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1、第4章 运动刚体上动点的运动分析,1. 掌握运动刚体上动点的速度和加速度分析方法； 2. 了解点的复合运动基本概念。,学习要求：,三种运动： 1. 绝对运动：动点相对于定系的运动。 2. 相对运动：动点相对于动系的运动。 3. 牵连运动：动系相对于定系的运动。,4-1点的复合运动的基本概念,一点的复合运动,1. 动点：所研究的点（运动着的点）。 2. 定系（静系）：固结于地面上的坐标系。 3. 动系：固结于相对于地面运动物体上的坐标系。,因此，动点的绝对运动可以看成动点的相对运动和动点相对于动系的牵连运动的复合运动。,平面运动刚体上各点的运动分析,二、运动方程和轨迹,运动方程直接描述了动点的位
2、置随时间的变化规律，运动方程之间的关系实际上就是动点的矢径在不同坐标系中投影的变换关系。,将上式分别投影到两个坐标系，并设两个坐标系的单位矢量之间的关系为：,则动点的绝对运动和相对运动的运动方程之间关系为：,平面运动刚体上各点的运动分析,对于平面问题，其展开式为：,如图所示，从运动方程中消去时间t，就可分别得到动点的绝对运动轨迹和相对运动轨迹。,绝对速度Va与绝对加速度aa：动点相对于定系运动的速度与加速度相对速度Vr与相对加速度ar：动点相对于动系运动的速度和加速度牵连速度Ve与牵连加速度ae：动点运动的某瞬时，动系上某点与动点相重合（牵连点），该点相对于定系运动的速度和加速度,三、速度和加
3、速度,注意：Ve、ae是动系上某点的速度、加速度。,平面运动刚体上各点的运动分析,四动点、动系的选择原则,（1）动点相对动系要有运动（即动点、动系不能在同一物体上）； （2）动点的相对运动轨迹要明显； （3）动系的运动要简单（已知或可求）。,动点必须是始终与动系接触的那一点，如杆的端点，销钉、滑块、套筒等机构的连接点，特殊情况为圆心。,动点： AB杆上A点 定系：固结在地面上 动系：固结于凸轮上,绝对运动： 直线 牵连运动：直线平动 相对运动：曲线（圆弧）,平面运动刚体上各点的运动分析,动点：A（在AB杆上） 绝对运动：直线 动系：偏心轮 牵连运动：定轴转动 静系：地面 相对运动：圆周（曲线）
4、,动点：A（在偏心轮上） 动系：AB杆 静系：地面 绝对运动：圆周（红色虚线） 相对运动：曲线（未知） 牵连运动：平动,平面运动刚体上各点的运动分析,绝对运动：直线运动,牵连运动：定轴转动,相对运动：曲线运动（螺旋运动）,动点：车刀刀尖,车刀的运动分析,动系：工件,静系：地面,平面运动刚体上各点的运动分析,回转仪的运动分析,动点：点,相对运动：圆周运动,牵连运动：定轴转动,绝对运动：空间曲线运动,动系：框架,静系：底座,平面运动刚体上各点的运动分析,平面运动刚体上各点的运动分析,例题：用车刀切削工件的直径端面。工件以等角速度逆时针转动，车刀的刀尖则沿水平轴x往复运动，运动方程为x=bsint。
5、求车刀工件端面上切出的痕迹。,相对运动轨迹,相对运动方程,解:,动点：刀尖M，定系：固连于基座，动系：固连于工件,绝对运动：水平直线的往复运动，运动方程为x=bsint，y=0 牵连运动：动系的转动，运动方程为xo= yo= 0。,4-2 运动刚体上动点的速度分析,一、速度合成定理,tt+t，M M,也可看成： M M1 M,假设动点M在t 瞬时的运动轨迹为AB，在t+t 瞬时的运动轨迹为AB。,将两边同除以t，并取t 0时的极限：,平面运动刚体上各点的运动分析,即在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度的矢量和，这就是点的速度合成定理。,平面运动刚体上各点的运动分析, 点的速度合成定
