《2017-2018学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数的应用 1.3.2 利用导数研究函数的极值课件 新人教B版选修2-2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数的应用 1.3.2 利用导数研究函数的极值课件 新人教B版选修2-2（31页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.3.2利用导数研究函数的极值,1.理解函数极值、极值点的有关概念,掌握利用导数求函数极值的方法. 2.注意结合函数的图象理解用导数求函数极值(最值)的方法,逐步养成用数形结合的思想方法去分析问题和解决问题的思维习惯.,1,2,3,1.函数的极值与最值 (1)已知函数y=f(x),设x0是定义域内任一点,如果对x0附近的所有点x,都有f(x)f(x0),则称函数f(x)在点x0处取极小值,记作y极小=f(x0),并把x0称为函数f(x)的一个极小值点. (2)极大值与极小值统称为极值,极大值点与极小值点统称为 极值点. (3)函数f(x)的最大(小)值是函数在指定区间上的最大(小)的值.,1
2、,2,3,名师点拨1.极值是一个局部概念.由定义知,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小. 2.函数的极值不是唯一的,即一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个. 3.极大值与极小值之间无确定的大小关系,即一个函数的极大值未必大于极小值.如图,x1是极大值点,x4是极小值点,而f(x4)f(x1). 4.函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能是区间的端点.,1,2,3,【做一做1-1】 下列说法正确的是() A.若f(x)f(x0),则f(
3、x0)为f(x)的极小值 B.若f(x)f(x0),则f(x0)为f(x)的极大值 C.若f(x0)为f(x)的极大值,则f(x)f(x0) D.以上都不对 答案：D,1,2,3,【做一做1-2】 若函数在闭区间上有唯一的极大值和极小值,则() A.极大值一定是最大值,且极小值一定是最小值 B.极大值一定是最大值,或极小值一定是最小值 C.极大值不一定是最大值,极小值也不一定是最小值 D.极大值必大于极小值 答案：C,1,2,3,2.求函数y=f(x)极值的步骤 第1步:求导数f(x); 第2步:求方程f(x)=0的所有实数根; 第3步:考察在每个根x0附近,从左到右,导函数f(x)的符号如何
4、变化.如果f(x)的符号由正变负,则f(x0)是极大值;如果由负变正,则f(x0)是极小值. 如果在f(x)=0的根x=x0的左、右侧,f(x)的符号不变,则f(x0)不是极值. 归纳总结 可导函数的极值点必须是导数为零的点,但导数为零的点不一定是极值点,如f(x)=x3在x=0处的导数f(0)=0,但x=0不是它的极值点,即可导函数在点x0处的导数f(x0)=0是该函数在x0处取得极值的必要不充分条件.,1,2,3,答案：B,1,2,3,【做一做2-2】 若函数y=2x3-3x2+a的极大值是6,则a=. 解析：y=6x2-6x=6x(x-1), 当x(-,0)或x(1,+)时,y0,原函数
5、为增函数,当x(0,1)时,y0,原函数为减函数,故当x=0时,y极大值=a=6. 答案：6,1,2,3,3.求函数y=f(x)在a,b上的最大(小)值的步骤 第1步:求f(x)在开区间(a,b)内所有使f(x)=0的点. 第2步:计算函数f(x)在区间(a,b)内使f(x)=0的所有点和端点的 函数值,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值. 名师点拨利用导数法求最值,实质是比较某些特殊点的函数值来得到最值.因此,我们可以在导数法求最值的基础上进行变通,令f(x)=0得到方程的根x1,x2,直接求得函数值f(x1),f(x2),然后再与端点的函数值比较就可以了,省略了判断极值的过程.当然
6、导数法与函数的单调性结合,也可以求最值.,1,2,3,【做一做3】 函数f(x)=x3+x2-x在区间-2,1上的最大值为,最小值为.,函数的极值与最值有何关系? 剖析：如果函数在某些点处不可导,也需要考虑这些点是否是极值点、函数的最大值和最小值点. 观察下图中一个定义在区间a,b上的函数f(x)的图象.图中f(x1)与f(x3)是极小值,f(x2)是极大值.函数f(x)在a,b上的最大值是f(b),最小值是f(x3). 一般地,在区间a,b上如果函数f(x)的图象是一条连续不间断的曲线,那么该函数在a,b上必有最大值与最小值.,注意：(1)在区间(a,b)内函数f(x)的图象是一条连续不间断
7、的 续,但没有最大值与最小值. (2)函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的;函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的. (3)函数f(x)在区间a,b上的图象是一条连续不间断的曲线,是f(x)在区间a,b上有最大值与最小值的充分不必要条件. (4)函数在其定义域上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可能不止一个,也可能一个也没有.,题型一,题型二,题型三,题型四,求函数的极值,分析：按照求极值的方法,首先从方程f(x)=0入手,求出函数f(x)在定义域内所有可解的极值点,然后按极值的定义判断并求值. 解：(1)函数f(x)的定义域为R, f(x)=2xe-x+x2e-x(-x)=x
