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1、例题定义类1，已知，一曲线上的动点到距离之差为6，则双曲线的方程为点拨：一要注意是否满足，二要注意是一支还是两支 ，的轨迹是双曲线的右支.其方程为2双曲线的渐近线为，则离心率为点拨：当焦点在x轴上时，；当焦点在y轴上时，3某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上)矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。【解题思路】时间差即为距离差，到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的解析如图，以
2、接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（1020，0），B（1020，0），C（0，1020）聞創沟燴鐺險爱氇谴净。设P（x,y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PC|，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB| |PA|=3404=1360残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上，ABCPOxy依题意得a=680, c=1020，用y=x代入上式，得，|PB|PA|,答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心处.【名师指引】解应用题
3、的关键是将实际问题转换为“数学模型”4 设P为双曲线上的一点F1、F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|：|PF2|=3：2，则PF1F2的面积为（ ）酽锕极額閉镇桧猪訣锥。AB12CD24解析： 又由、解得直角三角形，故选B。5如图2所示，为双曲线的左焦点，双曲线上的点与关于轴对称，则的值是（ ）A9 B16 C18 D27 解析，选C6.P是双曲线左支上的一点，F1、F2分别是左、右焦点，且焦距为2c，则的内切圆的圆心的横坐标为（）（A）（B）（C）（D）解析设的内切圆的圆心的横坐标为，由圆的切线性质知，7，若椭圆与双曲线有相同的焦点F1，F2，P是两条曲线的一个交点，则|PF1|PF2|
4、的值是 （ ）彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。A. B. C. D.【解析】椭圆的长半轴为双曲线的实半轴为，故选A.求双曲线的标准方程1已知双曲线C与双曲线=1有公共焦点，且过点（3，2）.求双曲线C的方程【解题思路】运用方程思想，列关于的方程组解析解法一：设双曲线方程为=1.由题意易求c=2.又双曲线过点（3，2），=1.又a2+b2=（2）2，a2=12，b2=8.故所求双曲线的方程为=1.解法二：设双曲线方程为1，将点（3，2）代入得k=4，所以双曲线方程为1.2.已知双曲线的渐近线方程是，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为；解析设双曲线方程为，当时，化为，当时，化为，综上，双曲线方程
5、为或3.以抛物线的焦点为右焦点,且两条渐近线是的双曲线方程为_.解析 抛物线的焦点为，设双曲线方程为，双曲线方程为4.已知点，动圆与直线切于点，过、与圆相切的两直线相交于点，则点的轨迹方程为A BC（x 0） D解析，点的轨迹是以、为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，选B与渐近线有关的问题1若双曲线的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为 （ ）A. B.C.D.【解题思路】通过渐近线、离心率等几何元素，沟通的关系解析 焦点到渐近线的距离等于实轴长，故，,所以【名师指引】双曲线的渐近线与离心率存在对应关系,通过的比例关系可以求离心率,也可以求渐近线方程2.双曲线的渐近线方程是 ()A.
6、 B. C. D. 解析选C3.焦点为（0，6），且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是 （）A B C D解析从焦点位置和具有相同的渐近线的双曲线系两方面考虑，选B4，过点（1，3）且渐近线为的双曲线方程是【解析】设所求双曲线为点（1，3）代入：.代入（1）：即为所求.【评注】在双曲线中，令即为其渐近线.根据这一点，可以简洁地设待求双曲线为，而无须考虑其实、虚轴的位置.謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。5 设CD是等轴双曲线的平行于实轴的任一弦，求证它的两端点与实轴任一顶点的连线成直角.【证明】如图设等轴双曲线方程为，直线CD：y=m.代入（1）：.故有：.取双曲线右顶点.那么：.即CBD=90.同理可
7、证：CAD=90.几何1设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（ ）A B C. D【解析】双曲线的实、虚半轴和半焦距分别是：.设；于是，故知PF1F2是直角三角形，F1P F2=90.选B.求弦1双曲线的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为 （ ）A. B. C. D.【解析】设弦的两端分别为.则有：.弦中点为（2，1），.故直线的斜率.则所求直线方程为：，故选C.“设而不求”具体含义是：在解题中我们希望得到某种结果而必须经过某个步骤，只要有可能，可以用虚设代替而不必真地去求它.厦礴恳蹒骈時盡继價骚。但是，“设而不求”的手段应当慎用.不问条件是否成熟就滥用，也会出漏
