《2017-2018学年高中数学 第三章 推理与证明 3.2 数学证明课件 北师大版选修1-2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学 第三章 推理与证明 3.2 数学证明课件 北师大版选修1-2（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.2数学证明,一、演绎推理,二、三段论,名师点拨1.演绎推理的特点 (1)演绎推理的前提是一般性原理,演绎推理的结论是蕴涵于前提之中的个别特殊事实. (2)在演绎推理中,前提和结论之间存在必然的联系,只要前提是真实的,推理形式是正确的,结论必定是正确的. 2.对三段论的理解 (1)三段论推理的依据:用集合观点来讲,就是:若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的子集,则S中所有元素也都具有性质P. (2)应用“三段论”进行推理的过程中,大前提、小前提或推理形式之一错误,都可能导致结论错误. (3)应用三段论解决问题时,首先应该明确什么是大前提和小前提.但为了叙述简洁,如果大前提是人们熟知的,那
2、么可以省略不写.,【做一做】 (1)“因为我们是共青团员,所以我们要在学习和工作中起带头作用”,它的大前提是() A.我们是共青团员 B.我们在学习和工作中起带头作用 C.共青团员应在学习和工作中起带头作用 D.以上都不是 (2)用三段论证明命题:“任何实数的平方大于0,因为a是实数,所以a20”,你认为这个推理() A.大前提错误B.小前提错误 C.推理形式错误D.是正确的,解析:(1)通过三段论的形式可以看出,本题的大前提已经省略,小前提为:我们是共青团员;结论为:我们要在学习和工作中起带头作用.故大前提应为:共青团员应在学习和工作中起带头作用. (2)这个三段论推理的大前提是“任何实数的
3、平方大于0”,小前提是“a是实数”,结论是“a20”.显然这是个错误的推理,究其原因,是大前提错误,尽管推理形式是正确的,但是结论是错误的. 答案:(1)C(2)A,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)演绎推理的结论一定正确. () (2)演绎推理的一般模式是“三段论”形式. () (3)三段论中,大前提正确,小前提正确,推理过程正确,则结论正确. () (4)演绎推理得到的结论的正确性与大前提、小前提和推理形式有关. () 答案:(1)(2)(3)(4),探究一,探究二,探究三,思维辨析,对三段论的理解 【例1】 将下列演绎推理写成三段论的形式.
4、 (1)等腰三角形的两底角相等,A,B是等腰三角形的底角,则A=B; (2)通项公式为an=2n+3的数列an为等差数列. 思路分析:分清楚三段论中的大前提、小前提、结论是解题的关键,为此要抓住它们的含义,即大前提已知的一般原理,小前提所研究的特殊情况,结论根据一般原理,对特殊情况作出的判断.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解:(1)等腰三角形的两底角相等,(大前提) A,B是等腰三角形的底角,(小前提) A=B.(结论) (2)数列an中,若当n2时,an-an-1为常数, 则an为等差数列,(大前提) 当通项公式为an=2n+3时, an-an-1=2n+3-2(n-1)+3=2(常数
5、),(小前提) 通项公式为an=2n+3的数列an为等差数列.(结论) 反思感悟1.用三段论写演绎推理的过程,关键是明确大前提、小前提,大前提提供了一个一般性的原理,在演绎推理的过程中往往省略,而小前提指出了大前提下的一个特殊情况,只有将二者结合起来才能得到完整的三段论. 2.在寻找大前提时,可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练1用三段论的形式写出下列演绎推理. (1)菱形的对角线相互垂直,正方形是菱形,所以正方形的对角线相互垂直. (2)若两角是对顶角,则此两角相等,所以若两角不相等,则此两角不是对顶角.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,演绎
6、推理在几何证明中的应用 【例2】 如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的棱长均为a,D,E分别为C1C与AB的中点,A1B交AB1于点G. 求证:(1)A1BAD; (2)CE平面AB1D. 思路分析:(1)为了证明A1BAD,可证A1B平面AB1D,连接DG,显然A1BAB1,所以只需证明A1BDG,可利用A1DB是等腰三角形以及G是A1B中点得证. (2)要证CE平面AB1D,只需证CE与平面AB1D内的一条直线(DG)平行即可.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,证明:(1)连接A1D,DG,BD. 如图所示,三棱柱ABC-A1B1C1是棱长均为a的正三棱柱, 四边形A1ABB1为正方形,