6、理是瞬时矢量式，共包括大小、方向六个元素，已知任意四个元素，就能求出其他两个。, 在速度平行四边形中，va一定夹在ve与 vr之间。, 无论牵连运动为何种运动，此定理都成立。,平面运动刚体上各点的运动分析,速度合成定理使用注意事项,例题1：刨床的急回机构如图所示。曲柄OA的一端A与滑块用铰链连接。当曲柄OA以匀角速度绕固定轴O转动时，滑块在摇杆O1B上滑动，并带动杆O1B绕定轴O1摆动。设曲柄长为OA=r，两轴间距离OO1=l。求：曲柄在水平位置时摇杆的角速度1。,2、运动分析：,已知： ，OA=r，OO1=l，OA水平。求1 =?, ,3、求1 值,解：1、动点：滑块 A 动系：摇杆O1 B
7、,绝对运动绕O点的圆周运动； 相对运动沿O1B的直线运动； 牵连运动绕O1轴定轴转动。,例题2：如图所示半径为R、偏心距为e的凸轮，以角速度绕O轴转动，杆AB能在滑槽中上下平移，杆的端点A始终与凸轮接触，且OAB成一直线。求：在图示位置时，杆AB的速度。,解：1、动点：AB杆上A 动系：凸轮,牵连运动：定轴运动（轴O）,相对运动：圆周运动（半径R）,2、运动分析, ,已知： ，e，AC=R。求vAB =?,绝对运动：直线运动（AB）,3、求vAB 值,分析：相接触的两个物体的接触点位置都随时间而变化，因此两物体的接触点都不宜选为动点，否则相对运动的分析就会很困难。这种情况下，需选择满足题意的非
8、接触点为动点。,例题3：已知: 凸轮半径r, 图示时v，=30；杆OA靠在凸轮上。求：杆OA的角速度。,( ),解: 取凸轮上C点为动点, 动系固结于OA杆上。,牵连速度：,根据速度合成定理,作出速度平行四边形如图示。,平面运动刚体上各点的运动分析,绝对运动：直线运动 相对运动：直线运动 牵连运动: 定轴转动,绝对速度：,相对速度：vr=?，方位/OA,二、接触点的运动学条件,设A、B两刚体相对运动且在一点P相接触。如图所示。,取点P为动点，刚体A为动系，刚体B为定系，则曲线I为点P的相对运动轨迹，曲线II为点P的绝对运动轨迹。vp(A)为相对速度，vp(B)为绝对速度，点PA为点P的牵连点，
9、vpA(B)为点P在该瞬时的牵连速度。由速度合成定理：,首先，推导两个刚体相对运动时，其接触点应满足的运动学条件。,平面运动刚体上各点的运动分析,由于vp(A)和vp(B)都沿相应轨迹的切向，即沿公切线PT的方向，故vpA(B)也应沿PT方向，即：,交换动系和定系，同样可推出：,两式联立即可推出：,两个相对运动的刚体上两个接触点的速度应满足的运动学条件：刚体上的接触点相对另一刚体的速度沿接触点处公切线的方向，沿法向的相对速度为零。,平面运动刚体上各点的运动分析,其次，推导无滑动的接触纯滚动的运动学条件,由于无滑动，点P在同一时间间隔内在刚体A和B上画出的弧长应相等：SA=SB。求导得： vp
10、(A) = vp (B),由于vp(A)和vp(B)同向，即有vpA(B) = vpB(A) 。由前面得推导可知：,上式即为纯滚动时接触点得运动学条件：纯滚动时刚体上得接触点相对另一刚体的速度为零。,平面运动刚体上各点的运动分析,如果两个刚体相对于第三个刚体（如固连于地面的参考系）均有运动，可取点PA为动点，刚体B为动系。绝对速度vp(A) ，无滑动时相对速度为零，牵连点为点PB，牵连速度为vp(B) 。应用速度合成定理可得：,如图所示，两轮半径分别为R1和R2，分别绕固定轴O1z1和O2 z2（均垂直于纸面）转动，角速度分别为1 和2。设两轮上的接触点分别为P1和P2，则由转动刚体速度分布规
11、律可知：,平面运动刚体上各点的运动分析,三、定轴转动轮系的传动比,由纯滚动条件vpA(B) = vpB(A)得：,对时间求导得：,即：纯滚动时，两轮的加速度和角加速度均与其半径成反比。主动轮O1与从动轮O2的角速度之比i12=1 /2=R2/R1称为传动比。,对于齿轮，其齿数与其节圆半径成正比，故：,由速度合成定理,设有一动点M按一定规律沿着曲线AB运动（曲线AB固连于动系Oxyz上），而曲线AB同时又随同动系Oxyz 相对静系Oxyz作平动。,一、牵连运动为平动时加速度合成定理,4-3 运动刚体上动点的加速度分析,由于牵连运动为平动，故有,因为,（其中 为动系坐标的单位矢量，因为动系为平动，
