《112微积分演示教学》由会员分享，可在线阅读，更多相关《112微积分演示教学（60页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、正项级数及其审敛法,交错级数及其审敛法,绝对收敛与条件收敛,小结 思考题 作业,constant term infinite series,11.2 常数项级数的审敛法,1. 定义,正项级数,2. 收敛的充要条件,单调增加数列,这时,只可能有两种情形:,positive term series,一、正项级数及其审敛法,定理1(基本定理),正项级数可以任意加括号, 其敛散性不变,对收敛的正项级数, 其和也不变.,正项级数收敛,部分和所成的数列,有界.,3. 比较审敛法,证,定理2,即部分和数列有界.,则,收敛,收敛,发散,发散,收敛,不是有界数列,定理证毕.,比较审敛法的不便:,须有参考级数.,
2、发散,发散,发散,推论1,(发散),收敛,收敛,(发散).,证,解,(1),(2),用比较审敛法,发散.,例,讨论,的收敛性.,收敛.,故由比较判别法知 p1时, p-级数,收敛.,(1) 几何级数,使用正项级数的比较判定法时,常用的比较级数,一些级数的敛散性,作为比较的标准.,需要知道,(2) p-级数,(3) 调和级数,发散,推论2,定理2,则,收敛,收敛,发散,发散,例 讨论下列正项级数的敛散性.,解 (1),而等比级数 收敛.,原级数收敛.,由比较审敛法，,解,因为,而,是发散的p-级数.,原级数,发散.,由比较审敛法,解,因为,所以, 原级数,收敛.,p-级数,收敛.,由比较审敛法,
3、4.比较审敛法的极限形式,定理3,两级数有相同的敛散性;,证,由比较审敛法的推论, 得证.,由比较审敛法可推出如下快速的审敛法,当分母,分子关于n的最高次数分别为,级数,收敛;,级数,发散.,例如,收敛.,例如,发散.,因为,而,发散.,解,收敛,发散,例 判定下列级数的敛散性,比较审敛法的极限形式,?,练习,解,而级数,收敛,故级数,收敛.,?,解,而级数,收敛,证,定理4,(1),5.比值审敛法(达朗贝尔 判定法),收敛,发散,方法失效,也收敛.,由(1)式的,左边相加,的各项,小于右边相加收敛的等比级数,的对应项,所以,由性质3,得,(1),右边,发散,由(1)式的,如,比值审敛法失效.
4、,(1),左边,2. 若用比值判别法判定级数发散,3. 一旦出现=1,要用其它方法判定.,级数的通项un不趋于零.,后面将用到这一点.,或 不存在时,4. 条件是充分的,1. 适用于,的若干连乘积(或商),但非必要.,收敛,形式.,收敛,不存在,解,比值审敛法的优点:,不必找参考级数.,例 判定下列级数的敛散性,由级数本身就能断定敛散性.,比值审敛法失效,解,改用比较极限审敛法,例 讨论级数 的敛散性.,解,当0x1时,当x1时,当 x=1时,发散;,发散.,级数是调和级数,收敛;,例 判定级数 的敛散性.,解,因为,所以,又因为,所以,收敛,再由比较判别法知,原级数也收敛.,例 利用级数收敛
5、性,证明,证,考查级数,由于,故级数 收敛.,由级数收敛的必要条件知,例 证明级数,并估计以级数的部分和sn近似代替和s,解,以级数的部分和sn近似代替和s,是收敛的,所产生的误差.,所产生的误差为:,练习,敛散性.,解,故当,发散.,收敛;,级数收敛.,定理5,6. 根值审敛法 (柯西判别法),收敛,发散,方法失效,1. 根值法条件是充分的,但非必要.,收敛,2. 凡涉及证明的命题一般不可用比值法与,而只能用比较法.,练习,根值法,例 讨论级数 的敛散性.,解,因为,所以,当a0时,级数收敛;,当a0时,级数发散;,当a=0时,根值法失效,但此时级数为,是发散的.,例 证明:级数 发散.,证
6、,因,故,从而,由级数收敛的必要条件,知级数,发散.,这里用比值法判断级数的收敛性时,虽然如此,也还能利用比值,求出比值的极限为1,比值审敛法失效.,从而得到一般项不收敛于零.,因为,恒大于1,练习,判定 的敛散性.,解,根值审敛法,其中,级数发散.,正、负项相间的级数称为,定义,alternate series,交错级数.,定理6,(莱布尼茨定理),二、交错级数及其审敛法,证,由条件(1):,分析,满足收敛的两个条件,定理证毕.,也是一个交错级数.,由条件(2):,un与un+1大小的方法有三种:,(1)比值法,?,?,(3) 由un找出一个连续可导函数,考察,?,(2)差值法,用莱布尼茨定
7、理判别交错级数,是否收敛时,要考察un与un+1大小,比较,解,原级数收敛.,此级数为,例,判别级数,的收敛性.,交错级数.,不满足也,条件(2),条件(1),莱布尼茨定理条件中,就是说, 某些交错级数即使条件(1)( ),只是充分条件.,是收敛的必要条件.,不是必要条件.,仍有可能是收敛的.,莱布尼茨定理,则级数收敛.,如果交错级数满足条件:,如,不满足莱布尼茨定理的条件:,但级数收敛.,例,但条件(1),故级数,判别级数,的敛散性.,解,交错级数,可知莱布尼茨定理的条件(2)满足,不满足,故用莱氏定理是无法判别的,但是因为,发散.,收敛,发散,任意项级数,任意项级数,正项级数,思想是:,定
8、义2,可正,可负,可0.,绝对收敛.,条件收敛.,三、绝对收敛与条件收敛,证,绝对收敛与收敛,设级数,定理7,收敛.,有以下重要关系,解,故原级数,例,判别级数,的敛散性.,任意项级数,收敛,绝对收敛.,例,解,(1),所以原级数,收敛.,绝对收敛.,是条件收敛还是绝对收敛.,是等比级数,判定下列级数的敛散性, 对收敛级数要指明,解,因为,又,(2),由正项级数的比值判别法知,从而级数(2),由于使用的是比值判别法而判定的级数(2),因此,级数,发散,不绝对收敛.,不绝对收敛,发散.,级数(2)是,断定,正项级数,通常先考查它,若使用比值法或,根值法判定级数不绝对收敛(这时级数的通项不趋于零)
9、,对交错级数,利用无穷级数的性质1、2 将级数,如不是绝,对收敛的, 再看它是否条件收敛.,便可断言级数发散.,可用,莱布尼茨定理.,然后讨论敛散性也是常用手段.,拆开为两个级数,(用正项级数的审敛法),讨论任意项级数的收敛性时,是否绝对收敛,例,解,由于,收敛.,正项级数,例,解,绝对收敛,条件收敛,解,因而,由性质，,发散.,例,解,因为,例,所以,因为,从而,故,正项级数审敛法的思维程序,四、小结,1.,2.,若,比值、根值法;,若失效,3.,比较审敛法的极限形式,4.,5.,充要条件,6.,按基本性质,7.,?,比较审敛法,发散;,任意项级数审敛法的思维程序,3. 交错级数(莱布尼茨定理),1.,?,发散,2. 绝对收敛,4. 按基本性质,5.,思考题,是非题,是,由比较审敛法知,收敛.,非,例如,收敛,发散.,(1),(2),
