全国高中数学用空间向量解立体几何问题方法归纳

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1、用空间向量解立体几何题型与方法平行垂直问题基础知识直线l的方向向量为a(a1，b1，c1)平面，的法向量u(a3，b3，c3)，v(a4，b4，c4)矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。(1)线面平行：lauau0a1a3b1b3c1c30(2)线面垂直：lauakua1ka3，b1kb3，c1kc3(3)面面平行：uvukva3ka4，b3kb4，c3kc4(4)面面垂直：uvuv0a3a4b3b4c3c40例1、如图所示，在底面是矩形的四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，PAAB1，BC2.聞創沟燴鐺險爱氇谴净。(1)求证：EF平面PAB；(2)求证：平面PAD平面PDC

2、.证明以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图所示，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，所以E，F，(1,0，1)，(0,2，1)，(0,0,1)，(0,2,0)，(1,0,0)，(1,0,0)残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。(1)因为，所以，即EFAB.又AB平面PAB，EF平面PAB，所以EF平面PAB.(2)因为(0,0,1)(1,0,0)0，(0,2,0)(1,0,0)0，所以，即APDC，ADDC.又APADA，AP平面PAD，AD平面PAD，所以DC平面PAD.因为DC平面PDC，所以平面PAD

3、平面PDC. 使用空间向量方法证明线面平行时，既可以证明直线的方向向量和平面内一条直线的方向向量平行，然后根据线面平行的判定定理得到线面平行，也可以证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明面面垂直既可以证明线线垂直，然后使用判定定理进行判定，也可以证明两个平面的法向量垂直.酽锕极額閉镇桧猪訣锥。例2、在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC90，BC2，CC14，点E在线段BB1上，且EB11，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点求证：(1)B1D平面ABD；(2)平面EGF平面ABD.证明：(1)以B为坐标原点，BA、BC、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系

4、，如图所示，则B(0,0,0)，D(0,2,2)，B1(0,0,4)，设BAa，则A(a,0,0)，彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。所以(a,0,0)，(0,2,2)，(0,2，2)，0，0440，即B1DBA，B1DBD.又BABDB，因此B1D平面ABD.(2)由(1)知，E(0,0,3)，G，F(0,1,4)，则，(0,1,1)，謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。0220，0220，即B1DEG，B1DEF.又EGEFE，因此B1D平面EGF. 结合(1)可知平面EGF平面ABD.利用空间向量求空间角基础知识(1)向量法求异面直线所成的角：若异面直线a，b的方向向量分别为a，b，异面直线所成的角为，则cos

5、|cosa，b|.厦礴恳蹒骈時盡继價骚。(2)向量法求线面所成的角：求出平面的法向量n，直线的方向向量a，设线面所成的角为，则sin |cosn，a|.茕桢广鳓鯡选块网羈泪。(3)向量法求二面角：求出二面角l的两个半平面与的法向量n1，n2，若二面角l所成的角为锐角，则cos |cosn1，n2|；鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。若二面角l所成的角为钝角，则cos |cosn1，n2|.籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。例1、如图，在直三棱柱A1B1C1ABC中，ABAC，ABAC2，A1A4，点D是BC的中点(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值解(1)

6、以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0，0,4)，C1(0,2,4)，所以(2,0，4)，(1，1，4)預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。因为cos，渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.(2)设平面ADC1的法向量为n1(x，y，z)，因为(1,1,0)，(0,2,4)，所以n10，n10，即xy0且y2z0，取z1，得x2，y2，所以，n1(2，2,1)是平面ADC1的一个法向量取平面ABA1的一个法向量为n2(0,1,0)设平面ADC1与平面ABA1所成二面角的大小为.铙誅卧

7、泻噦圣骋贶頂廡。由|cos |，得sin .擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。因此，平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为.例2、如图，三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160.(1)证明：ABA1C；(2)若平面ABC平面AA1B1B，ABCB，求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值解(1)证明：取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B.因为CACB，所以OCAB.由于ABAA1，BAA160，故AA1B为等边三角形，所以OA1AB.因为OCOA1O，所以AB平面OA1C.又A1C平面OA1C，故ABA1C.(2)由(1)知OCAB，OA1AB.又平面ABC平面AA

8、1B1B，交线为AB，所以OC平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两相互垂直以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz. 由题设知A(1,0,0)，A1(0，0)，C(0,0，)，B(1,0,0)贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。则(1,0，)，(1，0)，(0，)坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。设n(x，y，z)是平面BB1C1C的法向量，则即 可取n(，1，1)蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。故cosn，.所以A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为.(1)运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤：建立恰当的空间直角坐标系；求出相关点的坐标；写出向量坐标；结合公式进行论证、计