8、(2-x)e-x. 令f(x)=0,得x=0或x=2, 当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:,题型一,题型二,题型三,题型四,从表中可以看出, 当x=0时,函数有极小值,且f(0)=0; 当x=2时,函数有极大值,且f(2)=4e-2.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思 函数的极值研究是导数应用的关键知识点,可加深对函数单调性与其导数关系的理解,y=f(x)的导数存在时,f(x0)=0是y=f(x)在x=x0处有极值的必要条件,只有再加上x0两侧附近的导数的符号相反,才能断定y=f(x)在x=x0处取得极值.,题型一,题型二,题型三,题型四,求函
9、数在区间a,b上的最值,分析：求出f(x)的极值及定义域区间端点处的函数值,比较得到最大值.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思 如果在区间a,b上函数y=f(x)的图象是一条连续不间断的曲线,那么它必有最大值和最小值.如果函数y=f(x)在区间(a,b)内可导,求f(x)在区间a,b上的最值可简化过程,即直接将极值点的函数值与端点的函数值比较,即可判定最大(或最小)的函数值,就是最大(或最小)值.,题型一,题型二,题型三,题型四,由函数的最值求参数的值,【例题3】 已知函数f(x)=ax3-6ax2+b(a0),问是否存在实数a,b使f(x)在区间-1,2上
10、取得最大值3,最小值-29?若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由. 分析：利用求最值的方法确定a,b的值,注意对a的讨论.,解：存在. f(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4), 令f(x)=0,解得x1=0,x2=4(舍去). (1)当a0,x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:,题型一,题型二,题型三,题型四,所以当x=0时,f(x)取得最大值.所以b=3. 又f(2)=-16a+3,f(-1)=-7a+3,f(-1)f(2), 所以当x=2时,f(x)取得最小值, 所以-16a+3=-29,即a=2. (2)当a0,x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:,所
11、以当x=0时,f(x)取得最小值.所以b=-29. 又f(2)=-16a-29,f(-1)=-7a-29,f(2)f(-1),所以当x=2时,f(x)取得最大值, 所以-16a-29=3,即a=-2. 综上所述,a=2,b=3或a=-2,b=-29.,题型一,题型二,题型三,题型四,反思 此类题目属于逆向思维题,但仍可根据求函数最值的步骤来求解,借助于待定系数法求其参数值.,题型一,题型二,题型三,题型四,易错辨析,易错点:对于可导函数,极值点处的导数为0,但导数为0的点不一定是极值点,因此已知函数的极值点求某些参变量的值时,应验证所得结果是否符合题意.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一
12、,题型二,题型三,题型四,当a=1,b=3时f(x)=3x2+6x+3=3(x+1)20,所以f(x)在R上为增函数,无极值,故舍去;当a=2,b=9时,f(x)=3x2+12x+9=3(x+1)(x+3),当x(-3,-1)时,f(x)为减函数;当x(-1,+)时,f(x)为增函数.所以f(x)在x=-1处取得极小值,因此a=2,b=9.,1,2,3,4,5,1已知函数f(x)在其定义域内可导,下列结论正确的是 () A.导数为零的点一定是极值点 B.如果在x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极大值 答案：B,1,2,3,4,5,2下列说法正确的是()
13、A.函数在其定义域内若有最值与极值,则其极大值便是最大值,极小值便是最小值 B.闭区间上图象连续不间断的函数一定有最值,也一定有极值 C.若函数在其定义域上有最值,则一定有极值,反之,若有极值则一定有最值 D.若函数在给定区间上有最值,则最多有一个最大值,一个最小值;但若有极值,则可有多个极值甚至无穷多个 答案：D,1,2,3,4,5,3函数f(x)=2x3-3x2-12x+5在0,3上的最大值和最小值分别是() A.5,-15B.5,-4 C.-4,-15D.5,-16 解析：由f(x)=6x2-6x-12=6(x+1)(x-2)=0,得x=-1或x=2. 因为f(0)=5,f(2)=-15
14、,f(3)=-4, 所以f(2)f(3)f(0). 所以f(x)max=f(0)=5,f(x)min=f(2)=-15. 答案：A,1,2,3,4,5,4函数y=ln x-x2的极值点为.,1,2,3,4,5,5若函数y=2x3-6x2+m(m为常数)在区间-2,2上有最大值3,则它在区间-2,2上的最小值为. 解析：y=6x2-12x=6x(x-2), 在(-2,2)内,只有x=0是f(x)的极值点,且为极大值点. f(x)极大值=f(0)=m. 又f(-2)=-16-24+m=m-40, f(2)=16-24+m=m-8, 容易判断m-40m-8m,m=3. f(x)min=m-40=-37. 答案：-37,
