《人教A版高中数学选修1-1课时提升作业 十四 2.2.2 双曲线的简单几何性质 第2课时 双曲线方程及性质的应用 精讲优练课型 Word版含答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教A版高中数学选修1-1课时提升作业 十四 2.2.2 双曲线的简单几何性质 第2课时 双曲线方程及性质的应用 精讲优练课型 Word版含答案（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、课时提升作业 十四双曲线方程及性质的应用一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015全国卷)已知M(x0,y0)是双曲线C:x22-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点,若MF1MF20,则y0的取值范围是()A.-33,33B.-36,36C.-223,223D.-233,233【解析】选A.因为F1(-3,0),F2(3,0),x022-y02=1,所以MF1MF2=(-3-x0,-y0)(3-x0,-y0)=x02+y02-30,即3y02-10,解得-33y02,所以当l与双曲线的两交点在左、右两支上时应该有两条,共三条.3.(2016泉州高二检测)若曲线C上存在点M,使M到
2、平面内两点A(-5,0),B(5,0)距离之差为8,则称曲线C为“好曲线”.以下曲线不是“好曲线”的是()A.x+y=5B.x2+y2=9C.x225+y29=1D.x2=16y【解析】选B.因为M到平面内两点A(-5,0),B(5,0)距离之差为8,所以M的轨迹是以A(-5,0),B(5,0)为焦点的双曲线的右支,方程为x216-y29=1(x4),A:直线x+y=5过点(5,0)满足题意;B:x2+y2=9的圆心为(0,0),半径为3,与M的轨迹没有交点,不满足题意;C:x225+y29=1的右顶点(5,0),满足题意;D:方程代入x216-y29=1,可得y-y29=1,即y2-9y+9
3、=0,所以y=3,满足题意.4.(2016青岛高二检测)过双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右顶点A作斜率为-1的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B,C.若AB=12BC,则双曲线的离心率是()A.2B.3C.5D.10【解析】选C.右顶点为A(a,0),则直线方程为x+y-a=0,可求得直线与两渐近线的交点坐标Ba2a+b,aba+b,Ca2a-b,-aba-b,则BC=2a2ba2-b2,-2a2ba2-b2,AB=-aba+b,aba+b.又2AB=BC,所以2a=b,所以e=5.【补偿训练】已知F1, F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦
4、点,过F1作垂直于x轴的直线交双曲线于A,B两点.若ABF2为直角三角形,则双曲线的离心率为()A.1+2B.12C.2D.21【解析】选A.因为ABF2是直角三角形,所以AF2F1=45,|AF1|=|F1F2|,b2a=2c.所以b2=2ac,所以c2-a2=2ac,所以e2-2e-1=0.解得e=12.又e1,所以e=1+2.5.(2016沈阳高二检测)已知双曲线E的中心在原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A,B两点,且AB中点为N(-12,-15),则E的方程为()A.x23-y26=1B.x24-y25=1C.x26-y23=1D.x25-y24=1【解析】选B.由
5、已知条件易得直线l的斜率k=-15-0-12-3=1,设双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),A(x1,y1),B(x2,y2),则x12a2-y12b2=1,x22a2-y22b2=1,两式相减并结合x1+x2=-24,y1+y2=-30得y1-y2x1-x2=4b25a2,从而4b25a2=1,又因为a2+b2=c2=9,故a2=4,b2=5,所以E的方程为x24-y25=1.【拓展延伸】解决与双曲线弦的中点有关问题的两种方法(1)根与系数的关系法:联立直线方程和双曲线方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.(2)点差法:利用端点在曲
6、线上,坐标满足方程,将端点坐标分别代入双曲线方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系,可求斜率k=y1-y2x1-x2.这是解决与中点有关问题的简便而有效的方法.求弦中点轨迹问题,此方法依然有效.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016济南高二检测)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)和椭圆x216+y29=1有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为.【解析】由题意知,椭圆的焦点坐标是(7,0),离心率是74.故在双曲线中c=7,e=274=ca,故a=2,b2=c2-a2=3,故所求双曲线的方程是x24-y23=1.答案:x24-y23=17.已
