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1、第二章 离散时间信号与系统的变换域分析,1 序列的Z变换,Z变换的定义,抽样信号,拉氏变换与变换：,例1：求序列 x (n)= an u(n) 的Z变换。,解：,为保证收敛，则,收敛域,Z平面,若 a = 1, 则,Z变换的定义,Z变换的定义,例2：求序列 x(n)= -an u(-n-1)的Z变换。,解：,为保证收敛，则,Z变换的定义,例3：求序列 x (n)= (1/3)|n| 的Z变换。,解：,|z|1/3时，第二项收敛于 ，对应于右边序列。,|z|3时，第一项收敛于 ，对应于左边序列。,Z变换的收敛域,对于任意给定的序列 ，使其Z变换收敛的所有z值的集合称为 的收敛域。,Z变换的收敛域
2、,其收敛的充要条件是满足绝对可和条件，即：,根据级数收敛的阿贝尔定理,对于不同的序列 ，可求得相应的收敛域。,Z变换的收敛域,收敛域内不包含任何极点，在极点处，X(z)为无穷大，Z变换不收敛。 有限长序列的收敛域为整个Z平面, 可能除开z=0, z=。 右边有限长序列： X(z)=x(1)z-1+ x(2)z2+ |z|0 左边有限长序列： X(z)=x(-1)z1+x(-2)z2+ |z|也位于收敛域内。,如果是左边序列，并且|z|=位于收敛域内，那么， 0|z| 的全部 z 值也位于收敛域内。,所以，收敛域在圆内。,如果是双边序列，收敛域由圆环组成。,Z变换的收敛域,逆Z变换,逆Z变换,从
3、给定的Z变换表达式(包括收敛域)求原序列的过程称为逆z变换。其实质是求X(z)的幂级数展开式各项的系数。,逆Z变换的三种基本方法 围线积分法 部分分式展开法 长除法（幂级数展开法）,围线积分法,式中C为收敛域中的一条逆时针环绕原点的闭合曲线。,逆Z变换,是被积函数X(z)zn-1在围线C内的一组极点 是被积函数X(z)zn-1在围线C外的一组极点,如果 还满足在 有二阶或二阶以上的零点，则根据留数辅助定理，有:,若被积函数 是有理分式，一般采用留数定理来计算围线积分 。根据留数定理， 等于围线C内全部极点留数之和，即:,逆Z变换,在具体利用留数定理进行围线积分计算时，应根据被积函数的特点及n值
4、灵活选用公式来计算，可使问题得以简化。 例如，在n小于某一值时，被积函数在围线内部z=0处可能具有高阶极点，这时采用围线外部的极点进行计算将方便得多。,如果 为单阶极点，按留数定理:,解:,例1:,逆Z变换,逆Z变换,例2：,解：,|z|=|a|,围线C, 所给收敛域为环域 原序列 必为双边序列,|z|=|1/a|,在收敛域内作包围原定的围线C,逆Z变换,当 时，只有一个单阶极点z=a, 其围线积分为：,当n0时，被积函数在围线内除了在z=a处有一个单阶极点，在z=0处为高阶极点，因为这时在围线外X(z)zn-1只有一个单极点z=a-1 ，因此有:,部分分式展开法,逆Z变换,1、单极点,若序列
5、为因果序列，且NM，当X(z)的N个极点都是单极点时，可以展开成以下的部分分式的形式：,则其逆Z变换为：,逆Z变换,说明：1、X(z)较简单时可按算术展开求各系数Ak(k=0,1,N) 。 2、X(z)较复杂时可按留数定理求各系数Ak(k=0,1,N)，此时为了方便通常利用X(z)/z的形式求取：,逆Z变换,2、高阶极点,当上述有理分式中的MN且具有高阶极点时，若设除单极点外，在zi处还有一个s阶的极点，则其展开式修改为：,式中Bk(k=0,1,N)为X(z)整式部分的系数，可用长除法求得。Ak仍按上面的方法计算，Ck的计算公式为：,逆Z变换,例： 已知 ，求X(z)的原序列。,解：,由求系数
6、Ak的公式求得,因为X(z)的收敛域为 ，为因果序列， 从而求得,将X(z)变为X(z)/z的形式并化为部分分式,逆Z变换,长除法（幂级数展开法）,若把X(z)展开成z-1的幂级数之和，则该级数的各系数就是序列 x(n) 的值。,典型例题,由收敛域知，这是一右边序列。用长除法将其展开成z的负幂级数时应将分母多项式按降幂排列。,例:,解：,即：,逆Z变换,逆Z变换,例:,收敛域 为环域， x(n)必为双边序列。,解：,对右边序列,右边序列为:,对左边序列,左边序列为:,综上可得:,逆Z变换,例:,求 的逆Z变换。,由收敛域 知原序列应为因果序列。,的幂级数展开式为,解：,线性性,Z变换的性质与定
