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1、2011年高考上海卷理科数学解析版一、填空题（56分）1函数的反函数为 。【命题意图】考查反函数的概念与求法，考查运算求解能力，属简单题.【解析】函数的值域为|0，由=得，（0）.【答案】（0）2若全集，集合，则 。【命题意图】本题考查集合的运算补集，解题时可用数轴法，属送分题.【解析】，|01.【答案】|01.3设为常数，若点是双曲线的一个焦点，则 。【命题意图】本题考查双曲线的性质及其应用，解题时注意焦点的位置，属容易题.【解析】点是双曲线的一个焦点，解得16.【答案】164不等式的解为 。【命题意图】本题考查简单分式不等式的解法，考查等价转化思想，是容易题.【解析】，解得|0或【答案】|
2、0或5在极坐标系中，直线与直线的夹角大小为 。【命题意图】本题考查极坐标方程与直角坐标方程互化、两直线夹角的计算，考查学生转化化归能力，是中档题.【解析】将极坐标方程化为直角坐标系下方程，两直线方程分别为和，如图所示，直线的斜率为2，其倾斜角=，这两直线夹角=.【答案】.6在相距2千米的两点处测量目标，若，则两点之间的距离是 千米。【命题意图】本题考查正弦定理及其应用，是简单题.【解析】如图所示，C=45，由正弦定理得，AC=.【答案】7若圆锥的侧面积为，底面积为，则该圆锥的体积为 。【命题意图】本题考查圆锥表面积和体积公式的计算，考查计算能力，是中档题.【解析】设圆锥的底面半径为，高为，母线
3、长为，则，=，=.【答案】8函数的最大值为 。【命题意图】本题考查三角函数的诱导公式、三角恒等变形及三角函数最值求法，是中档题.【解析】=，当=1时，=.【答案】9马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布律如下表请小牛同学计算的数学期望，尽管“！”处无法完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯定这两个“？”处的数值相同。据此，小牛给出了正确答案 。矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。【命题意图】本题考查随机变量分布列的性质及期望计算，是简单题.【解析】设“？”处的数据为，则“！”处的数据为，则=2.【答案】210行列式（）的所有可能值中，最大的是 。【命题意图】本题考查二阶行列式的定义及分析解决问题能力，难
4、度中等.【解析】=,要使最大，须取最大值4，取最小值2，最大值为6.【答案】611在正三角形中，是上的点，则 。【命题意图】本题考查余弦定理解三角形，向量数量积的有关运算，考查学生的运算能力，属中等难度题目.【解析】法一：如图，在ABD中，由余弦定理得，=7，AD=，=，=.法二：=, =.【答案】.12随机抽取9个同学中，至少有2个同学在同一月出生的概率是 （默认每月天数相同，结果精确到）。【命题意图】本题考查排列问题的解法及对立事件的概率计算，考查学生分析解决实际问题能力，难度较大.【解析】9位同学生日月份的可能有种，9人生日月份不同的可能有，故至少有2个同学在同一月出生的概率为0.985
5、.【答案】0.98513设是定义在上以1为周期的函数，若在上的值域为，则在区间上的值域为 。【命题意图】本题考查函数的周期性和函数值域的求法，解题的关键是求出每段函数的值域，最后求并集，难度较大.聞創沟燴鐺險爱氇谴净。【解析】设3,4，则=2,5，是定义域为周期为1的函数，当4,5时,=1,6,当5,6时,=0,7，当9,10时,=4,11,当2,3时,=3,4,当1,2时,=4,3,，当10,9时,=15,8,综上分析，当10,10时，函数的值域为15,11.残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。【答案】15,1114已知点，和，记的中点为，取和中的一条，记其端点为，使之满足；记的中点为，取和中的一条，记其
6、端点为，使之满足；依次下去，得到点，则 。酽锕极額閉镇桧猪訣锥。【命题意图】本题考查二分法在求曲线交点中的应用、极限思想，考查化归与转化能力，本题难度较大.【解析】条件的意思是上到原点距离为2的点（设为P）始终在之间，且的长度不断缩小，直到为0，而是的中点，也始终在之间，故当取极限是P与两点就重合，P就是以原点为圆心，以2为半径的圆与的交点，彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。此时，=.【答案】二、选择题（20分）15若，且，则下列不等式中，恒成立的是（ ）ABCD【命题意图】本题考查不等式的性质以及均值不等式成立的条件，是简单题.【解析】=,A错误，对B、C，当0，0时，明显错误，对D，0，0，=2，当且
