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1、.,快速抢答！,sinc(x)d (x-1) =,tri(x)d (x + 0.5) =,sinc(x)*d (x-1) =,tri(x) * d (x + 0.5) =,0,sinc(x-1),0.5 d (x + 0.5),tri(x + 0.5),.,恩格斯(Engels) 把傅里叶的数学成就与他所推崇的哲学家黑格尔(Hegel) 的辩证法相提并论.,第三讲 二维傅里叶变换的基本概念及基本定理,他写道：傅里叶是一首数学的诗，黑格尔是一首辩证法的诗.,.,满足狄氏条件的函数 g(x) 具有有限周期t,可以在(-,+ )展为三角傅里叶级数:,展开系数,零频分量, 基频, 谐频, 频谱等概念，
2、 奇、偶函数的三角级数展开,1、三角傅里叶级数展开,.,三角傅里叶展开的例子,周期为t =1的方波函数,an,fn,频谱图,.,三角傅里叶展开的例子,练习 1-15：求函数 f(x)=rect(2x)*comb(x) 的傅里叶级数展开系数,.,三角傅里叶展开的例子,练习 0-15：求函数g(x)=rect(2x)*comb(x) 的傅里叶级数展开系数,采用指数傅里叶级数展开，可以使展开系数的表达式统一而简洁。,.,二维傅里叶变换 指数傅里叶级数,满足狄氏条件的函数 g(x) 具有有限周期t,可以在(-,+ )展为指数傅里叶级数:,展开系数,零频分量, 基频, 谐频, 频谱等概念,指数傅里叶级数
3、和三角傅里叶级数是同一种级数的两种表示方式，一种系数可由另一种系数导出。,.,二维傅里叶变换 指数傅里叶级数,思考题 利用欧拉公式，证明指数傅里叶系数与三角傅里叶系数之间的关系：,.,二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform从傅里叶级数到傅里叶变换,函数 (满足狄氏条件) 具有有限周期t,可以展为傅里叶级数:,n级谐波频率:n/t 相邻频率间隔: 1/t,.,二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform从傅里叶级数到傅里叶变换,由于t 分立的n级谐波频率 n/t f, f: 连续的频率变量 相邻频率间隔: 1/t 0, 写作df, 求和积分,.,二维傅里叶变换
4、2-D Fourier Transform从傅里叶级数到傅里叶变换,写成两部分对称的形式:,这就是傅里叶变换和傅里叶逆变换,.,二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform一、定义及存在条件,函数f(x,y)在整个x-y平面上绝对可积且满足狄氏条件(有有限个间断点和极值点,没有无穷大间断点), 定义函数,f(x,y): 原函数, F(fx,fy): 像函数或频谱函数,傅里叶变换的核: exp(-j2pfx),.,二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform一、定义(续),由频谱函数求原函数的过程称为傅里叶逆变换:,f(x,y)和F(fx,fy)称为傅里叶变换对,x
5、(y) 和 fx (fy )称为一对共轭变量, 它们在不同的范畴(时空域或频域) 描述同一个物理对象.,.,二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform一、定义(续),描述了各频率分量的相对幅值和相移.,F(fx,fy)是f(x,y)的频谱函数,.,傅里叶变换作为分解式,由逆变换式，可以把函数f(x,y)分解成形式为 的基元,这种基元函数具有下述性质：,(1)代表传播方向为 的单位振 幅的平面波. (2)当 时, 表示零位相线,其与x轴的夹角,函数的线性组合，其频谱,只不过是一个权重因子。,.,(3)引入了空间频率的概念. 沿等位相线法线方向:,综合上述分析，逆傅里叶变换的物理意
