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1、高中数学总复习函数值域的7类题型和常用方法一、函数值域基本知识1定义 在函数中，与自变量x的值对应的因变量y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域(或函数值的集合)。2确定函数的值域的原则当函数用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y的集合；当函数用图象给出时，函数的值域是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合；当函数用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。二、常见函数的值域，是求其他复杂函数值域的基础 函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域。一般地，常见函数的值域：1.
2、一次函数 的值域为R2.二次函数 当时的值域为 当时的值域为3.反比例函数 的值域为4.指数函数 的值域为5.对数函数 的值域为R6.正，余弦函数的值域为 正，余切函数的值域为R三、求解函数值域的7种题型【题型一】一次函数的值域(最值)1.一次函数： 当其定义域为，其值域为；2.一次函数在区间上的最值只需分别求出，并比较它们的大小即可。若区间的形式为或等时，需结合函数图像来确定函数的值域。【题型二】二次函数的值域(最值)1.二次函数当其定义域为时，其值域为2.二次函数在区间上的值域(最值)首先判定其对称轴与区间的位置关系(1)若 则当时，是函数的最小值，最大值为中较大者； 当时，是函数的最大值
3、，最大值为中较小者。(2)若,只需比较的大小即可决定函数的最大(小)值。【特别提醒】若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大(小)值；若给定的区间形式是等时，要结合图像来确函数的值域；当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论。【例1】已知的定义域为，则的定义域为【例2】已知，且，则的值域为【题型三】一次分式函数的值域1.反比例函数 定义域为，值域为2.形如的值域(1)若定义域为时，其值域为(2)若时，我们把原函数变形为，然后利用(即的有界性)，便可求出函数的值域。【例3】函数的值域为 若时，其值域为【例4】当时，函数的值域 【例5】已知，且，则的值域为【例6】函
4、数的值域为 若，其值域为 【例7】求下列函数的最大值、最小值与值域。解：顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2抛物线的开口向上，函数的定义域R，x=2时，ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是y|y-3顶点横坐标23,4当x=3时，y= -2；x=4时，y=1；在3,4上，=-2，=1；值域为-2，1顶点横坐标20,1当x=0时，y=1；x=1时，y=-2,在0,1上，=-2，=1；值域为-2，1顶点横坐标2 0,5当x=0时，y=1；x=2时，y=-3, x=5时，y=6,在0,1上，=-3，=6；值域为-3，6（思考：为什么这里直接就说当 x=5时，=6，而不去考虑x=0对应的函数值情况？答
5、：因为观察图像可知x=5离对称轴较远，其函数值比x=0对应的函数值大）【题型四】二次分式函数的值域一般情况下，都可以用判别式法求其值域。但要注意以下三个问题：检验二次项系数为零时，方程是否有解，若无解或是函数无意义，都应从值域中去掉该值；闭区间的边界值也要考查达到该值时的是否存在；分子、分母必须是既约分式。【例1】 【例2】 【例3】 【例4】求函数的值域解：由原函数变形、整理可得： 求原函数在区间上的值域，即求使上述方程在有实数解时系数的取值范围当时，解得：也就是说，是原函数值域中的一个值 当时，上述方程要在区间上有解，即要满足或解得： 综合得：原函数的值域为【题型五】形如的值域这类题型都可
6、以通过换元转化成二次函数在某区间上求值域问题，然后求其值域。【例】求函数在时的值域 【题型六】分段函数的值域 一般分别求出每一分段上函数的值域，然后将各个分段上的值域进行合并即可。 如果各个分段上的函数图像都可以在同一坐标系上画出，从图像上便可很容易地得到函数的值域。【例1】解：将函数化为分段函数形式：，画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是y|y3解法2：函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和， 易见y的最小值是3，函数的值域是3，+ 两法均采用“数形结合”，利用几何性质求解，称为几何法或图象法。说明：以上是求函数值域常用的一些方法（观察法、配方法
7、、判别式法、图象法、换元法等），随着知识的不断学习和经验的不断积累，还有如不等式法、三角代换法等.有的题可以用多种方法求解，有的题用某种方法求解比较简捷，同学们要通过不断实践，熟悉和掌握各种解法，并在解题中尽量采用简捷解法.【例2】 【题型七】复合函数的值域对于求复合函数的值域的方法是：首先求出该函数的定义域，然后在定义域的范围内由内层函数的值域逐层向外递推。【例1】 【例2】 四、函数值域求解的常见求法1.直接法(俗名分析观察法)有的函数结构并不复杂，可以通过基本函数的值域及不等式的性质观察出函数的值域。即从自变量的范围出发，推出的取值范围。或由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数
8、值域的方法。注意此法关键是定义域。【例1】已知函数，求函数的值域。 【例2】求函数的值域。 【例3】求函数的值域。【例4】求函数的值域。 1.求函数的值域。2.求函数的值域3.求函数y=x(0x5)的值域。4.求函数y3值域。5.求下列函数的值域 y=3x+2(-1x1) 6.求函数的值域。7.求函数的值域。8.求函数的值域。1. 2. 3.0，1，2，3，4，54.5，+5.解：-1x1，-33x3，-13x+25，即-1y5，值域是-1，5 即函数的值域是 y| y2 ，即函数的值域是y|yR且y1（此法亦称分离常数法）（思考：如何使用口算法？）当x0，=，当x0时，=值域是2，+)（此法
9、也称为配方法）函数的图像为：6.由函数，则： 定义域为： 得：， 值域为：7.2x0，082x802故函数的值域是8.由；又综上，函数的值域为.2.配方法 二次函数或可转化为二次函数的函数常用此方法来还求解，但在转化的过程中要注意等价性，特别是不能改变定义域。对于形如或类的函数的值域问题，均可使用配方法。【例1】求函数的值域。分析与解答：因为,即于是：,【例2】求在区间的值域。分析与解答：由配方得： 当时，函数是单调减函数，所以 当时，函数是单调增函数，所以所以函数在区间的值域是【例3】求函数的值域。点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。解：由,可知函数的定义域为x1，2。此
10、时,函数的值域是点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。1.求函数的值域。2.求函数的值域3.已知函数的定义域是，值域为，则的取值范围是( )A B C D4.求函数y的值域。5.求函数的值域。6.求函数y =-2x + 5，x-1，2的值域。7.求函数的值域。8.求函数的值域。9.求函数 y = x2 - 6x + 2的值域。10.求函数 y = sin2x - 6sinx + 2的值域。1.yy3 2.3.C试题分析：因二次函数的对称轴为,且时,函数值,当时,因此当时, .故当,故应选C.4.1x0，且x0， 0x
11、1，又y0，y2x+1x+21+2令tx2+x（x）2+，0x1，0t，0，y21，2，函数y的值域为1，5.由题得，所以函数的定义域为所以函数的值域为6.将函数配方得：y =（x -1）+ 4， x -1，2， 由二次函数的性质可知：当x = 1时， = 4 ， 当x = - 1，时 = 8 故函数的值域是： 4 ，8 7.将函数变形为： 故函数的值域是： 0 ， .8.将函数配方得：，当时，当时， 故函数的值域是：.解法一：y = x2 - 6x + 2( x - 3)27又( x - 3)20( x - 3)277函数的值域是7，）这里用到了配方法求函数的值域。解法二：y = x2 - 6x + 2是对称轴为x = 3，开口向上的抛物线，故当x = 3时，函数有最小值f(3)7。函数的值域是7，）这里运用了二次函数的图象和性质求值域。一般地，求一次、二次函数的值域与最值，还要考虑它们的定义域。解法一：y = sin2x - 6sinx + 2 ( sinx