7、知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点为F,过F且斜率为3的直线交双曲线C于A,B两点.若AF=4FB,则双曲线C的离心率为.【解析】设A,B两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),由y=3(x-c),x2a2-y2b2=1,得(b2-3a2)y2+23b2cy+3b4=0,因为b2-3a20,所以y1+y2=23b2c3a2-b2,y1y2=3b4b2-3a2,由AF=4FB得y1=-4y2,所以-3y2=23b2c3a2-b2,-4y22=3b4b2-3a2,所以y2=2b2c3(b2-3a2),代入-4y22=3b4b2-3a2,得16c2=27a2-9b2,又b
8、2=c2-a2,所以16c2=27a2-9c2+9a2,所以36a2=25c2,所以e2=3625,所以e=65.答案:658.已知直线l:x-y+m=0与双曲线x2-y22=1交于不同的两点A,B,若线段AB的中点在圆x2+y2=5上,则m的值是.【解析】由x-y+m=0,x2-y22=1,消去y得x2-2mx-m2-2=0.=4m2+4m2+8=8m2+80.设A(x1,y1),B(x2,y2).则x1+x2=2m,y1+y2=x1+x2+2m=4m,所以线段AB的中点坐标为(m,2m),又因为点(m,2m)在圆x2+y2=5上,所以5m2=5,所以m=1.答案:1【补偿训练】双曲线x29
9、-y216=1的两个焦点为F1,F2,点P在双曲线上,若PF1PF2,则点P到x轴的距离为.【解析】设|PF1|=m,|PF2|=n(mn),所以a=3,b=4,c=5.由双曲线的定义知,m-n=2a=6,又PF1PF2.所以PF1F2为直角三角形.即m2+n2=(2c)2=100.由m-n=6,得m2+n2-2mn=36,所以2mn=m2+n2-36=64,mn=32.设点P到x轴的距离为d,SPF1F2=12d|F1F2|=12|PF1|PF2|,即12d2c=12mn.所以d=mn2c=3210=3.2,即点P到x轴的距离为3.2.答案:3.2三、解答题(每小题10分,共20分)9.双曲
10、线的中心为原点O,焦点在x轴上,两条渐近线分别为l1,l2,经过右焦点F且垂直于l1的直线分别交l1,l2于A,B两点.已知|OA|,|AB|,|OB|成等差数列,且BF与FA同向.(1)求双曲线的离心率.(2)设AB被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程.【解析】(1)设OA=m-d,AB=m,OB=m+d,双曲线方程为x2a2-y2b2=1.由勾股定理可得(m-d)2+m2=(m+d)2,得d=14m,tanAOF=ba,tanAOB=tan2AOF=ABOA=43.由倍角公式得2ba1-ba2=43,解得ba=12,则离心率e=52.(2)直线AB的方程为y=-ab(x-c),与双
11、曲线方程x2a2-y2b2=1联立消y并将a=2b,c=5b代入,化简有154b2x2-85bx+21=0.x1+x2=325b15,x1x2=28b25,设交点A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则|AB|=1+ab2|x1-x2|=1+ab2(x1+x2)2-4x1x2=4,将数值代入,得4=5325b152-428b25,解得b=3,故所求的双曲线方程为x236-y29=1.10.已知直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1交于A,B两点.(1)若以AB为直径的圆过坐标原点,求实数a的值.(2)是否存在这样的实数a,使A,B两点关于直线y=12x对称?若存在,请求出a的
12、值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由y=ax+1,3x2-y2=1.消去y得,(3-a2)x2-2ax-2=0.依题意3-a20,0.即-6a0,b0)左右两支分别交于M,N两点,F是双曲线C的右焦点,O是坐标原点,若|FO|=|MO|,则双曲线的离心率等于()A.3+2B.3+1C.2+1D.22【解析】选B.由题知|MO|=|NO|=|FO|,所以MFN为直角三角形,且MFN=90,取左焦点为F0,连结NF0,MF0,由双曲线的对称性知,四边形NFMF0为平行四边形.又因为MFN=90,所以四边形NFMF0为矩形,所以|MN|=|F0F|=2c,又因为直线MN的倾斜角为60,即NOF=60,所以NMF=30,所以|NF|=|MF0|=c,|MF|=3c,由双曲线定义知|MF|-|MF0|=3c-c=2a,所以e=ca=3+1.【补偿训练】过双曲线M:x2-y2b2=1(b0)的左顶点A作斜率为1的直线l.若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B,C,且B是AC的中点,则双曲线M的离心率为()A.52B.103C.5D.10【解析】选D.由题意可知A