9、算；转化为几何结论買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄。(2)求空间角应注意：两条异面直线所成的角不一定是直线的方向向量的夹角，即cos |cos |.两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，有可能两法向量夹角的补角为所求例3、如图，在四棱锥SABCD中，ABAD，ABCD，CD3AB3，平面SAD平面ABCD，E是线段AD上一点，AEED，SEAD.(1)证明：平面SBE平面SEC；(2)若SE1，求直线CE与平面SBC所成角的正弦值解：(1)证明：平面SAD平面ABCD，平面SAD平面ABCDAD，SE平面SAD，SEAD，SE平面ABCD. BE平面ABCD，SEBE. ABAD，ABCD，綾镝鯛駕櫬

10、鹕踪韦辚糴。CD3AB3，AEED，AEB30，CED60. BEC90，驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦。即BECE. 又SECEE，BE平面SEC. BE平面SBE，平面SBE平面SEC.(2)由(1)知，直线ES，EB，EC两两垂直如图，以E为原点，EB为x轴，EC为y轴，ES为z轴，建立空间直角坐标系则E(0,0,0)，C(0,2，0)，S(0,0,1)，B(2,0,0)，所以(0，2，0)，(2，2，0)，(0，2，1)猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑。设平面SBC的法向量为n(x，y，z)，则即令y1，得x，z2，锹籁饗迳琐筆襖鸥娅薔。则平面SBC的一个法向量为n(，1,2)设直线CE与平面SBC所成角的

11、大小为，则sin |，構氽頑黉碩饨荠龈话骛。故直线CE与平面SBC所成角的正弦值为.例4、如图是多面体ABCA1B1C1和它的三视图(1)线段CC1上是否存在一点E，使BE平面A1CC1？若不存在，请说明理由，若存在，请找出并证明；輒峄陽檉簖疖網儂號泶。(2)求平面C1A1C与平面A1CA夹角的余弦值解：(1)由题意知AA1，AB，AC两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，A1(0,0,2)，B(2,0,0)，C(0，2,0)，C1(1，1,2)，则(1,1,2)，(1，1,0)，(0，2，2)设E(x，y，z)，则(x，y2，z)，尧侧閆繭絳闕绚勵蜆贅。(1x，1y,2

12、z)设 (0)，则则E，识饒鎂錕缢灩筧嚌俨淒。.凍鈹鋨劳臘锴痫婦胫籴。由得解得2，恥諤銪灭萦欢煬鞏鹜錦。所以线段CC1上存在一点E，2，使BE平面A1CC1.(2)设平面C1A1C的法向量为m(x，y，z)，则由得鯊腎鑰诎褳鉀沩懼統庫。取x1，则y1，z1.故m(1，1,1)，而平面A1CA的一个法向量为n(1,0,0)，硕癘鄴颃诌攆檸攜驤蔹。则cosm，n，故平面C1A1C与平面A1CA夹角的余弦值为.阌擻輳嬪諫迁择楨秘騖。利用空间向量解决探索性问题例1、如图1，正ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC边的中点，现将ABC沿CD翻折成直二面角ADCB(如图2)氬嚕躑竄贸

13、恳彈瀘颔澩。(1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；(2)求二面角EDFC的余弦值；(3)在线段BC上是否存在一点P，使APDE？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由釷鹆資贏車贖孙滅獅赘。解(1)在ABC中，由E，F分别是AC，BC中点，得EFAB.又AB平面DEF，EF平面DEF，AB平面DEF.怂阐譜鯪迳導嘯畫長凉。(2)以点D为坐标原点，以直线DB，DC，DA分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(0，2，0)，E(0，1)，F(1，0)，(1，0)，(0，1)，(0,0,2)谚辞調担鈧谄动禪泻類。平面CDF的法向量为(

14、0,0,2)设平面EDF的法向量为n(x，y，z)，则即取n(3，3)，嘰觐詿缧铴嗫偽純铪锩。cos，n，所以二面角EDFC的余弦值为.熒绐譏钲鏌觶鷹緇機库。(3)存在设P(s，t,0)，有(s，t，2)，则t20，t，鶼渍螻偉阅劍鲰腎邏蘞。又(s2，t,0)，(s,2t,0)，(s2)(2t)st，纣忧蔣氳頑莶驅藥悯骛。st2. 把t代入上式得s，颖刍莖蛺饽亿顿裊赔泷。在线段BC上存在点P，使APDE. 此时，.濫驂膽閉驟羥闈詔寢賻。(1)空间向量法最适合于解决立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断.銚銻縵哜鳗鸿锓謎諏涼。(2)解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等，所以为使问题的解决更简单、有效，应善