《高中数学 第一章 三角函数 1.8 函数y=Asin（wx＋φ）的图像与性质（1）课件1 北师大版必修4》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第一章 三角函数 1.8 函数y=Asin（wx＋φ）的图像与性质（1）课件1 北师大版必修4（46页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.8 函数y=Asin(x+)的图像与性质(一),【知识提炼】,A, 对函数y=Asin(x+)图像的影响 (1)对y=sin(x+)，xR的图像的影响,左,右,(2)(0)对y=sin(x+)的图像的影响 (3)A(A0)对y=Asin(x+)的图像的影响,缩短,伸长,伸长,缩短,2.函数y=Asin(x+)+b的相关概念,【即时小测】 1.思考下列问题 (1)图像进行左右平移变换时,平移单位一定是|吗? 提示:不是.平移单位应该是| |. (2)频率f与周期T的联系与区别是什么? 提示:f= ,前者指的是次数,后者指的是时间.,2.函数y=2sin 的最大值及振幅分别为() A.2,2
2、B.-2, C.2,-2 D.2, 【解析】选A.函数y=2sin 的最大值为2,振幅为2.,3.函数f(x)= ,xR的最小正周期为() A. B. C.2 D.4 【解析】选D.最小正周期T=,4.将函数y=sin 4x图像上点的横坐标_到原来的_倍可得到函数y=sinx的图像. 【解析】将函数y=sin4x图像上点的横坐标伸长到原来的4倍可得到函数y=sinx的图像. 答案:伸长4,5.将函数y=sin2x的图像向右平移 个单位所得函数的解析式为_. 【解析】将函数y=sin2x的图像向右平移 个单位所得函数的解析式: 答案: y=,【知识探究】 知识点 参数对函数y=Asin(x+)+
3、b图像的影响 观察图形,回答下列问题: 问题:参数A,b是如何影响函数y=Asin(x+)+b的图像形状的?,【总结提升】 1.各参数的意义 (1)A:振幅,表示振动时物体离开平衡位置的最大距离,决定函数的最 大值、最小值. (2):T= 称为周期,它表示振动一次所需的时间,即函数y的最小 正周期. f= 称为振动的频率,它表示单位时间内往复振动的次 数. (3):x+叫作相位,当t=0时的相位,即,称为初相.,2.平移、伸缩变换的实质 (1)左右的平移、伸缩变换针对的是x,左右平移的规律是“加左减 右”,如由y= 图像到y=sinx图像需要向左平移 个单位,x 的变换为(x+ )- =x,因
4、此向左平移 ;将y=sin 的图像缩短 至原来的 则变为y=sin ,变换倍数为 .,(2)上下平移、伸缩变换针对的是y,上下平移的规律是“加上减下”,如由y=sinx向上平移1个单位,变换为y=sinx+1;上下伸缩的倍数为A.,【题型探究】 类型一 “五点法”作y=Asin(x+)+b的图像 【典例】1.如图,函数y=Asin(x+) 的图像只可能是() 2.已知函数f(x)=2sin ,画出函数f(x)在区间 上的简图.,【解题探究】1.题1中图像与y轴交点在y轴什么位置? 提示:由已知x=0时y=Asin0,交点在y轴正半轴上. 2.作图时,将2x+ 作为整体应取哪些角? 提示:可令2
5、x+ 取,【解析】1.选B.当x=0时,y=Asin0,排除C,D;另外,由 得到其中一个单调增区间为 ,结合图像,排除A.,2.列表: 作图:,【方法技巧】“五点法”作图列表的方法 作函数y=Asin(x+)+b在一个周期 上的图像. (1)计算相位,将x=a,x=a+ 代入x+,计算出相位的区间M,N, 再从区间M,N内确定“五点”的横坐标 ,令 x+等于上述的横坐标求出x; (2)确定函数值:利用x+的取值求出相应的函数值y; 列出表格后描点(x,y),连线得到函数的图像.,【变式训练】(2015池州高一检测)已知函数f(x)=sin .请用“五点法”画出函数f(x)在长度为一个周期的闭
6、区间上的简图.,【解析】令X=2x- , 则 填表:,描点,用光滑的曲线连接即得函数的图像,如图所示:,类型二 函数y=Asin(x+)+b的变换 【典例】1.要得到函数y=2sin(2x- )的图像,只需将函数y=2sin2x 的图像() A.向左平移 个单位B.向右平移 个单位 C.向左平移 个单位D.向右平移 个单位,2.将函数y=sinx的图像上各点的纵坐标保持不变,横坐标变为原来的 ,得到函数y=f(x)的图像,再将函数y=f(x)的图像沿着x轴的正方 向平移 个单位长度,得到函数y=g(x)的图像,则g(x)的解析式是 _.,【解题探究】1.怎样确定平移单位和方向? 提示:将函数y
