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1、高中学习讲义 只要坚持梦想终会实现- 1 - 南开中学 2020 届高三数学统练（5） 一、选择题 1.设命题 2 :,2 n PnN n ，则 P为（ ） A. 2 ,2 n nN nB. 2 ,2 n nN n C. 2 ,2 n nN nD. 2 ,2 n nN n 【答案】 C 【解析】 【详解】特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为 2 ,2 n nN n ，即本题 的正确选项为C. 2.设 x、y、z 为正数，且 235 xyz ，则 A. 2x3y5zB. 5z2x3y C.3y5z2xD. 3y2x5z 【答案】 D 【解析】 令235(1) xyz k k，则2 l
2、ogxk， 3 logyk， 5 logzk 22lglg 3lg 9 1 3lg 23lglg8 xk yk ，则23xy， 22lglg 5lg 25 1 5lg 25lglg 32 xk zk ，则2 5xz，故选 D. 点睛: 对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的 , ,x y z，通过作差或作商进行比较大小. 对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤 其是换底公式以及0 与 1 的对数表示. 3.有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求： 每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同已 知三个房间的粉刷面积（单位： 2 m）分别为 x，y，z，且 xyz
3、，三种颜色涂料的粉刷 费用（单位：元/ 2 m ）分别为 a，b，c，且a bc在不同的方案中，最低的总费用（单 位：元）是（） 高中学习讲义 只要坚持梦想终会实现- 2 - A.axbyczB.azbycxC.aybzcxD. aybxcz 【答案】 B 【解析】 由xyz，abc，所以()()()axbyczazbycxa xzc zx ()()0 xz ac，故axbyczazbycx；同理，()aybzcxaybxcz ()()()()0b zxc xzxz cb，故aybzcxaybxcz.因为 ()azbycxaybzcx()()()()0a zyb yzabzy，故 azbycx
4、aybzcx.故最低费用为azbycx.故选 B. 4.已知函数 32 ( )1f xxaxbx，函数 (1)1yf x为奇函数， 则函数( )f x 的零点个数 为（） A. 0B.1C.2D. 3 【答案】 B 【解析】 试题分析： 32 (1)1(3)(32)1f xxa xab xab为奇函数，3a， 2b， 32 ( )321f xxxx， 2 ( )362fxxx， 则 ( )0fx的 两 根 为 1 3 1 3 x ， 2 3 1 3 x ，所以，( )fx 的极小值为 2 ()0f x又(0)10f， ( 1)50f，存在 0 ( 1,0)x，使 0 ()0f x综上，函数(
5、)f x 的零点个数为1,故应 选 B 考点：函数的零点和导数的有关知识的运用 【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值问题的重要工具，也高考和各级各类考试的重 要内容和考点解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息，先求出函数的解析 表达式，运用题设中的(1)1yf x是奇函数，求出函数解析式中的参数的 高中学习讲义 只要坚持梦想终会实现- 3 - 值，进而运用导数求得函数的两个极值点，通过计算分析算得 2 ()0f x和 ，( 1)50f，从而判定函数的零点在区间内从而使得问题 获解，本题具有一定的难度，难点在于如何判定函数的图象的走向，这里求导计算 分析函数的极值起到的重要作用 5.设函数
6、(21) x fxexaxa，其中 1a ，若存在唯一的整数 0 x，使得 0 ()0f x， 则a的取值范围是（） A. 3 ,1 2e B. 33 , 2e 4 C. 33 , 2e 4 D. 3 ,1 2e 【答案】 D 【解析】 【分析】 设21 x g xex， 1ya x， 问 题 转 化 为 存 在 唯 一 的 整 数 0 x使 得 满 足 01g xa x ，求导可得出函数yg x的极值，数形结合可得01ag且 3 12ga e ，由此可得出实数 a的取值范围 . 【详解】设21 x g xex，1ya x， 由题意知，函数 yg x 在直线yaxa下方的图象中只有一个点的横坐
7、标为整数， 21 x gxex，当 2 1 x时，0gx；当 1 2 x时，0gx. 所以，函数yg x的最小值为 1 2 1 2 2 ge. 高中学习讲义 只要坚持梦想终会实现- 4 - 又01g，10ge 直线yaxa恒过定点1,0且斜率为a， 故01ag且 3 1gaa e ，解得 3 1 2 a e ，故选 D. 【点睛】本题考查导数与极值，涉及数形结合思想转化，属于中等题. 6.设函数fx满足 2 2 2,2, 8 x ee x fxxfxf x 则0 x时，fx( ) A. 有极大值，无极小值B. 有极小值，无极大值 C. 既有极大值又有极小值D. 既无极大值也无极小值 【答案】
8、D 【解析】 【详解】函数( )f x 满足 2 ( )2( ) x e x fxxf x x ， 2 x e x fx x ，令 2 Fxx fx， 则 2 ,24 2 2 x ee FxFf x ， 由 2 2 x e x fxxfx x ，得 3 2 x eFx fx x ，令2 x xeF x， 则 2 2, x x ex xeFx x x在0,2上单调递减，在2,上单调递增， x的最小值为 2 2220,0eFx. 又0,0,xfxfx在0,单调递增， fx既无极大值也无极小值，故选D. 考点： 1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数研究函数的极值及函数的求导法则. 【方法点睛】
