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1、1 【三维设计】（江苏专版） 2013高中数学二轮专题第二部分专 题 5 配套专题检测 1已知变量a，R，则 (a2cos ) 2( a 522sin ) 2 的最小值为 _ 解析： (a，a52) 在直线xy520 上，点 (2cos ，2sin ) 在圆x 2 y 24 上，圆心到直线xy520 的距离为5，则圆上点到直线距离最小值为3，故所求的最 小值为 9. 答案： 9 2已知实数x，y满足 (x3) 2 y 23，则 y x 1 的最大值是 _ 解析： y x1可看作是过点 P(x，y) 与M(1,0) 的直线的斜率，其中点P在圆 (x 3) 2 y 23 上，如图，当直线处于图中切
2、线位置时，斜率 y x1最大，最大值为 tan 3. 答案：3 3不等式0 x 2ax a1 的解集是单元素集，则a的值为 _ 解析： 画图 (如右图 ) ， 可知当函数yx 2 axa的最小值为 1时满足题意 可 得4a a 2 4 1，解得a2. 答案： 2 _的集合为k一解，则实数惟有2kx1x 2 的方程x若关于4 解析：如图，设f(x) 1x 2， g(x) kx2，f(x) 图象是半圆，g(x) 图象是经过 (0,2) 的直线系，当直线与半圆相切时，k3满足题意；当直 线在点 ( 1,0) 与(1,0) 之间旋转，即k2 时也满足题意 答案： k|k2，或k3 5对a，bR，记 m
3、axa，b a，ab， b，a0)的焦点F作一直线交抛物线交于P、Q两点，若线段PF、FQ 的长分别为p、q，则 1 p 1 q_. 解析：设k0，因抛物线焦点坐标为0， 1 4a ，把直线方程y 1 4a代入抛物线方程得 x 1 2a， 所以PFFQ 1 2a，从而 1 p 1 q4a. 答案： 4a 7 已知函数f(x) sin xcos x|sin xcos x| 对任意xR都有f(x1) f(x) f(x2) ， 则|x2x1| 的最小值为 _ 解析：依题意知，当sin xcos x0，即 sin xcos s时，f(x) 2sin x；当 sin x cos x0，即 sin xco
4、s x时，f(x) 2cos xf(x1) ，f(x2) 分别是f(x) 的最小值与最 大值，在坐标系中画出函数yf(x) 的图象，结合图象可知，|x2x1| 的最小值为 3 4 . 8把一个长、宽、高分别为25 cm 、20 cm、5 cm的长方体木盒从一个正方形窗口穿过， 那么正方形窗口的边长至少应为_ 解析：由于长方体各个面中宽和高所在的面的边长最小，所以应由这个面 对称地穿过窗口才能使正方形窗口边长尽量地小如图：设AEx，BEy，则 有AEAHCFCGx，BEBFDGDHy， x 2x2202， y 2y252， 即 x102， y 52 2 . ABxy 102 52 2 252 2
5、 . 答案： 252 2 9 (2012泰州期末) 设实数a1， 使得不等式x|xa| 3 2 a， 对任意的实数x1,2 恒成立，则满足条件的实数a的范围是 _ 解析：当a 3 2时，不等式 x|xa| 3 2 a，对任意的实数x1,2恒成立， 当a 3 2时，将不等式化为 |xa| a3 2 x ，作出函数y|xa| ，y 3 a 3 2 x (1x2)的图象，如图，不等式x|xa| 3 2a，对任意的实数 x1,2恒成立的条 件 是 ， 函 数y |xa| 的 图 象 全 部 落 在 函 数y a3 2 x (1x2) 的 图 象 的 上 方 ， 由 a2 a 3 2 2 ， a1a3
6、2， 解得a 5 2. 综上所述，实数a的范围是1， 3 2 5 2， . 答案：1， 3 2 5 2， 10(2012南通三模) 若函数f(x) |2x1| ，则函数g(x) f(f(x) ln x在(0,1) 上不同的零点个数为_ 解析：考虑函数yf(f(x) |2|2x1| 1| 与y ln x的图象交 点的个数 而函数y|2|2x1| 1| 4x3，x3 4， 4x3， 1 2x 3 4， 4x1， 1 4 x1 2， 4x1，x0， x1x2u0. 解得 0u k 2 4 ， 即实数u的取值范围是0，k 2 4 . (2) 1 x1x 1 1 x2 x2x1x2 1 x1x2 x 2
7、 1x 2 2 x1x2 uk 21 u 2. 令f(u) u k 21 u 2(u0)， 所以f(u) 1 k 2 1 u 2， ( ) 若k1，因为 0u k 2 4 ，所以f(u)0 ，从而f(u) 在 0，k 2 4 为增函数，所以u k 21 u 2f k 2 4 k 2 4 k 21 k 2 4 2 k 2 2 k 2， 即 1 x1 x1 1 x2 x2 k 2 2 k 2 不恒成立 ( ) 若 0k0 ， 所以函数f(u) 在(0 ，1k 2 上递减，在 1k 2， ) 上递增， 要使函数f(u) 在 0， k 2 4 上恒有f(u) f k 2 4 ，必有1k 2k 2 4
8、， 即k 416k2160，解得 0k252. 综上，k的取值范围是(0,2 52 12(2012南师大信息卷) 定义在D上的函数f(x) ，如果满足：对任意xD，存在常 数M0， 都有 |f(x)| M成立，则称f(x) 是D上的有界函数， 其中M称为函数f(x) 的上界已 知函数f(x) 1xax 2. (1) 当a 1 时，求函数f(x) 在( ， 0)上的值域，判断函数f(x) 在( ， 0) 上是 否为有界函数，并说明理由； (2) 若函数f(x)在x 1,4 上是以 3 为上界的有界函数，求实数a的取值范围 解： (1)a 1时，f(x) 1xx 2 x1 2 25 4， 5 所以
9、f(x) 在x( ， 0)上单调递增， 故f(x) 0 1 2 25 4 1， 故函数f(x) 在(， 0)上的值域为 ( ， 1) 又f(x)0，使 |f(x)| M都成立 故函数f(x) 在(， 0)上不是有界函数 (2) 若函数f(x)在1,4上是以 3 为上界的有界函数， 则|f(x)| 3 在1,4上恒成立 即3f(x) 3，故 31xax 23， 4x x 2a 2x x 2， 即 4 x 2 1 x a 2 x 21 x在 x1,4上恒成立 所以 4 x 2 1 x maxa 2 x 2 1 x min. 令 1 x t，则t 1 4， 1 ， ( 4t 2 t)maxa(2t 2 t)min，t 1 4，1 . 令g(t) 4t 2 t， 则g(t) 4t1 8 21 16 5， 1 2 . 令h(t) 2t 2 t， 则h(t) 2t 1 4 21 8 1 8，1 . 实数a的取值范围为 1 2， 1 8 .