7、=2sin 变形为y=2sin2 ,通过观察x的变 换确定平移方向、单位. 2.横坐标变为原来的 ,解析式如何变化? 提示:x的系数变为2.,【解析】1.选D.因为 故由函数y=2sin2x 的图像向右平移 个单位即可. 2.将函数y=sinx的图像上各点的纵坐标保持不变,横坐标变为原来 的 ,得到函数y=f(x)=sin2x的图像,再将函数y=f(x)的图像沿着x轴 的正方向平移 个单位长度,得到函数y=g(x)= 的图像. 所以g(x)的解析式为g(x)= 答案:g(x)=,【延伸探究】 1.(改变问法)典例1改为要得到函数y=2sin2x的图像,应将函数 的图像做怎样的平移? 【解析】因
8、为 要得到函数y=2sin2x的图 像,则x+ ,应向左平移 个单位.,2.(改变问法)典例1改为要得到函数y=sinx的图像,需要将函数 的图像做怎样的平移? 【解析】方法一:纵坐标不变,将横坐标伸长到原来的两倍得到函数 再向左平移 个单位得到y=2sinx,横坐标不变,纵坐 标缩短到原来的 得到y=sinx. 方法二:纵坐标不变,横坐标向左平移 得到函数y=2sin2x,横坐标伸 长到原来的2倍得到函数y=2sinx,横坐标不变纵坐标缩短到原来的 得到y=sinx.,【方法技巧】利用图像变换作图的技巧 (1)已知变换前后的解析式求变换方式时,较简洁的作法是:若=1,则可以先进行左右平移变换
9、,再进行其他的变换;若1,则先进行左右伸缩变换,再进行其他的变换. (2)对于函数y=Acos(x+)的图像平移规律与函数y=Asin(x+)的图像平移规律相同.,(3)确定平移方向、单位时要先提取,即x+=(x+ )后观察x 的变化,确定平移方向及单位. (4)注意由哪一个函数向哪一个函数平移,平移的函数顺序不能出错.,【补偿训练】要得到y=cos2x的图像,只要将y=sin(2x+ )的图像向 右平移最少_个单位长度.,【解析】因为y=cos2x= 函数 故将y=sin 的图像向右平移最少 个单位,可得函数 =cos 2x的图像. 答案:,类型三 已知y=Asin(x+)+b的图像求解析式
10、 【典例】1.已知函数f(x)=sin(x+) 的图像如图所示, 则=_,=_.,2.函数f(x)=Asin(x+) 的部分图像如图所示, 则将y=f(x)的图像向右平移单位后,得到的图像解析式为_.,【解题探究】由函数的图像,从哪些方面观察函数的性质? 提示:由函数的图像观察函数的最值、周期、与x轴的交点坐标等.,【解析】1.根据函数的图像T=,所以= =2, 当x= 时函数值为0,由于0 , 所以= . 答案:2,2.由图知,A=1, 所以T=, 所以=2k+ (kZ),又| , 所以= ; 所以y=f(x)的解析式为y=sin , 所以将y=f(x)的图像向右平移 单位后得 答案:,【方
11、法技巧】已知函数y=Asin(x+)的部分图像求解析式 (1)A:由最大值或最小值确定A. (2):由图中已知相位的差确定周期,从而求. (3):一般情况下,求出A,后,利用曲线上一点求,如已知曲线与x轴的交点x0,则令x0+=k,kZ,得=-x0+k,kZ,再利用的范围求的值.,【变式训练】函数f(x)=Asin(x+)(A0,0,02)在R上的部分图像如图所示,则f(2014)=_. 【解题指南】首先确定最大值、周期,再利用点的坐标求.,【解析】由函数的图像可得A=5,周期T= =11-(-1)=12,所以= . 再由“五点法”作图可得 (-1)+=0,所以= , 故函数f(x)= 故f(
12、2014)= 答案:-,【补偿训练】已知函数f(x)=sinx的图像的一部分如左图,则右图的函数图像所对应的函数解析式为(),【解析】选B.由已知图像可知,右图的周期是左图函数周期的 ,从而 可排除选项C,D.对于选项A: ，当x=0时 函数值为-1,从而排除选项A.,易错案例 三角函数图像的变换 【典例】为得到函数y=cos 的图像,只需将函数y=sin2x的 图像( ) A.向左平移 个长度单位 B.向右平移 个长度单位 C.向左平移 个长度单位 D.向右平移 个长度单位,【失误案例】,【错解分析】分析上面的解析过程,你知道错在哪里吗? 提示:出错的根本原因是由于函数的名称不一样,按照同名函数间的图像平移规律导致错误.,【自我矫正】选A.因为y= 只需将函数y=sin2x的图像向左平移 个单位得到函数y=cos 的图像.,【防范措施】不同名函数的图像平移问题 当函数的名称不相同时,要根据诱导公式变为同名函数后再根据平移 规律确定平移方式,其中常用的诱导公式有 如本题既可以把正弦变余弦,也可以把余弦变正弦,统一函数名 称后确定平移方式.,