7、理,序列的移位,序列乘指数序列（尺度性）,返回,返回,Z变换的性质与定理,序列的反褶,序列的共轭,Z域微分性,返回,Z变换的性质与定理,初值定理,若x(n)为因果序列，它的初值为：,若x(n)为因果序列，且其Z变换的极点除在z=1处可以有一个一阶极点外，其它极点均在单位圆内，则有：,终值定理,卷积定理,返回,Z变换的性质与定理,序列相乘（复卷积定理）,Parseval定理,返回,Z变换的性质与定理,典型例题,求序列 的z变换， 并确定其收敛域。,解：,例 1,线性性,查看性质,求 的z变换和收敛域。,解：,例 2,典型例题,查看性质,序列的移位性,典型例题,查看性质,例3,解：,X(z)对z进
8、行微分：,Z域微分性,逆Z变换,典型例题,查看性质,例4,用卷积定理求,解：,卷积定理,逆Z变换,典型例题,查看性质,例5,用复卷积定理求,解：,复卷积定理,典型例题,查看性质,在v平面中，被积函数有2个极点，即v1=z/a 和v2=b。因x(n)和h(n)都是因果序列，其收敛域为：,可见，只有一个极点v2=b在围线C内。由留数定理求得：,Z变换与拉氏变换的关系,S平面到Z平面的映射,Z变换与拉氏变换的关系:,这一关系实际上是通过 将S平面的函数映射到了Z平面。,若将Z平面用极坐标表示 ，S平面用直角坐标表示 ，代入 ，得：,上述关系表明： z 的模 r 仅与 s 的实部 相对应，z 的幅角
9、则仅与 s 的虚部 对应。,映射关系：,抽样序列的Z变换表示,Z变换与拉氏变换的关系,抽样序列的傅立叶变换即抽样序列的频谱。由于傅立叶变换是拉氏变换在虚轴上 的特例，按照前面的SZ平面的映射关系，它映射到Z平面 =1 的单位圆上，故有,或,定义：Z平面的角变量 ，称为数字频率，单位为弧度。,序列傅立叶变换的定义,2 序列的傅立叶变换,序列的傅立叶变换是从频域对离散时间信号和系统进行分析。它是用 作为基函数对序列进行正交展开，这与连续时间信号中的傅立叶变换用 对模拟信号进行展开相似。,2 序列的傅立叶变换,1序列傅立叶正变换,x(n)的傅立叶变换定义如下:,序列傅立叶变换的定义,2序列傅立叶变换
10、与Z变换的关系,比较后可见：序列的傅立叶变换是Z变换在 时的Z变换，即Z变换在的单位圆上 的特殊情况。,序列傅立叶变换的定义,由于单位圆上的Z变换就等于抽样序列的傅立叶变换，也就是序列的频谱，因此，序列的傅立叶变换也就是序列的频谱。由于序列的傅立叶变换直接给出了序列的频谱，在频谱分析与数字滤波器设计中经常用到，因此它是信号处理的重要工具之一。,序列傅立叶变换的定义,显然 都是 的连续函数和周期为 2 的周期函数。,序列傅立叶变换的定义,3序列的傅立叶反变换,4序列的傅立叶变换的收敛条件,即序列绝对可和,该条件是序列傅立叶变换存在的充分但非必要条件,有些序列虽然不满足以上条件，但满足平方可和，其
11、傅立叶变换依然存在。见后例。,某些既不满足绝对可和的条件也不满足平方可和条件的序列，若引入频域的冲击函数 ，其傅立叶变换也存在。如 、某些周期序列，见后例。,序列傅立叶变换的定义,5常用序列的傅立叶变换,典型例题,已知 ，求它的傅立叶变换。,解：,其幅度谱和相位谱分别为：,例1,典型例题,例2,已知序列的傅立叶变换如下，求它的反变换。,解：,显然序列 不是绝对可和的，而是平方可和的 ，但其依然存在傅立叶变换。,Parseval定理,典型例题,例3,证明复指数序列 的傅立叶变换为：,证：,根据序列的傅立叶反变换定义，利用冲击函数 的性质，有：,典型例题,例4,求余弦序列 的傅立叶变换,解：,可见
12、：序列 的傅立叶变换表现为在 处的冲击，强度为 ，并以2 为周期进行周期延拓。,利用上例结论,序列傅立叶变换的性质,序列傅立叶变换的性质,线性性,序列的移位,频域的相移,序列的反褶,序列傅立叶变换的性质,序列的共轭,频域微分性,对时域信号进行线性加权对应于频域的微分,时域卷积定理,序列傅立叶变换的性质,频域卷积定理（序列相乘）,序列相关,推论,序列的自相关函数的傅立叶变换就是序列的功率谱-维纳-辛欠定理,序列傅立叶变换的性质,Parseval定理,该定理表明：信号在时域中的能量等于频域中的能量,重抽样序列的傅立叶变换,该性质表明：重抽样序列的频谱是将原来序列的频谱展宽了M倍，并将展宽后的频谱以 为周期扩展了M个，幅度则下降到原来的1/M。,序列傅立叶变换的对称性,序列的共轭对称性质,序列傅立叶变换的对称性,若将共轭对称序列 用它的实部和虚部来表示：,此式表明： 的实部是n的偶函数，而虚部是n的奇函数； 的实部是n的奇函数，而虚部是n的偶函数。,序列傅立叶变换的共轭对称性质,将 分成实部与虚部,共轭对称部分,共轭反对称部分,序列傅立叶变换的对称性,上式表明： 的傅立叶变换对应于 的实部； 的傅立叶变换对应于 的虚部(加上j 在内)。,序列傅立叶变换的对称性,结论： 具有共轭对称性质， 具有共轭反对称性质。,推论,
