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1、第十章,一元函数积分学,多元函数积分学,重积分,曲线积分,曲面积分,重 积 分,三、二重积分的性质,第一节,一、引例,二、二重积分的定义与可积性,四、曲顶柱体体积的计算,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二重积分的概念与性质,第十章,解法: 类似定积分解决问题的思想:,一、引例,1.曲顶柱体的体积,给定曲顶柱体:,底： xoy 面上的闭区域 D,顶: 连续曲面,侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面,求其体积.,“大化小, 常代变, 近似和, 求 极限”,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4)“取极限”,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 平面薄片的质量,有一个
2、平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D ,计算该薄片的质量 M .,度为,设D 的面积为 ,则,若,非常数 ,仍可用,其面密,“大化小, 常代变,近似和, 求 极限”,解决.,1)“大化小”,用任意曲线网分D 为 n 个小区域,相应把薄片也分为小区域 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2)“常代变”,中任取一点,3)“近似和”,4)“取极限”,则第 k 小块的质量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,两个问题的共性：,(1) 解决问题的步骤相同,(2) 所求量的结构式相同,“大化小, 常代变, 近似和,取极限”,曲顶柱体体积:,平面薄片的质量:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二
3、、二重积分的定义及可积性,定义:,将区域 D 任意分成 n 个小区域,任取一点,若存在一个常数 I , 使,可积 ,在D上的二重积分.,积分和,是定义在有界区域 D上的有界函数 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,引例1中曲顶柱体体积:,引例2中平面薄板的质量:,如果 在D上可积,也常,二重积分记作,这时,分区域D ,因此面积元素,可用平行坐标轴的直线来划,记作,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二重积分存在定理:,若函数,定理2.,(证明略),定理1.,在D上可积.,限个点外都连续 ,积.,在有界闭区域 D上连续,则,若有界函数,在有界闭区域 D 上除去有,机动 目录 上页 下页 返回
4、结束,三、二重积分的性质,( k 为常数), 为D 的面积, 则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特别, 由于,则,5. 若在D上,6. 设,D 的面积为 ,则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,7.(二重积分的中值定理),证: 由性质6 可知,由连续函数介值定理, 至少有一点,在闭区域D上, 为D 的面积 ,则至少存在一点,使,使,连续,因此,机动 目录 上页 下页 返回 结束,8. 设函数,D 位于 x 轴上方的部分为D1 ,当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍,在 D 上,在闭区域上连续,域D 关于x 轴对称,则,则,有类似结果.,在第一象限部分, 则有,
5、机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 比较下列积分的大小:,其中,解: 积分域 D 的边界为圆周,它与 x 轴交于点 (1,0) ,而域 D 位,从而,于直线的上方, 故在 D 上,机动 目录 上页 下页 返回 结束,被积函数相同, 且非负,例2.比较下列积分值的大小关系:,解:,由它们的积分域范围可知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 y 1, 则,的大小顺序为 ( ),提示: 因 0 y 1, 故,故在D上有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.,估计,的值, 其中 D 为,解: 被积函数,D 的面积,的最大值,的最小值,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
