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1、1,对应有,二、利用极坐标计算二重积分,在极坐标系下, 用同心圆 r =常数,则除包含边界点的小区域外,小区域的面积,在,内取点,及射线 =常数, 分划区域D 为,2,即,于是,3,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图,4,区域特征如图,5,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图,6,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图,注：若 f 1 则可求得D 的面积,7,思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试,答:,问 的变化范围是什么?,(1),(2),8,解,9,例2. 计算,其中,解: 在极坐标系下,原式,的原函数不是初等函数 ,故本题无法用直角,由于
2、,故,坐标计算.,10,注:,利用例2可得到一个在概率论与数理统计及工程上,非常有用的广义积分公式,事实上, 当D 为 R2 时,利用例2的结果, 得,故式成立 .,11,解,12,解:,原式,13,解：,14,例6：,15,例7. 求球体,被圆柱面,所截得的(含在柱面内的)立体的体积.,解: 设,由对称性可知,16,二重积分在极坐标下的计算公式,（在积分中注意使用对称性）,小结,17,将直角坐标系下累次积分:,化为极坐标系下的累次积分.,解,原式=,练习：,18,解,练习：,19,计算二重积分,其中积分区域,答案,练习：,20,计算,因被积函数,D2,例,分析,故,的,在积分域内变号.,D1
3、,21,计算,解,积分区域D关于x轴对称,被积函数关于y为偶函数.,原式=,记D1为D的y0的部分.,则,D1,练习：,22,二重积分的计算规律,再确定交换积分次,1. 交换积分次序:,先依给定的积分次序写出积分域D的,不等式,并画D的草图;,序后的积分限;,2. 如被积函数为,圆环域时,或积分域为,圆域、扇形域、,则用极坐标计算;,23,3. 注意利用对称性质,数中的绝对值符号.,以便简化计算;,4. 被积函数中含有绝对值符号时,应,将积分域分割成几个子域,使被积函数在,每个子域中保持同一符号,以消除被积函,24,例,计算,分析,从被积函数看,用极坐标系要简单些,但从积分域D的形状看,为宜.
4、,用却又以直角坐标系,在两者不可兼得的情况下,应以D的形状,来决定用什么坐标系,此题用直角坐标系.,25,26,而D表示全平面,则,练习：,27,三、二重积分的换元法,设被积函数,在区域D上连续,若变换,满足如下条件:,(1),一对一地变为,D上的点;,(2),有连续的一阶偏导数,且雅可比行列式,28,基本要求,变换后定限简便,求积容易,注意：,29,例,解,所围成的闭区域.,其中D为椭圆,作广义极坐标变换,30,故换元公式仍成立,31,例,解,令,则,即,32,故,33,证明,证,法一,交换积分次序,累次积分,练习：,换元,34,思路：由于等式左端是重积分等式右端为定积分， 自然想到用重积分化为累次积分方法。,35,证明,法二,令,则,36,故,对称性,37,注意：做如下变换也可以,38,思考题,设有一曲顶柱体,以双曲抛物面,坐标面为底,试求这个柱体的体积.,解,由题设可知曲顶柱体在xOy平面上的投影,即积分域D(如图),由D的形状可知用极坐标计算,曲顶柱体的体积简便.,39,以双曲抛物面,故,40,思考题,解,41,二重积分计算步骤及注意事项, 画出积分域, 选择坐标系, 确定积分序, 写出积分限, 计算要简便：,域边界应尽量多为坐标线,被积函数关于坐标变量易分离,积分域分块要少,累次积好算为妙,图示法,不等式,( 先积一条线, 后扫积分域 ),充分利用对称性,
