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1、最新北师大版九年级上册数学精品资料设计21.2.3 一元二次方程的根的判别式各位老师:你们好!我是来自甘肃省兰州市兰化第一中学的数学教师宋庆萍,今天我说课的内容是:人教社九年义务教育四年制初中代数第三册第十二章第三节“一元二次方程的根的判别式”。下面将从三个方面来汇报我是如何分析教材和设计教学学教程的。一、教材分析方面: 1、本节教材的地位及作用:“一元二次方程的根的判别式”一节,是在学生已经学过一元二次方程的解法,并对b2-4ac的作用有所了解的基础上,来进一步研究它的作用的一个重要理论内容,它是前面知识的深化与总结。它在整个中学数学中占有重要的地位,既可以根据它来判断一元二次方程的根的情况
2、,又可以为今后研究不等式,二次函数,二次曲线等奠定基础,并且可以解决许多其它问题。通过这一节的学习,培养学生的探索精神和观察、分析、归纳的能力,以及逻辑思维能力、推理论证能力,并向学生渗透转化和分类的数学思想,渗透数学的简洁美。2、教学内容的确定:本节课的主要内容是:一元二次方程根的判别式的意义,定理、逆定理及其应用,对定理的引出我改变了教材中直接推证的方法,而是通过设置悬念让学生解三种不同的方程的亲身感受来发现定理,这样使学生感到自然、易于授受,对教材中的例题则有所增加,例题的设置由浅入深,这样安排符合学生的认知规律,同时,使学习内容充实,不单调。3、教学目的;依据教学大纲和对教材的分析,以
3、及结合学生已有的知识基础,本节课的教学目的是:(1)使学生理解一元二次方程的根的判别式概念;(2)能运用根的判别式在不解方程的前提下,判别方程根的情况,和进行有关的推理证明;(3)会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围;(4)培养学生的探索精神和逻辑思维能力以及推理论证能力;(5)向学生渗透分类的数学思想和数学的简洁美。4、教学重点、难点及关键:重点:根的判别式定理及逆定理的正确理解和运用;难点:根的判别式定理及逆定理的运用。关键:对根的判别式定理及其逆定理使用条件的透彻理解。二、教法与学法:本着“以学生发展为本”的教育理念,同时也为了使学生都能积极地参与到课堂教学中,发挥学生的主
4、观能动性,本节课主要采用了引导发现、讲练结合的教学方法,教法与学法设计了以下八个层次;序号教 师学 生1设置悬念,引发兴趣争先恐后,欲解疑团2设计练习,创设情境动手解题,亲身感知3启发引导,发现结论观察分析、得出结论4引导学生,理论验证阅读理解,自学教材5揭示定理加深认识6应用定理,解决问题巩固应用,形成技能7归纳小结整体把握8布置作业巩固提高以上八个层次,是按照“实践认识实践”的认知规律设计的,它增加了学生参与的机会和体验获取知识过程的时间。从而有效地调动了学生学习数学的积极性。三、教学过程、设置悬念,引发兴趣:【教师】:同学们,我们已经学会了怎么解一元二次方程,对吗?那么,现在宋老师这儿还
5、有一手绝活,就是:我随便拿到一个一元二次方程的题目,我不用具体地去解它,就能很快知道它的根的大致情况,不信呀!同学们可以随便地出两个题考考我。【学生】【说明】这样设计,能马上激发学生的学习兴趣和求知欲,为后面发现结论创造一个最佳的心理状态。设计练习,创设情境;【教师】你们一定很想知道我的绝活是怎么回事吧?那么好,现在就请同学们用公式法解以下三个一无二次方程;你们会很快发现我的奥秘。用公式法解一元二次方程(用投影仪打出)(1)X2+3x+1=0 (2)4X2-4x+1=0 (3)X2-2x+5=0(注:找三名学生板演,其余学生在位上做)【学生】【说明】这样设计,使学生亲身感知一元二次方程根的情况
6、,培养了学生的探索精神,变“老师教”为“自己钻”,从而发挥了学生的主观能动性。 启发引导,发现结论:【教师】请同学们观察这三个方程的解题过程,可以发现:在把系数代入求根公式之前,每题都是先确定了a、b、c的值,然后求出了b2-4ac的值,为什么要这样写呢?【学生】【教师】(1)由此可见:在解一元二次方程aX2+bx+c=0(a0)时,代数式b2-4ac起着重要的作用,显然我们可以根据b2-4ac的值符号来判断一元二次方程aX2+bx+c=0的根的情况,因此,我们把b2-4ac叫做一元二次方程的根的判别式,通常用符号“(读作delta,它是希腊字母)”来表示,即=b2-4ac。我们说在今后的数学
7、学习中还会遇到:用一个简单的符号来表示一个数学式子的情况,同学们要逐渐适应这一点。(2)注意:,应= b2-4ac。(3)通过解这三个方程,同学们可以发现一元二次方程根的情况有哪几种,谁能总结出来?【学生】【说明】:这样设计(1)是为了让学生明白:b2-4ac的值的符号在解一元二次方程中所起的重要作用,从而很自然地引出了根的判别式概念。(2)是为了培养学生从具体到抽象的观察、分析与概括能力并使学生从感性认识上升到理性认识,真正体验自己发现结论的成功乐趣。引导学生,理论验证: 【教师】一元二次方程根的情况果真有三种吗?请同学们认真阅读课本P26-27正数第六行的内容,书上从理论方面给我们做了很好