9、本题主要考察抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题 一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构 高中学习讲义 只要坚持梦想终会实现- 5 - 造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数， 构造函数时往往从两方面着手：根据导函数的“ 形状 ” 变换不等式 “ 形状 ” ；若是选择题，可 根据选项的共性归纳构造恰当的函数.本题通过观察导函数的“ 形状 ” ，联想到函数 2 Fxx fx，再结合条件判断出其单调性，进而得出正确结论. 7.若函数 2 2 log 2 ax fxx x 为奇函数，则使不等式 2
10、 1 log 60f m 成立的m的取值 范围是（） A.,1B. 1 ,1 2 C.,00,1UD.1, 【答案】 B 【解析】 【分析】 利 用 2 2 log 2 ax fxx x 为 奇 函 数 ， 求 出a， 由 此 求 出 该 函 数 的 定 义 域 ， 不 等 式 2 1 log 60f m ，即 1 1ff m ，由 2 2 log 2 x fxx x 在区间2,2s 递减， 可得m的取值范围 . 【详解】由函数 2 2 log 2 ax fxx x 为奇函数，可得fxfx. 即： 22 22 loglog 22 axax xx xx ， 22 22 loglog 22 xax
11、 axx ，则 22 22 xax axx ， 所以， 222 44xa x ，得 2 1a ，解得1a. 当1a时，函数yfx的定义域为2x x ，定义域不关于原点对称，不合乎题意； 当1a时， 2 2 log 2 x fxx x ，由 2 0 2 x x ，解得22x，该函数的定义域为 2,2，定义域关于原点对称，且满足fxfx，函数yfx为奇函数 . 对于函数 2 2 log 2 x y x ，内层函数 24 1 21 x u xx 在2,2上单调递增，外层函数 2 logyu在0,上单调递增， 高中学习讲义 只要坚持梦想终会实现- 6 - 所以，函数 2 2 log 2 x y x 在
12、2,2上单调递增. 所以，函数 2 2 log 2 x fxx x 在2,2上单调递减，且 222 11log 31log 3log 6f， 由 2 1 log 60f m 得 2 1 log 61ff m ， 1 12 m ，解得 1 1 2 m. 故选： B. 【点睛】本题主要考查函数的单调性、奇偶性及利用函数单调性解不等式，综合性大，属于 中档题型 . 8.定义 “ 规范 01 数列 ”an如下：an 共有 2m 项，其中 m 项为 0，m 项为 1，且对任意2km ， 12 ,ka aa中 0 的个数不少于1 的个数 .若 m=4，则不同的 “ 规范 01 数列 ” 共有 A. 18
13、个B. 16 个 C. 14 个D. 12 个 【答案】 C 【解析】 【详解】试题分析：由题意，得必有 1 0a， 8 1a，则具体的排法列表如下： ,01010011;010101011,共 14 个 【点睛】求解计数问题时，如果遇到情况较为复杂，即分类较多，标准也较多，同时所求计 数的结果不太大时，往往利用表格法、树状图将其所有可能一一列举出来，常常会达到岀奇 制胜的效果 高中学习讲义 只要坚持梦想终会实现- 7 - 9.已知 f(x)为偶函数，且在,0上为增函数，20f，满足不等式10fx的 x 取 值范围是（） A.1,3B.3,1 C., 13,D., 31, 【答案】 C 【解析
14、】 【分析】 根据函数奇偶性和单调性的关系，将不等式 10fx转化为1(2)fxf，即可得 到结论 . 【详解】 解：由题意： f(x)为偶函数， 且在,0上为增函数，20f，可得 f(x) 在(0,) 上为减函数，且20f，10fx等价于 10fx，即1(2)fxf， 则1 2x ，解得：3x或1x， 故选： C. 【点睛】本题主要考查函数奇偶性的性质及奇偶性与单调性的综合,注意灵活运用函数性质解 题. 二、填空题（共 6 小题：共 30 分） 10.对于复数i,zab a bR，若 2i i 12i z ，则b_ 【答案】2 【解析】 2i12i2i ii 12i5 z ，2i=zabi，
15、2b故答案为 2 . 11.在二项式 51 () 2 x x 的展开式中， 2 x 的系数为 _ 【答案】 5 2 . 【解析】 【分析】 高中学习讲义 只要坚持梦想终会实现- 8 - 由题意结合二项式定理展开式的通项公式得到r的值，然后求解 2 x 的系数即可 . 【详解】结合二项式定理的通项公式有： 3 5 5 2 155 11 2 2 rr r rrr r TC xC x x ， 令 3 52 2 r可得： 2r = ，则 2 x 的系数为： 2 2 5 115 10 242 C . 【点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所 给出的条件（特定项）
16、和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中n和r 的隐含条件，即 n、r 均为非负整数，且nr，如常数项指数为零、有理项指数为整数等）)； 第二步是根据所求的指数，再求所求解的项 （2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解 12.已知 3 31fxxx，33fa，31f b，则 a b的值为 _. 【答案】 6. 【解析】 【分析】 令 3 3h xxx，可得h x为奇函数 ,( )1fxh x,且330h ah b，可得 a b的值. 【详解】解：令 3 3h xxx，可得h x为奇函数，且( )1f xh x， 由33fa，可得3(3)12h af a， 31f b，可得3(3)12h bf b，可得330h ah b， 由h x为奇函数，可得330ab，故6ab， 故答案为： 6. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性及函数的综合应用问题，相对不难. 13.已知函数 2 ln21fxxxaxax，若函数f(x)在 1x 处取得极大值，则实数a 的 取值范