7、 A1BAB1. D是C1C的中点, A1C1DBCD. A1D=BD. G为A1B的中点,A1BDG. 又DGAB1=G,A1B平面AB1D. 又AD平面AB1D,A1BAD.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,(2)连接GE,则EGA1A, GE平面ABC. DC平面ABC,GEDC. GE=DC= a, 四边形GECD为平行四边形, ECGD. 又EC平面AB1D,DG平面AB1D, EC平面AB1D. 反思感悟1.三段论是最重要且最常用的推理表现形式,我们以前学过的平面几何与立体几何的证明,都运用了这种推理,只不过在利用该推理时,往往省略了大前提. 2.几何证明问题中,每一步都包含着一
8、般性原理,都可以分析出大前提和小前提,将一般性原理应用于特殊情况,就能得出相应结论.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练2如图,D,E,F分别是BC,CA,AB上的点,BFD=A, DEBA,求证:ED=AF. 证明:因为同位角相等,两直线平行,BFD与A是同位角,且BFD=A,所以FDAE. 因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形,DEBA,且FDAE,所以四边形AFDE是平行四边形. 因为平行四边形的对边相等,ED和AF是平行四边形AFDE的对边,所以ED=AF.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,演绎推理在代数证明中的应用 【例3】 已知定义域为0,1的函数f(x)同时满足以下
9、三个条件: 对任意的x0,1,总有f(x)0; f(1)=1; 若“当x10,x20且x1+x21时,有f(x1+x2)f(x1)+f(x2)成立”,则称f(x)为“友谊函数”. (1)若已知f(x)为“友谊函数”,求f(0)的值. (2)函数g(x)=2x-1在区间0,1上是否为“友谊函数”?并给出理由. (3)已知f(x)为“友谊函数”,且0 x1x21,求证:f(x1)f(x2). 思路分析:第(1)问已知f(x)为友谊函数,求f(0)可用赋值法求解;第(2)问给出g(x)解析式和定义区间,判断g(x)是否为友谊函数,需紧扣定义验证g(x)是否满足三个条件;第(3)问要证f(x1)f(x
10、2),需依据条件进行变换,注意条件在变形中的应用.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟1.数学问题的解决和证明都蕴含着演绎推理,即一连串的三段论,解决这类问题关键是找到每一步推理的依据大前提、小前提,注意前一推理的结论往往会作为下一个三段论的前提. 2.在代数证明问题中,首先找出与物体相关的一般性原理(如基本不等式、函数的性质等),这是大前提,然后利用“三段论”进行推理.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,因推理中大(小)前提错误致误 【典例】 如图,在ABC中,ACBC,CD是AB边上的高,求证: ACDBCD. 易
11、错分析:本题的证明,可以正确运用大前提,即在同一个三角形中,大边对大角,但易忽略AD与BD并不是在同一个三角形内的两条边,即小前提不成立,致使推理过程错误. 证明:因为CDAB, 所以ADC=BDC=90. 所以A+ACD=B+BCD=90. 所以A-B=BCD-ACD. 在ABC中,因为ACBC, 所以BA,即A-BBCD.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,纠错心得利用三段论推理时,(1)大前提必须是真命题;(2)小前提是大前提的特殊情形.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,跟踪训练已知在梯形ABCD中(如图),DC=DA,ADBC.,求证:AC平分BCD.(用三段论证明),3.正弦函数是奇函数,f(x)=sin(x2+1)是正弦函数,因此f(x)=sin(x2+1)是奇函数.以上推理() A.结论正确B.大前提不正确 C.小前提不正确D.全不正确 解析:函数f(x)=sin(x2+1)不是正弦函数,故小前提不正确,故选C. 答案:C 4.“一切奇数都不能被2整除,35不能被2整除,所以35是奇数.”把此演绎推理写成三段论的形式为: 大前提: 小前提: 结论: 解析:根据题意可知,此三段论的大前提、小前提和结论分别为:不能被2整除的整数是奇数;35不能被2整除;35是奇数. 答案:不能被2整除的整数是奇数35不能被2整除35是奇数,