8、的解释。【学生】【说明】这样设计是为了培养学生思维的严谨性,养成严格论证问题的习惯以及自学能力的培养。揭示定理:【教师】(1)由此我们就得出了:关于一元二次方程aX2+bx+c=0(a0)根的判别式定理:在一元二次方程aX2+bx+c=0(a0)中,=b2-4ac若0时,则方程有(两个)实数根若0 则方程有两个不相等的实数根若 =0 则方程有两个相等的实数根若0则方程没有实数根(2)我们说:这个定理的逆命题也成立,即有如下的逆定理:在一元二次方程aX2+bx+c=0(a0)中,=b2-4ac若方程有(两个)实数根,则0若方程有两个不相等的实数根,则0 若方程有两个相等的实数根, 则=0若方程没
9、有实数根, 则0(3)定理与逆定理的用途不同定理的用途是:在不解方程的情况下,根据值的符号,用定理来判断方程根的情况。逆定理的用途是:在已知方程根的情况下,用逆定理来确定值的符号,进而可求出系数中某些字母的取值范围。(4)注意运用定理和逆定理时,必须把所给的方程化成一般形式后方可使用。【说明】这样设计是为了培养学生学会如何用数学语言来阐述发现的结论,如何将感性认识上升到理性认识,以及加深学生对两个定理的认识,为定理及逆定理的正确运用做好铺垫。应用定理,解决问题:【教师】下面我们就来学习两个定理的应用。例1:不解方程判别下列方程根的情况。1 2X2+3X-4=0 2 16g2+9=24y35(X
10、2+1)-7x=0 4 X2+2分析;要判别方程根的情况,根据定理可知;就是要确定值的符号,解:略小结(1)综上可知:运用根的判别式定理时,必须先把方程化为一般形式,并认准a、b、c的值;(2)在确定值的符号时,可不必算出的具体数值,只要能确定出值的符号即可。例如:对于第2)小题中的值可作如下处理,比较简便,=(-24)2-4169=242-224232=242-242=0(3)由此可知:判别方程根的情况时,不必求出方程的根。学生练习:P28/3、4、5补充练习:不解方程,判别下列方程根的情况,(2m2+1)X2-2mx+1=0例2:求证:关于X的方程(m2+1)X2-2mx+(m2+4)=0
11、,没有实数根。分析:提出两个问题:1是谁决定了方程有无实数根?2现在要证方程无实数根只要证明什么就行了?解:略小结(1)运用根的判别式定理来判断:含有字母系数的一元二次方程根的情况的一般步骤是:把方程化为一般形式,确定a、b、c的值,计算;用配方法等将变形,使之符号明朗化后,判断的符号。根据根的判别式定理,写出结论。(2)注意关于的变形;一般情况下,由配方或因式分解后能变形成a2,-a2,a2+2,-(a2+2),(a+2)2,-(a+2)2等形式;那么的符号就明朗了,即可判断其符号。学生练习;P29/B3注意:以上两组练习时,学生板演,其余学生在位上做;板演后如果发现有错或有其他解法,下面同
12、学可主动上去纠正或写出自己的不同解法,然后教师进行讲评。思考题:已知关于X的方程X2+2(a+1)x+(a2+4a-5)=0,当a取何正整数时,方程有实数根?分析:要解决这个问题,应先假设方程有实根,然后根据根的判别式的逆定理,得出0,再由0解这个不等式,从而求出a的取值范围,进而得出a的正整数解。解:略注意:本思考题是让学生自己分析,教师只帮助学生理清思路,最后让学生自己完成。【说明】这样设计,主要是为了给学生创造一个知识运用迁移及巩固的机会,同时也为了吸引和调动全班同学参与到积极动脑,各抒已见的活跃气氛中来。归纳小结【教师】(1)今天我们是在一元二次方程解法的基础上,学习了根的判别式的应用
13、,它在整个中学数学中占有重要地位,是中考命题的重要知识点,所以必须牢固掌握好它。(2)注意根的判别式定理与逆定理的使用区别:一般当已知值的符号时,使用定理;当已知方程根的情况时,使用逆定理。(3)一元二次方程aX2+bx+c=0(a0)(=b2-4ac)判别式情况根 的 情 况定 理 与 逆 定 理0X1,X2=0有(两个)实数根0有两个不等实数根0X1,X2=0有两个相等实数根0无意义, X1,X2不存在0无实根【说明】这样设计是为了使学生系统地了解和掌握本节课的内容,与前后知识的联系以及它在教材中的地位,能起到提纲挈领的作用。布置作业:1、阅读课本P26-28的内容; 2、课本P29习A2、4、6,B1,2; 3、证明:方程(2m-1)X2+2mx+2=0恒有实数根; 4、已知:方程X2+2X-n+1=0没有实数根; 求证:方程X2+bnx=1-2n一定有两个不相等的实根。注(第3、4题供学有余力的学生做)【说明】这样设计是为了使学生能巩固本节课所学知识,培养学生自觉学习的习惯,同时对学有余力的学生留出自由的发展空间。7最新北师大版九年级上册数学精品资料设计