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1、第四节,有理函数的积分,第四章,基本积分法 : 直接积分法 ;,换元积分法 ;,分部积分法,初等函数,初等函数,一、有理函数的积分,二、可化为有理函数的积分举例,本节内容:,一、 有理函数的积分,有理函数:,时,为假分式;,时,为真分式,有理函数,多项式 + 真分 式,分解,其中部分分式的形式为,若干部分分式之和,例1. 将下列真分式分解为部分分式 :,解:,(1) 用拼凑法,(3) 混合法,原式 =,四种典型部分分式的积分:,变分子为,再分项积分,例2. 求,解: 已知,例3. 求,解: 原式,思考: 如何求,例4. 求,解:,说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便 ,
2、因此要注意根据被积函数的结构寻求,简便的方法.,例5. 求,解: 原式,例6. 求,解: 原式,注意本题技巧,按常规方法较繁,按常规方法解:,第一步 令,比较系数定 a , b , c , d . 得,第二步 化为部分分式 . 即令,比较系数定 A , B , C , D .,第三步 分项积分 .,此解法较繁 !,二 、可化为有理函数的积分举例,设,表示三角函数有理式 ,令,万能代换,t 的有理函数的积分,1. 三角函数有理式的积分,则,例7. 求,解: 令,则,例8. 求,解:,说明: 通常求含,的积分时,往往更方便 .,的有理式,用代换,例9. 求,解法 1,令,原式,例9. 求,解法 2
3、,令,原式,例10. 求,解: 因被积函数关于 cos x 为奇函数, 可令,原式,2. 简单无理函数的积分,令,令,被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换,化为有理函数的积分.,例如:,令,例11. 求,解: 令,则,原式,例12. 求,解: 为去掉被积函数分母中的根式 , 取根指数 2 , 3 的,最小公倍数 6 ,则有,原式,令,例13. 求,解: 令,则,原式,内容小结,1. 可积函数的特殊类型,有理函数,分解,多项式及部分分式之和,三角函数有理式,万能代换,简单无理函数,三角代换,根式代换,2. 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定,要注意综合使用基本积分法 ,简便计算 .,简便 ,思考与练习,如何求下列积分更简便 ?,解: 1.,2. 原式,练习题 1.,求不定积分,解：,令,则, 故,分母次数较高, 宜使用倒代换.,2.求不定积分,解：,原式 =,前式令,; 后式配元,
