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1、二、 函数的间断点,一、函数的连续性,第四节 函数的连续性,三、连续函数的性质,一、 函数连续性,（2）若,在某区间上每一点都连续 ,则称它在该区间上,连续 ,或称它为该区间上的连续函数 .,（3）若函数 在开区间 (a,b) 内连续，且在左端点 a 右连续，在右端点 b 左连续，则称函数 在闭区间 a,b 上连续，并称 是 a,b 上的连续函数。,在,在,二、 函数的间断点,(1) 函数,(2) 函数,不存在;,(3) 函数,存在 ,但,不连续 :,设,在点,的某去心邻域内有定义 ,则下列情形,这样的点,之一函数 f (x) 在点,虽有定义 , 但,虽有定义 , 且,称为间断点（discon
2、tinuous point）,在,无定义 ;,间断点分类:,第一类间断点:,第二类间断点:,为其无穷间断点 .,为其振荡间断点 .,为可去间断点 .,例如:,显然,为其可去间断点 .,(4),(5),为其跳跃间断点 .,定理. 连续单调递增 函数的反函数,在其定义域内连续,三、连续函数的性质,定理1.3. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 ,商(分母不为 0) 运算,结果仍是一个在该点连续的函数 .,如,如,在,上连续单调递增，,其反函数,(递减).,在 1 , 1 上也连续单调递增.,递增,(递减),也连续单调,1. 连续函数的运算,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数经四
3、则运算仍连续,连续函数的复合函数连续,一切初等函数在定义区间内连续,例如,的连续区间为,(端点为单侧连续),的连续区间为,的定义域为,因此它无连续点,而,2.基本初等函数的连续性,3.闭区间上连续函数的性质,例如,无最大值和最小值,也无最大值和最小值,又如,由定理 1.5可知有,证: 设,例. 证明方程,一个根 .,证: 显然,故据零点定理, 至少存在一点,使,即,说明:,内必有方程的根 ;,取,的中点,内必有方程的根 ;,可用此法求近似根.,二分法,在区间,内至少有,则,则,练习：,至少有一个不超过 4 的,证：,证明,令,且,根据零点定理 ,原命题得证 .,内至少存在一点,在开区间,显然,
4、正根 .,内容小结,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数的四则运算的结果连续,连续函数的反函数连续,连续函数的复合函数连续,初等函数在定义区间内连续,说明: 分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性.,作业：P19 23 24,第一章 习题课,一.内容小结 二.典型题目解答,一.内容小结,1. 初等函数的定义 分段函数不是初等函数 2.极限概念 极限过程反映了自变量向某一目标趋近的过程中因变量的变化趋势. 任何有极限的变量都可以表示为其极限值与一个无穷量之和.,两个重要极限,3.函数连续的定义 一切初等函数在其定义区间上都是连续的. 4.几个关系 函数在一点有无极限与在此点的函数值无关； 函数在一点连续不仅要求函数在此点有定义，而且 在此点的极限必须存在且等于在此点的函数值.,二、课后典型题目解答,