7、仅当即时，取等号.故选D.16下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（ ）ABCD【命题意图】本题考查函数的奇偶性和单调性，考查分析解决问题能力，是简单题.【解析】对A，显然是偶函数，当0时，函数为，内函数在（0，+）上是减函数且值域为（0，+），外函数在（0，+）是增函数，根据复合函数的单调性知，原函数在（0，+）是减函数，故选A.謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。对B，是奇函数，不符合条件；对C，是偶函数，当0时，是增函数，不符合条件；对D，是偶函数，在（0，+）上有增有减，不符合条件.17设是空间中给定的5个不同的点，则使成立的点的个数为（ ）A0 B1 C5 D10 【命题意图】本题
8、考查空间向量的线性运算由特殊到一般的分析问题的方法及反证法的解题思想，综合考查学生运用所学知识与方法解决问题的能力，属难题.厦礴恳蹒骈時盡继價骚。【解析】从特例入手，不妨设，共线，且=，取为，则=,故存在满足条件的点，下面证明满足题意点只有一个，用反证法：假设满足题意的除点外还有，则得，=，与重合，满足条件的点有且只有一个，故选B.【答案】B18设是各项为正数的无穷数列，是边长为的矩形面积（），则为等比数列的充要条件为（ ）A是等比数列。 B或是等比数列。C和均是等比数列。D和均是等比数列，且公比相同。【命题意图】本题考查等比数列的概念及充要条件的判断问题，难度较大.【解析】由题意知=，若是等
9、比数列，则=为非0常数，即=，=，和成等比数列，且公比相等；反之，若奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相等，设为，则=，则是等比数列，故选D.【答案】D三、解答题（74分）19（12分）已知复数满足（为虚数单位），复数的虚部为，是实数，求。【命题意图】本题考查复数的有关概念和四则运算，复数为实数的条件，考查学生的运算能力和等价转化思想方法，是简单题.茕桢广鳓鯡选块网羈泪。【解析】（4分）设，则，（12分），（12分）20（12分）已知函数，其中常数满足。（）若，判断函数的单调性；（）若，求时的取值范围。【命题意图】本题考查函数单调性的概念和指数函数的单调性，考查分类整合思想、等价转化思想、运
10、算求解能力，难度中等.鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。【解析】() 当时，任意，则= ，函数在上是增函数。当时，同理，函数在上是减函数。()当时，则；当时，则。21（14分）已知是底面边长为1的正四棱柱，是和的交点。（）设与底面所成的角的大小为，二面角的大小为。求证：；（）若点到平面的距离为，求正四棱柱的高。【命题意图】本题考查直线与平面所成的角、二面角、点面距离等立体几何基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、分析解决问题能力,属中档题.籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。【解析】设正四棱柱的高为。() 连，底面于，与底面所成的角为，即，为中点，又，是二面角的平面角，即，。（）建立如图空间直角坐标系，有设平面的一
11、个法向量为，取得 点到平面的距离为，则。22（18分）已知数列和的通项公式分别为，（），将集合中的元素从小到大依次排列，构成数列。()求；（）求证：在数列中但不在数列中的项恰为；（）求数列的通项公式。【命题意图】本题以两个等差数列的通项公式为切入点，来研究将这两个数列中的项合并后，由小到大构成的数列的前项，并由此研究该新数列具有的性质，并求数列的通项公式，对数列主干知识进行了全面考查，难度较大.預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。【解析】()；（） 任意，设，则，即 假设（矛盾）， 在数列中但不在数列中的项恰为。（）， 当时，依次有，。23（18分）已知平面上的线段及点，在上任取一点，线段长度的最小值称为点
12、到线段的距离，记作。()求点到线段的距离；（）设是长为2的线段，求点集所表示图形的面积；（）写出到两条线段距离相等的点的集合，其中，是下列三组点中的一组。对于下列三组点只需选做一种，满分分别是2分，渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。6分，8分；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分。【命题意图】本题是一道新定义型综合创新题，综合考查了学生分析、解决问题的能力，对与这类创新情景型试题，要求考生准确理解好定义，并用好他解决各个小题，难度较高.铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。【解析】() 设是线段上一点，则，当时，。（）设线段的端点分别为，以直线为轴，的中点为原点建立直角坐标系，则，点集由如下曲线围成，其面积为。（） 选择， 选择。 选择。12 / 12
