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1、高三数学第二轮复习教案第2讲数列问题的题型与方法(3课时)一、考试内容数列；等差数列及其通项公式，等差数列前n项和公式；等比数列及其通项公式，等比数列前n项和公式。二、考试要求1 理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法， 并能根据递推公式写出数列的前几项。并能运用公式解答2 理解等差数列的概念， 掌握等差数列的通项公式与前 n项和公式， 简单的问题。并能运用公式解决3 理解等比数列的概念， 掌握等比数列的通项公式与前 n项和公式， 简单的问题。三、复习目标n项和公式解题;1. 能灵活地运用等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前2 能熟练地求一些特殊数列的
2、通项和前n项的和；3使学生系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实 践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题；4通过解决探索性问题，进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方 法分析问题与解决问题的能力.5在解综合题的实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通 各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力.6 培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用 函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法.四、双基透视 可以列
3、表复习等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质2 判断和证明数列是等差(等比)数列常有三种方法：(1) 定义法：对于n2的任意自然数，验证an -and (an/an_j)为同一常数。(2) 通项公式法：、=0,d0时，满足(2)当 二0时，满足在解含绝对值的数列最值问题时4.数列求和的常用方法：公式法、的最值问题一一常用邻项变号法求解：%生o9 M+1 的项数m使得+取最大值.的项数m使得+取最小值。,注意转化思想的应用。裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。五、注意事项an 1 an = an anj 或1 证明数列 也？是等差或等比数列常用定义，即通过证明 电1丑而得。an an A2.
4、 在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活 地运用性质，可使运算简便。3. 对于一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。4. 注意一些特殊数列的求和方法。5. 注意Sn与an之间关系的转化。如：Si,n =1nan，an = ai + （ak ak）1- Sn _ Sn 1,n 一 2k 26 数列极限的综合题形式多样，解题思路灵活，但万变不离其宗，就是离不开数列极 限的概念和性质，离不开数学思想方法，只要能把握这两方面，就会迅速打通解题思路.7解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的 本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确
5、解题方向，形成解题策略.&通过解题后的反思，找准自己的问题，总结成功的经验，吸取失败的教训，增强解 综合题的信心和勇气，提高分析问题和解决问题的能力.数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地 位。高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。解答题多 为中等以上难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，试题大多有较好的 区分度。有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式 的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探 索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴
6、含着丰富的数学思想，在主 观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、 待定系数法等基本数学方法。应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化，常需构造数 列模型，将现实问题转化为数学问题来解决。六、范例分析例1.已知数列a n 是公差d工0的等差数列，其前n项和为Sn s sS求证：点在同i条直线1 上;过点Qi（1, ai）, Q2（2, a2）作直线12，设1勺与丨2的夹角为B ,卡已t疋1蚣+字,卜kT证明：（1）因为等差数列an的公差dM 0,所以k-1+2k-1 依1 + 丁小兔 1 Q7J= 2 &2是常数），即Kp 1p k是常数（k=2 , 3，
7、n）.所以珀 珀，P蛊在过点R（l, 且斜率为常数#的直线1】匕直线12的方程为y-a1=d（x-1），直线12的斜率为d.tan 6 =2 + da冋+211 ”1屁2当且仅当-=ldl,即|牛血时等号成立.I丄|已知数列2n /中, Sn是其前n项和，并且Sn4an - 2(1,2|),a1 ,bn二ani -2an(n =1,2,)，求证：数列bn 是等比数列；例2.设数列设数列Cn 吕,(n =1,2,)，求证：数列 4?是等差数列;2的通项公式及前n项和。求数列分析：由于bn和cn中的项都和an中的项有关，an中又有Sn1=4an+2，可由Sn,2-Sn d 作切入点探索解题的途径.
8、解：(1)由 Sn 1=4a n2 , a n 2 =4a n 1 -4a n .(根据 bn 意加强恒等变形能力的训练Sn 2 =4an 1 +2,两式相减，得 Sn 2 -Sn 1 =4(an 1 -an ),即 的构造，如何把该式表示成bnd与bn的关系是证明的关键，注)a n 2 -2a n 1 =2(a n 1 -2a n )，又 b n =a n -1 -2a n，所以 bn 1 =2b n已知 S2 =4a 1 +2, a 1 =1, a 1 +a 2 =4a 1 +2,解得 a2 =5, b 1 =a 2 -2a 1 =3由和得，数列bn是首项为3,公比为2的等比数列，故bn
9、=3 囘eti _ 2冕氧_%2応】n -12因为二哦(nNL所以如13 * 2心 32&+1 2 时，Sn=4an4+2=2n 4 (3n-4)+2 ;当 n=1 时，Sal 也适合上式. 综上可知，所求的求和公式为Sn=2n(3n-4)+2 .说明：1.本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列 通项与前n项和。解决本题的关键在于由条件sn4an- 2得出递推公式。2.解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后 面求解的过程中适时应用.例3 .已知数列an 是首项 a1 0, q -1且q工0的等比数列，设数列 bn 的通项 bn=
10、an 1-kan 2 (n N),数列a.、bn的前n项和分别为Sn , J .如果T. kS.对一切 自然数n都成立，求实数k的取值范围.分析：由探寻Tn和Sn的关系入手谋求解题思路。解：因为a n是首项a1 0，公比q-1且q丰0的等比数列，故2所以an 1=an q，an 2 =an qT n =b 1+b 2 + +b 依题意，由T n 当q 0时，由bn =a n 1-ka n 2=an(q-k q ).2 2n=(a1+a2 + +an)(q-k q )=S n (q-kq ). kSn，得Sn(q-kq 2)kS n，对一切自然数n都成立.当-1 v q v 0 时， 综合上面两
11、种情况，当由 式a10,知 an 0,所以 Sn 0;因为 a10， 1-q0，1-q n 0，所以 Sn=Jq-1且qz 0时，S n 0总成立. k，=2故k的取值范围是kV舟可 得 q-kq 2k* (l +)q, k 0， 1600 (- ) 1 4000x1 (一 ) 045化简得，5X( 1 )n+ 2X( - ) n 7 04242设 x=（）n, 5x2 7x+ 2 0 xv ： , x 1 （舍）即（：）nv 一：，n5.说明：本题主要考查建立函数关系式，数列求和，不等式等基础知识， 考查综合运用数学知识解决实际问题的能力。解数学问题应用题重点在过好三关：（1）事理关：阅读理
12、解，知道命题所表达的内容；（2）文理关：将“问题情景”中的文字语言转化为符号语言，用数 学关系式表述事件；（3）数理关：由题意建立相关的数学模型，将实际问题数学化，并解 答这一数学模型，得出符合实际意义的解答。例5.设实数a = 0，数列 乩是首项为a ,公比为- a的等比数列，记bn =an1g |an | （n N ）, Sn 二 bi b -bn ,1(一 1)n 1 (1 n na)an 】求证当a-1时对任意自然数n都有Sn = 解：an二二 a（-a）2 =（-1）nan。g Tlglan |=(-1)nanlg |( _1)nan |= (-1)nnanlg |a|-Sn alg | a | -2a2Ig | a | 3a3lg |a亠(-1)n(n - 1)an_llg | a | (-1)n_ln
