《2017-2018版高中数学 第二章 空间向量与立体几何 1 从平面向量到空间向量 北师大版选修2-1(1)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018版高中数学 第二章 空间向量与立体几何 1 从平面向量到空间向量 北师大版选修2-1(1)（38页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二章空间向量与立体几何,1从平面向量到空间向量,学习目标 1.理解空间向量的概念. 2.了解空间向量的表示法，了解自由向量的概念. 3.理解空间向量的夹角. 4.理解直线的方向向量与平面的法向量的概念.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考1,知识点一空间向量的概念,类比平面向量的概念，给出空间向量的概念.,在空间中，把具有大小和方向的量叫作空间向量.,答案,若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也一定相同吗？,一定相同.因为相等向量的方向相同，长度相等，所以表示相等向量的有向线段的起点相同，终点也相同.,答案,思考2,梳理,空间向量的有关概念 (1)定义：在空
2、间中，把既有 又有 的量，叫作空间向量. (2)长度：空间向量的大小叫作向量的 或 . (3)表示法 (4)自由向量：与向量的起点无关的向量.,大小,方向,长度,模,有向线段,知识点二空间向量的夹角,思考,在平面内，若非零向量a与b共线，则它们的夹角是多少？,0或.,答案,梳理,间向量的夹角 (1)文字叙述：a，b是空间中两个非零向量，过空间任意一点O，作 a， b，则 叫作向量a与向量b的夹角，记作 . (2)图形表示：,AOB,a，b,0,锐角,直角,钝角,(3)范围： a，b . (4)空间向量的垂直：如果a，b ，那么称a与b互相垂直， 记作 .,0,ab,知识点三向量与直线、平面,1
3、.向量与直线 与平面向量一样，也可用空间向量描述空间直线的方向.如图所示. l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称 为直线l的 向量，显然，与 平行的任意非零向量a也是直线l的方向向量，直线的方向向量 于该直线.,方向,平行,2.向量与平面 如图，如果直线l垂直于平面，那么把直线l的方向向量a叫作平面的 .,法向量,题型探究,类型一有关空间向量的概念的理解,例1给出以下结论： 两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；若空间向量a，b满足|a|b|，则ab；在正方体ABCDA1B1C1D1中，必有 ；若空间向量m，n，p满足mn，np，则mp.其中不正确的个数是 A.1B.2 C.
4、3D.4,答案,解析,两个空间向量相等，它们的起点、终点不一定相同，故不正确； 若空间向量a，b满足|a|b|，则不一定能判断出ab，故不正确；,显然正确.故选B.,在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和在平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同，模相等.两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反.,反思与感悟,答案,解析,A.1 B.2 C.3 D.4,(2)如图，在长方体ABCDABCD中，AB3，AD2，AA1，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中： 单位向量共有多少个？,解答,试写出模为 的所有向量；,解答,试写出与向量 相等的所有向量；,解
5、答,试写出向量 的所有相反向量.,解答,类型二求空间向量的夹角,例2如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求下列各对向量的夹角：,解答,解答,解答,引申探究,解答,如图，连接B1C，则B1CA1D，,在ACB1中，因为ACAB1B1C，,求解空间向量的夹角，要充分利用原几何图形的性质，把空间向量的夹角转化为平面向量的夹角，要注意向量方向.,反思与感悟,跟踪训练2,答案,解析,取AB的中点O，连接OC，OD，易得OCAB，ODAB. 故AB平面OCD，又CD平面OCD，所以ABCD.,类型三直线的方向向量与平面法向量的理解,例3已知正四面体ABCD. (1)过点A作出方向向量为 的空间直线；
6、,解答,如图，过点A作直线AEBC， 由直线的方向向量的定义可知， 直线AE即为过点A且方向向量为 的空间直线.,(2)过点A作出平面BCD的一个法向量.,解答,如图，取BCD的中心O， 由正四面体的性质可知，AO垂直于平面BCD， 故向量 可作为平面BCD的一个法向量.,直线的方向向量有无数个，但一定为非零向量；平面的法向量也有无数个，它们互相平行. 给定空间中任意一点A和非零向量a，可以确定：(1)唯一一条过点A且平行于向量a的直线；(2)唯一一个过点A且垂直于向量a的平面.,反思与感悟,跟踪训练3 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P是DD1的中点，以C1为起点，指出直线AP的一
7、个方向向量.,解答,取BB1中点Q，C1C中点M，连接C1Q，BM，PM， 则PM綊DC綊AB. 所以四边形APMB为平行四边形，所以AP綊BM. 又在四边形BQC1M中，BQ綊C1M， 所以四边形BQC1M为平行四边形， 所以BM綊C1Q，,当堂训练,2,3,4,5,1,1.下列命题中，正确的是 A.若|a|b|，则a与b共线 B.若|a|b|，则ab C.若ab，则|a|b| D.若ab，则a与b不共线,模相等，方向不确定，向量不一定共线，故A错误. 向量不能比较大小，故B错误. 向量不相等，但方向可以相同或相反，所以不相等的向量可以共线，故D错误.因此C正确.,答案,解析,2,3,4,5
8、,1,2.以长方体ABCDA1B1C1D1的任意两个顶点为起点和终点的向量中，能作为直线BB1的方向向量的个数为 A.8 B.7 C.6 D.5,答案,解析,2,3,4,5,1,3.若把空间中所有单位向量的起点放置于同一点，则这些向量的终点构成的图形为_.,这些向量的终点到起点的距离均为1，且起点相同， 故终点构成的图形是球面.,答案,解析,球面,2,3,4,5,1,4.在长方体中，从同一顶点出发的三条棱的长分别为1，2，3，在分别以长方体的任意两个顶点为起点和终点的向量中，模为1的向量个数为_.,研究长方体的模型可知，所有顶点两两相连得到的线段中，长度为1的线段只有4条，故模为1的向量有8个.,答案,解析,8,2,3,4,5,1,5.在直三棱柱ABCA1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是_.(填序号),答案,规律与方法,在空间中，一个向量成为某直线的方向向量的条件包含两个方面：一是该向量为非零向量；二是该向量与直线平行或重合.二者缺一不可. 给定空间中任意一点A和非零向量a，就可以确定唯一一条过点A且平行于向量a的直线.,