6、义是：物函数f(x,y)可以看成是无数振幅不同(|F(fx,fy)|dfxdfy)，方向不同(cos=fx， cos=fy )的平面波线性叠加的结果。此即傅里叶分解。,.,图1-5-1 函数 ei2(fxx+fyy) 的零位相直线族,.,二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform广义 F.T.,对于某些不符合狄氏条件的函数, 求F.T.的方法.,例: g(x,y)=1, 在(-, + )不可积,对某个可变换函数组成的系列取极限不符合狄氏条件的函数, 函数系列变换式的极限原来函数的广义F. T.,可定义: g(x,y)=lim rect(x/t)rect(y/t) t ,.,根据
7、广义傅立叶变换的定义和d 函数的定义:,1 = d(fx, fy),按照广义变换的概念可以得出一系列特殊函数的F.T.,.,例1：求,解:计算过程分为三个步骤：,显然有：,(1)选择适当的函数序列,例如,(1-5-6),.,(3)求极限: 上式就是符号函数的广义傅里叶变换.,(1-5-7),(2)求变换:,.,例2：求,解:(1)选择适当的函数序列,例如选取,显然有：,(2)求变换,(1-5-8),.,令,并利用积分公式;,容易求得:,(3)求极限 : 由上式取极限最后得到,.,二、 极坐标下的二维傅里叶变换和傅里叶-贝塞尔变换特别适合于圆对称函数的F.T.,依F.T.定义:,极坐标变换,.,
8、令:,则在极坐标中:,则极坐标下的的二维傅里叶变换定义为：,1-7 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform 极坐标下的二维傅里叶变换,.,二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform 傅里叶-贝塞尔变换,当 f 具有园对称性，即仅是半径r的函数:f(x,y)= g(r,q) = g (r). 依F.T.定义:,.,二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform 傅里叶-贝塞尔变换例: 利用F-B变换求圆域函数的F.T.,定义: 是圆对称函数,作变量替换, 令r =2prr, 并利用:,.,将频谱函数G(f)分别写成实部(余弦变换)和虚部(正弦变换)
9、, 然后根据g(x)的虚、实、奇、偶 性质讨论频谱的相应性质.,注意: 并非实函数的频谱一定是实函数.只有厄米函数(实部为偶函数,虚部为奇函数)的频谱才一定是实函数.,二维傅里叶变换2-D Fourier Transform,三. 虚、实、奇、偶函数的 F.T.,.,二、 F.T.定理 - F.T.的基本性质,1. 线性定理 Linearity,2. 空间缩放 Scaling (相似性定理）,.,二、 F.T.定理 空间缩放,注意空域坐标(x,y)的扩展(a,b1),导致频域中坐标(fx,fy)的压缩及频谱幅度的变化. 反之亦然.,f,0,2,-2,1/2,.,二、 F.T.定理 3. 位移定
10、理 Shifting,频率位移:原函数在空间域的相移,导致频谱的位移.,空间位移:原函数在空域中的平移,相应的频谱函数振幅分布不变,但位相随频率线性改变.,.,二、 F.T.定理 4. 帕色伐(Parseval)定理,若g(x)代表加在单位电阻上的电流或电压, 则| g(x) |2dx 代表信号的总能量(或总功率),| G(f) |2代表能量(功率)的谱密度(单位频率间隔的能量或功率),Parseval定理说明,信号的能量由|G(f)|2曲线下面积给出.或者说等于各频率分量的能量之和能量守恒,.,二、 F.T.定理 - Parseval定理的证明,交换积分顺序,先对x求积分:,利用复指函数的F
11、.T.,利用d 函数的筛选性质,思考题:,.,二、 F.T.定理 5. 卷积定理,空域中两个函数的卷积, 其F.T.是各自F.T.的乘积.,空域中两个函数的乘积, 其F.T.是各自F.T.的卷积.,将时、空域的卷积运算，化为频域的乘积运算，特别有用. 亦可用于求复杂函数的F.T.和复杂函数的卷积,.,卷积定理的证明,交换积分顺序:,应用位移定理,应用F.T.定义,.,7.自相关定理,9.迭次变换定理,6. 互相关定理,( 表示互功率谱),8.积分定理,10.积分变换定理,.,12.共轭变换定理 若f(x,y)是非负的实函数(例如光强度),则有 具有上述性质的函数称为厄米特函数.,11.微分变换定理,
