《高中数学 第三章 导数及其应用 3.4 生活中的优化问题举例优质课件2 新人教A版选修1-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第三章 导数及其应用 3.4 生活中的优化问题举例优质课件2 新人教A版选修1-1（43页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.4生活中的优化问题举例,一、如何判断函数的单调性？,f(x)为增函数,f(x)为减函数,设函数y=f(x)在 某个区间内可导,二、如何求函数的极值与最值？,求函数极值的一般步骤：,（3）求f(x)=0的根.,（4）列表.,（5）判断.,求f(x)在闭区间a,b上的最值的步骤：,(1)求函数f(x)在区间(a,b)内的极值.,(2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b）比较,从而确定函数的最值.,生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，通过前面的学习，知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的优化问
2、题.,1了解导数在实际问题中的应用. 2对给出的实际问题，如使利润最大、效率最高、用料最省等问题，体会导数在解决实际问题中的作用. 3利用导数知识解决实际中的最优化问题.（重点） 4将实际问题转化为数学问题，建立函数模型.（难点）,探究点1 海报版面尺寸的设计 【例1】学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传.现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm，如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？,因此，x=16是函数S(x)的极小值点，也是最小值点.所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小.,解法二：
3、由解法一得,2在实际应用题目中，若函数f(x)在定义域内只有一个极值点x0 ，则不需与端点比较，f(x0)即是所求的最大值或最小值.,1设出变量找出函数关系式；确定出定义域；所得结果符合问题的实际意义.,(所说区间的也适用于开区间或无穷区间),【提升总结】,用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四个角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?,【即时训练】,解答：设容器的高为xcm,容器的容积为V(x)cm3, 则V(x)=x(90-2x)(48-2x) =4x3-276x2+4320 x(0x2
4、4). V(x)=12x2-552x+4320=12(x2-46x+360) =12(x-10)(x-36)(0x24). 令V(x)=0,得x1=10,x2=36(舍去).,【解题关键】 直接列出体积关于高的函数解析式,再利用导数求解.,当00,V(x)是增函数; 当10x24时,V(x)0,V(x)是减函数. 因此,在定义域(0,24)内,只有当x=10时函数V(x)取得最大值,其最大值为 V(10)=10(90-20)(48-20)=19 600(cm3), 故当容器的高为10cm时,容器的容积最大,最大容积是19 600cm3.,【规律总结】 与面积、容(体)积有关最值问题的解决策略
5、解决面积、容积(体积)的最值问题,要正确引入变量,将面积或容积(体积)表示为变量的函数,结合实际问题的定义域,利用导数求解函数的最值.,探究点2 饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 【例2】下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，若它们的价格如下表所示，则 （1）对消费者而言，选择哪一种更合算呢？ （2）对制造商而言，哪一种的利润更大？,某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是0.8pr2分，其中r是瓶子的半径，单位：cm,已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半径为6cm， 问题： ()瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ (）瓶子半径多大时，每
6、瓶饮料的利润最小？,解：由于瓶子的半径为r,所以每瓶饮料的利润为,-,+,减函数,增函数,-1.07p,当r2时，f(r)0,它表示f(r)单调递减，即半径越大，利润越低.,（1）半径为2cm时，利润最小.这时f(2)0,表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值；,（2）半径为6cm时，利润最大.,因此，当r2时，f(r)0,它表示f(r)单调递增，即半径越大，利润越高；,从图中，你还能看出什么吗？,当0r3时，利润为负值；当r3时，利润为零；当r3时，利润为正值，并随着瓶子半径的增大利 润也相应增大.,【规律总结】求解利润最大问题的两个注意点 (1)注意定义域:在求解利润最大问
