抛物线的定义可知，e=1綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴。23抛物线的焦半径公式：抛物线，抛物线，抛物线，抛物线，24直线与抛物线：（1）位置关系：相交（两个公共点或一个公共点）；相离（无公共点）；相切（一个公共点）将代入，消去y，得到关于x的二次方程（*）若，相交；，相切；，相离综上，得：联立，得关于x的方程当（二次项系数为零），唯一一个公共点（交点）当，则若，两个公共点（交点）
12、，一个公共点（切点），无公共点 （相离）（2）相交弦长：弦长公式：，（3）焦点弦公式：抛物线，抛物线，抛物线，抛物线，（4）通径：定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 通径：（5）若已知过焦点的直线倾斜角则（6）常用结论：和和25抛物线的参数方程：（t为参数）课题：第8章圆锥曲线方程小结与复习（二）一、讲解范例：例1根据下列条件，写出椭圆方程 中心在原点、以对称轴为坐标轴、离心率为1/2、长轴长为8； 和椭圆9x2+4y2=36有相同的焦点，且经过点(2，3)； 中心在原点，焦点在x轴上，从一个焦点看短轴两端的视角为直角，焦点到长轴上较近顶点的距离是分析： 求椭圆的标准方程，首先要根据焦点位置确
13、定方程形式，其次是根据a2=b2+c2及已知条件确定a2、b2的值进而写出标准方程驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦。解 焦点位置可在x轴上，也可在y轴上，因此有两解： 焦点位置确定，且为（0，），设原方程为,(ab0)，由已知条件有,故方程为 设椭圆方程为,(ab0)由题设条件有 及a2=b2+c2，解得b=,故所求椭圆的方程是例2从椭圆,(ab0)上一点M向x轴所作垂线恰好通过椭圆的左焦点F1，A、B分别是椭圆长、短轴的端点，ABOM设Q是椭圆上任意一点，当QF2AB时，延长QF2与椭圆交于另一点P，若F2PQ的面积为20，求此时椭圆的方程猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑。解 可用待定系数法求解b=c,a=c，可设
14、椭圆方程为PQAB,kPQ=-，则PQ的方程为y=(x-c)，代入椭圆方程整理得5x2-8cx+2c2=0，根据弦长公式，得,又点F1到PQ的距离d=c ,由故所求椭圆方程为例3 已知椭圆：，过左焦点F作倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，求弦AB的长解：a=3,b=1,c=2; 则F（-2，0）由题意知：与联立消去y得：设A（、B（，则是上面方程的二实根，由违达定理，又因为A、B、F都是直线上的点，所以|AB|=点评：也可让学生利用“焦半径”公式计算例4 中心在原点，一个焦点为F1（0，）的椭圆截直线所得弦的中点横坐标为，求椭圆的方程分析：根据题意，可设椭圆的标准方程，与直线方程联立解方程组，利用韦达定理及中点坐标公式，求出中点的横坐标，再由F1（0，）知，c=，最后解关于a、b的方程组即可锹籁饗迳琐筆襖鸥娅薔。解：设椭圆的标准方程为，由F1（0，）得 把直线方程代入椭圆方程整理得：设弦的两个端点为，则由根与系数的关系得：，又AB的中点横坐标为，与方程联立可解出故所求椭圆的方程为：例5 直线与双曲线相交于A、B两点，当为何值时，A、B在双曲线的同一支上？当为何值时，A、B分别在双曲线的两支上？構氽頑黉碩饨荠龈话骛。解： 把代入整理得：（1）当时，由0