8、子.请看：2 在双曲线上，是否存在被点M（1，1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由.茕桢广鳓鯡选块网羈泪。如果不问情由地利用“设而不求”的手段，会有如下解法：【正解】在上述解法的基础上应当加以验证.由这里，故方程（2）无实根，也就是所求直线不合条件.此外，上述解法还疏忽了一点：只有当时才可能求出k=2.若.说明这时直线与双曲线只有一个公共点，仍不符合题设条件.鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。结论；不存在符合题设条件的直线.换远（压轴题）1如图，点为双曲线的左焦点，左准线交轴于点，点P是上的一点，已知，且线段PF的中点在双曲线的左支上.（）求双曲线的标准方程；（）若过点的直线与
9、双曲线的左右两支分别交于、两点，设，当时，求直线的斜率的取值范围. 【分析】第（）问中，线段PF的中点M的坐标是主要变量，其它都是辅助变量.注意到点M是直角三角形斜边的中点，所以利用中点公式是设参消参的主攻方向 第（）中，直线的斜率是主要变量，其它包括都是辅助变量. 斜率的几何意义是有关直线倾斜角的正切，所以设置直线的参数方程，而后将参数用的三角式表示，是一个不错的选择.籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。【解析】（）设所求双曲线为：.其左焦点为F（-c。0）；左准线：.由，得P（，1）；由FP的中点为.代入双曲线方程： 根据（1）与（2）.所求双曲线方程为. （）设直线的参数方程为：.代入得：当，方程（3
10、）总有相异二实根，设为. 已知直线与双曲线的左右两支分别交于、两点，.于是：.注意到在上是增函数，（4）代入（5）： 双曲线的渐近线斜率为，故直线与双曲线的左右两支分别交必须.综合得直线的斜率的取值范围是.练习题1已知中心在原点，顶点A1、A2在x轴上，离心率e=的双曲线过点P(6，6)(1)求双曲线方程(2)动直线l经过A1PA2的重心G，与双曲线交于不同的两点M、N，问是否存在直线l,使G平分线段MN，证明你的结论預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。解(1)如图，设双曲线方程为=1由已知得,解得a2=9,b2=12所以所求双曲线方程为=1(2)P、A1、A2的坐标依次为(6,6)、(3，0)、(3，0）
11、，其重心G的坐标为(2，2）假设存在直线l，使G(2，2)平分线段MN，设M(x1,y1)，N(x2,y2)则有，kl=l的方程为y= (x2)+2,由,消去y,整理得x24x+28=0=164280,所求直线l不存在渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。2已知双曲线,问过点A（1，1）能否作直线,使与双曲线交于P、Q两点，并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由。铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。错解设符合题意的直线存在，并设、则（1）得因为A（1，1）为线段PQ的中点，所以将(4)、(5)代入（3）得若，则直线的斜率所以符合题设条件的直线存在。其方程为剖析在（3）式成立的前提下，由(4)、（
12、5）两式可推出(6)式，但由(6)式不能推出(4)(5)两式，故应对所求直线进行检验，上述错解没有做到这一点，故是错误的。应在上述解题的基础上，再由擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。得根据,说明所求直线不存在。3已知点N（1，2），过点N的直线交双曲线于A、B两点，且（1）求直线AB的方程；（2）若过N的直线l交双曲线于C、D两点，且，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。解：（1）设直线AB：代入得 （） 令A（x1，y1），B（x2，y2），则x1、x2是方程的两根 且 N是AB的中点 k = 1 AB方程为：y = x + 1 （2）将k = 1代入方程（）得或 由得，CD垂
13、直平分ABCD所在直线方程为即代入双曲线方程整理得 令，及CD中点则， ， |CD| =，即A、B、C、D到M距离相等A、B、C、D四点共圆4. 已知椭圆和双曲线有公共的焦点，（1）求双曲线的渐近线方程（2）直线过焦点且垂直于x轴，若直线与双曲线的渐近线围成的三角形的面积为，求双曲线的方程坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。 解析（1）依题意，有，即，即双曲线方程为，故双曲线的渐近线方程是，即，（2）设渐近线与直线交于A、B，则，解得即，又，双曲线的方程为5.已知是双曲线的左，右焦点,点是双曲线右支上的一个动点,且的最小值为,双曲线的一条渐近线方程为. 求双曲线的方程;蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。解析,.的一条渐进线方程为 ，又 由得6.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为，右顶点为.（）求双曲线C的方程（）若直线与双曲线恒有两个不同的交点A和B且（其中为原点），求k的取值范围解（1）设双曲线方程为由已知得，再由，得故双曲线的方程为.（2）将代入得 由直线与双曲线交与不同的两点得 即且. 设，则，由得，而.于是，即解此不等式得 由+得故的取值范围为7 已知双曲线C：的两个焦点为，点P是双曲线C上的一点，且（1）求双曲线的离心率；（2）过点P作直线分别与双曲线的两渐近线相交于两点，若，求双曲线C的方程（1）设，则，（2）由（1）知，故，从而双曲线的渐近线方程为，依题意，可设，由，得