7、题时,一定要注意所列函数的定义域.并且能够正确列出函数的解析式,这是求解利润最大问题的前提. (2)实际联系:在求解利润最大问题时,一定要注意所得的结果是否和现实情况相符合,因此,在求得结果之后,要进行检验.,已知某厂每天生产x件产品的总成本为,若受到产能影响，该厂每天至多只能生产800件产品， 则要使平均成本最低，每天应生产多少件产品呢？,解析：设平均成本为y元，每天生产x件产品，则,【即时训练】,因为函数在（0，1000）上是减函数 又因为0x1000有意义，即当x=800时，y取最小值,【例3】磁盘的最大存储量问题 计算机把数据存储在磁盘上.磁盘是带有磁性介质 的圆盘，并有操作系统将其格
8、式化成磁道和扇区. 磁道是指不同半径所构成的同心圆轨道，扇区是指被 圆心角分割所成的扇形区域.磁道上的定长弧段 可作为基本存储单元， 根据其磁化与否可分别 记录数据0或1，这个基本 单元通常被称为比特（bit）.,为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必须大于m， 每比特所占用的磁道长度不得小于n.为了数据检索 便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数. 问题：现有一张半径为R的磁盘，它的存储区是半径介于 r与R之间的环形区域 是不是r越小，磁盘的存储量越大？ r为多少时，磁盘具有最大存储量 （最外面的磁道不存储任何信息）？,解：由题意知：存储量=磁道数每磁道的比特数. 设存储区的半径介
9、于r与R之间，由于磁道之间的 宽度必须大于m，且最外面的磁道不存储任何信息， 故磁道数最多可达 .由于每条磁道上的比特数 相同，为获得最大存储量，最内一条磁道必须装满， 即每条磁道上的比特数可达 ， 所以磁盘总存储量,(1)它是一个关于r的二次函数，从函数解析式上可以 判断，不是r越小，磁盘的存储量越大 (2)为求 的最大值，计算 令 ，解得 当 时， ；当 时， 因此 时，磁盘具有最大存储量, 此时最大存储量为,已知某厂生产x件产品的成本为c=5 000+200 x+ x2(元), 若产品以每件500元售出,要使利润最大,应生产产品 件.,【即时训练】,【解题关键】 根据题意,直接列出利润的
10、函数关系式.再求利润函数的导数,利用导数求解.,【自主解答】利润f(x)=500 x-(5 000+200 x+ x2) =- x2+300 x-5 000, f(x)=- x+300=0,解得x=6 000. 当x0;当x6 000时,f(x)0, 所以,当x=6 000时,利润最大. 答案:6 000,解决优化问题的方法之一：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决在这个过程中，导数往往是一个有利的工具，其基本思路如以下流程图所示:,优化问题,用函数表示数学问题,用导数解决数学问题,优化问题的答案,建立数学模型,解决数学 模型,
11、作答,1函数f(x)x33bx3b在(0,1)内有极小值， 则 ( ) A00 Db,A,2.已知圆柱的表面积为定值S，求当圆柱的容积V最大时圆柱的高h的值 解析:设圆柱的底面半径为r，高为h， 则S圆柱底2r2，S圆柱侧2rh，,D,答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元 点评建立数学模型后，注意找准函数的定义域，这是此类题解答过程中极易出错的地方,5.在边长为60cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？,解：设箱高为xcm，则箱底边长为(602x)cm，则得箱子容积V是
12、x的函数， V(x)(602x)2x(00， 当10x30时，V(x)0. 所以当x10时，V(x)取极大值，这个极大值就是V(x)的最大值V(10)16 000(cm3),答：当箱子的高为10cm，底面边长为40cm时， 箱子的体积最大，最大容积为16 000cm3. 点评在解决实际应用问题中，如果函数在 区间内只有一个极值点，那么只需根据实际意义 判定是最大值还是最小值,不必再与端点的函数 值进行比较,1.解决优化问题的基本思路：,优化问题,用函数表示的数学问题,优化问题的答案,用导数解决数学问题,2导数在实际生活中的应用方向：主要是 解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要 有以下几个方面： (1)与几何有关的最值问题. (2)与物理学有关的最值问题. (3)与利润及其成本有关的最值问题. (4)效率最值问题.,3解决优化问题的方法： 首先是需要分析问题中各个变量之间的关系， 建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过 创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是 建立适当的函数关系.再通过研究相应函数的性质， 提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中， 导数是一个有力的工具.,卓越的人一大优点是：在不利与艰难的遭遇里百折不饶。 贝多芬,