12、故它们的方向不变，是常矢量，所以 ）, 牵连运动为平动时点的加速度合成定理,即：当牵连运动为平动时，动点的绝对加速度等于牵连加速度与相对加速度的矢量和。,平面运动刚体上各点的运动分析,上式对t 求导：,解：取杆AB上的A点为动点，动系固连在凸轮上。,例题：已知：凸轮半径为R，水平移动速度和加速度分别为vO， aO 。求：=60时，顶杆AB加速度。,平面运动刚体上各点的运动分析,由 作速度平行四边形,（1）求,：va = ? ，方位：AB；,：ve= v0 ，方向 ： 。,：vr = ?，方位：CA;,（2）求,：aa=?，方位：AB，指向：假设,：ar =?，方位CA，指向：假设,方向：AC,
13、：ae=a0 , 方向：,注意：加速度的指向一般为假设；加速度图要与速度图分开画；加速度矢量方程的投影是等式两端的投影。,平面运动刚体上各点的运动分析,因牵连运动为平动，故有,将上式向n轴投影，得,我们已经证明了牵连运动为平动时的点的加速度合成定理，那么当牵连运动为转动时，上述的加速度合成定理是否还适用呢？下面我们来分析一特例。,二、牵连运动为转动时点的加速度合成定理,设一圆盘以匀角速度绕定轴顺时针转动，盘上圆槽内有一点M以大小不变的速度vr 沿槽作圆周运动，那么M点相对于静系的绝对加速度应是多少呢？,1. 牵连运动为转动时的加速度合成定理与牵连运动为平动时有何不同？,平面运动刚体上各点的运动
14、分析,（方向如图）,由速度合成定理得,动点：点M 动系：固结与圆盘上， 则M点的牵连运动：匀速转动； 相对运动：匀速圆周运动。,（方向如图）,绝对运动也为匀速圆周运动,方向：指向圆心,平面运动刚体上各点的运动分析,vr=常数，,分析上式： 还多出一项2 vr 。,可见，当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度 并不 等于牵连加速度 和相对加速度 的矢量和。那么他们之间的关系是什么呢？ 2 vr 是怎样出现的呢？它又代表什么呢？下面我们就来讨论这些问题，推证牵连运动为转动时点的加速度合成定理。,平面运动刚体上各点的运动分析,2. 牵连运动为转动时的加速度合成定理,如图所示，建立两个坐标系。定系：Ox
15、yz，动系：Oxyz，并且动系以、绕z轴转动，动点M相对于动系沿AB运动。, 动点的相对速度及相对加速度, 动系绕z轴转动，动系上与动点重合的点的速度、加速度即牵连速度、牵连加速度：,平面运动刚体上各点的运动分析, 由速度合成定理,是牵连速度受相对运动的影响而对时间的变化率,平面运动刚体上各点的运动分析,是 矢端的速度，所以 可以看成是矢径 的端点速度，由于 随同动系绕z轴转动，因此 端点的速度为：,平面运动刚体上各点的运动分析,同理,是相对速度受牵连运动的影响而对时间的变化率,由于,平面运动刚体上各点的运动分析,科氏加速度,所以，当牵连运动为转动时，加速度合成定理为：,即：当牵连运动为转动时
16、，动点的绝对加速度等于它的牵连加速度，相对加速度和科氏加速度三者的矢量和。,科氏加速度,这是由于牵连运动为转动时，牵连运动会改变相对速度的方向而引起相对速度的变化，相对运动会改变牵连点而引起牵连速度的变化。,：牵连运动(即动系)的角速度,平面运动刚体上各点的运动分析,大小：,方向：按右手法则确定,对于平面机构：aC=2vr ，方向：将 绕动系方向转90即得。,解：动点：AB杆上A点；动系: 凸轮 ；静系: 地面。,例题：已知：凸轮机构以匀 绕O轴转动，图示瞬时OA=r ，A点曲率半径 , 已知。求：该瞬时顶杆 AB的速度和加速度。,： va=? ，方位：AB,：ve= r， 方向OA，,： vr=? 方向n,平面运动刚体上各点的运动分析,（1）求vAB,根据,作出速度平行四边形,（2）求aAB,指向：假设,平面运动刚体上各点的运动分析,由加速度合成定理,作加速度矢量图,：aa
