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1、3.3.2函数的极值与导数,高二数学 选修1-1 第三章 导数及其应用,一、复习导入-复习旧课,1.,解,f(x)在(-，-4), (2，)内单调递增，,你记住了吗？,f (x)0 , (x+4)(x-2)0 , x2,f(x)在(-4，2)内单调递减。,f (x)0, (x+4)(x-2)0 , -4x2,还记得高台跳水的例子吗？,一、复习导入-导入新课,h(t)=-4.9t2+6.5t+10,一、复习导入-导入新课,3.(2) 如图，y=f(x)在a、b点的函数值 与这些点附近的函数值有什么关系？ 导数值呢？导数符号呢？,x,y,o,a,b,y-=f(x),0,0,0,0,极小值点,极大值
2、点,f (a)=0,f (b)=0,探究,二、讲授新课-了解概念,什么是极小值点、极小值、 极大值点、极大值、极值点、极值？,f(a),f(b),极大值点和极小值点 统称为极值点,极大值和极小值 统称为极值,a,b,x,y,O,定义,一般地, 设函数 f (x) 在点x0附近有定义, 如果对x0附近的所有的点, 都有,我们就说 f (x0)是 f (x) 的一个极大值, 点x0叫做函数 y = f (x)的极大值点.,反之, 若 , 则称 f (x0) 是 f (x) 的一个极小值, 点x0叫做函数 y = f (x)的极小值点.,极小值点、极大值点统称为极值点, 极大值和极小值统称为极值.,
3、观察上述图象,试指出该函数的极值点与极值,并说出哪些是极大值点,哪些是极小值点.,1理解极值概念时需注意的几点 (1)函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧附近的点而言的 (2)极值点是函数定义域内的点，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点 (3)若f(x)在a，b内有极值，那么f(x)在a，b内绝不是单调函数，即在定义域区间上的单调函数没有极值,总结,(4)极大值与极小值没有必然的大小关系一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值可能大于另一点的极大值(如图(1),(5)若函数f(x)在a，b上有极值，它的极值点的分布是有规律的(如图(2)所示)，相邻两个
4、极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点 2导数为0的点不一定是极值点,若寻找可导函数极值点,可否只由f(x)=0求得即可?,思考,探索: x =0是否为函数f(x)=x3 的极值点?,f(x)=3x2 当f(x)=0时，x =0，而x =0不是该函数的极值点.,结论,若f(x0) 是极值，则f (x0)=0。 反之， f (x0)=0，f(x0)不一定是极值,y=f(x)在一点的导数为0是函数y=f(x)在这点取得极值的 必要条件。,进一步探究:极值点两侧函数图像单调性有何特点?,极大值,极小值,即: 极值点两侧单调性互异,练习1,下图是导函数 的图象, 试找出
5、函数 的极值点, 并指出哪些是极大值点, 哪些是极小值点.,a,b,x,y,x1,O,x2,x3,x4,x5,x6,极大值点x2，,极小值点x4,因为 所以,例1 求函数 的极值.,解:,令 解得 或,当 , 即 , 或 ; 当 , 即 .,当 x 变化时, f(x), f (x) 的变化情况如下表:,+,+,单调递增,单调递减,单调递增,所以, 当 x = 2 时, f (x)有极大值 28 / 3 ;,当 x = 2 时, f (x)有极小值 4 / 3 .,-2,o,x,y,2,+,-,-,+,28/3,-4/3,f(x)=1/3 x3-4x+4,求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤：
6、 （1）确定函数的定义域 （2）求方程f(x)=0的根 （3）用方程f(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格 （4）由f(x)在方程f(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况 若f (x)左正右负，则f(x)为极大值； 若 f (x)左负右正，则f(x)为极小值,求导求极点列表求极值,练习2,求下列函数的极值:,解:,令 解得 列表:,+,单调递增,单调递减,所以, 当 时, f (x)有极小值,练习2,求下列函数的极值:,解:,解得 列表:,+,+,单调递增,单调递减,单调递增,所以, 当 x = 3 时, f (x)有极大值 54 ;,当 x
7、= 3 时, f (x)有极小值 54 .,练习2,求下列函数的极值:,解:,解得,所以, 当 x = 2 时, f (x)有极小值 10 ;,当 x = 2 时, f (x)有极大值 22 .,解得,所以, 当 x = 1 时, f (x)有极小值 2 ;,当 x = 1 时, f (x)有极大值 2 .,例2,所以，当x=-1是，函数的极大值是-2，当x=1时，函数的极小值是2,导函数的正负是 交替出现的吗？,不一定,极大值,极小值,例3：已知函数 在 处取得极值。 （1）求函数 的解析式 （2）求函数 的单调区间,函数的性质,单调性,单调性的判别法,单调区间的求法,函数极值,函数极值的定义,函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,函数极值的求法,必要条件,求极值的步骤:1.求导，2.求极点，3.列表，4.求极值,1.求导，2.解不等式，3.写出单调区间,
