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1、学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1过抛物线y24x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线()A有且仅有一条B有且仅有两条C有无穷多条D不存在【解析】由定义，知|AB|527，因为|AB|min4，所以这样的直线有且仅有两条【答案】B2过点(1,0)作斜率为2的直线，与抛物线y28x交于A，B两点，则弦AB的长为()A2B2C2D2【解析】设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由直线AB斜率为2，且过点(1,0)得直线AB的方程为y2(x1)，代入抛物线方程y28x得4(x1)28x，整理得x24x10，则x1x24，x
2、1x21，|AB|2.故选B.【答案】B3(2014全国卷)已知抛物线C：y2x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|x0，则x0()A1B2 C4D8【解析】由y2x得2p1，即p，因此焦点F，准线方程为l：x，设A点到准线的距离为d，由抛物线的定义可知d|AF|，从而x0x0，解得x01，故选A.【答案】A4已知抛物线y22px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()Ax1Bx1Cx2Dx2【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由A，B两点在抛物线上，得y2px1，y2px2，由，得(y1y2)(y1
3、y2)2p(x1x2)又线段AB的中点的纵坐标为2，即y1y24，直线AB的斜率为1，故2p4，p2，因此抛物线的准线方程为x1.【答案】B5设O为坐标原点，F为抛物线y24x的焦点，A为抛物线上一点，若OA4，则点A的坐标为() 【导学号：26160061】A(2，2)B(1，2)C(1,2)D(2,2)【解析】设A(x，y)，则y24x，O(x，y)，A(1x，y)，OAxx2y24，由可解得x1，y2.【答案】B二、填空题6抛物线y24x上的点到直线xy40的最小距离为_【解析】可判断直线yx4与抛物线y24x相离，设yxm与抛物线y24x相切，则由消去x得y24y4m0.1616m0，
4、m1.又yx4与yx1的距离d，则所求的最小距离为.【答案】7已知抛物线y24x，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则yy的最小值是_【解析】设AB的方程为xmy4，代入y24x得y24my160，则y1y24m，y1y216，yy(y1y2)22y1y216m232，当m0时，yy最小为32.【答案】328过抛物线y22x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|，|AF|BF|，则|AF|_.【解析】设过抛物线焦点的直线为yk，联立得整理得k2x2(k22)xk20，x1x2，x1x2.|AB|x1x211，得k224，代入k2x2(k22)x
5、k20得12x213x30，解之得x1，x2，又|AF|BF|，故|AF|x1.【答案】三、解答题9求过定点P(0,1)，且与抛物线y22x只有一个公共点的直线方程【解】如图所示，若直线的斜率不存在，则过点P(0,1)的直线方程为x0，由得即直线x0与抛物线只有一个公共点若直线的斜率存在，则设直线为ykx1，代入y22x得：k2x2(2k2)x10，当k0时，直线方程为y1，与抛物线只有一个交点当k0时，(2k2)24k20k.此时，直线方程为yx1.可知，y1或yx1为所求的直线方程故所求的直线方程为x0或y1或yx1.10已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A
6、，B两点，O为坐标原点，若OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程【解】由题意，抛物线方程为y22px(p0)，焦点F，直线l：x，A，B两点坐标为，|AB|2|p|.OAB的面积为4，2|p|4，p2.抛物线方程为y24x.能力提升1(2014全国卷)设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，则|AB|()A.B6C12D7【解析】F为抛物线C：y23x的焦点，F，AB的方程为y0tan 30，即yx.联立得x2x0.x1x2，即xAxB.由于|AB|xAxBp，所以|AB|12.【答案】C2已知AB是抛物线y22px(p0)上的两点，O为原点，若|，且抛物线
7、的焦点恰好为AOB的垂心，则直线AB的方程是()AxpBxpCxpDx3p【解析】|O|，A，B关于x轴对称设A(x0，)，B(x0，)AFOB，F，1，x0p.【答案】C3(2014湖南高考)平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x1的距离相等若机器人接触不到过点P(1,0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是_【解析】由题意知机器人行进轨迹为以F(1,0)为焦点，x1为准线的抛物线，其方程为y24x.设过点(1,0)且斜率为k的直线方程为yk(x1)代入y24x，得k2x2(2k24)xk20.机器人接触不到该直线，(2k24)24k41.k1或k0)的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上(1)求抛物线C的方程；(2)设A，B是抛物线C上两个动点，过A作平行于x轴的直线m，直线OB与直线m交于点N，若OO0(O为原点，A，B异于原点)，试求点N的轨迹方程. 【导学号：26160062】【解】(1)直线l：yx.过原点且垂直于l的直线方程为y2x.由，得x.抛物线的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上，2，p2.抛物线C的方程为y24x.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(x，y)由OO0，得x1x2y1y20.又y4x1，y4x2，解得y1y216.直线ON：yx，即yx.由及yy1，得点N的轨迹方程为x4(y0)
