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1、1,2,1. 确定性现象和不确定性现象.,2. 随机现象: 在个别试验中其结果呈现出不确定性, 在大量重复试验中其结果又具有统计规律性.,第一章 概率论的基本概念,前 言,3. 概率与数理统计的广泛应用.,3,1.随机试验,E1: 抛一枚硬币，观察正(H)反(T) 面 的情 况.,E2: 将一枚硬币抛三次,观察正反面出现的情况.,E3: 将一枚硬币抛三次，观察出现正面的情况.,举例:,我们将对自然现象的一次观察或进行一次科学试验 称为试验。,E4: 电话交换台一分钟内接到的呼唤次数.,E5: 在一批灯泡中任取一只, 测试它的寿命.,4,随机试验: (1) 可在相同的条件下重复试验; (2) 每
2、次试验的结果不止一个,且能事先明确所有可能的结果; (3) 一次试验前不能确定会出现哪个结果.,5,2. 样本空间与随机事件,(一) 样本空间: 定义 随机试验E的所有可能结果组成的集合称为 E的样本空间, 记为S. 样本空间的元素称为样本点，用表示.,样本空间的分类:,1.离散样本空间:样本点为有限个或可列个. 例 E1,E2等.,2.无穷样本空间:样本点在区间或区域内取值. 例 灯泡的寿命t|t0.,6,(二) 随机事件,定义 样本空间S的子集称为随机事件, 简称事件. 在一次试验中, 当且仅当这一子集中的一个样本点出现时, 称这一事件发生.,基本事件:,复合事件:,必然事件:,不可能事件
3、：,由一个样本点组成的单点集. 如:H,T.,由两个或两个以上的基本事件复合而成的事件为复合事件. 如:E3中出现正面次数为奇数.,样本空间S是自身的子集，在每次试验中总是发生的，称为必然事件。,空集不包含任何样本点, 它在每次试验中都不发生，称为不可能事件。,7,例1. 试确定试验E2中样本空间, 样本点的个数, 并给出如下事件的元素: 事件A1=“第一次出现正面”、事件A2=“恰好出现一次正面”、事件A3=“至少出现一次正面”.,8,（三）事件间的关系与事件的运算,1.包含关系和相等关系:,若事件A发生必然导致事件B发生,则称件B包含事件A,记作AB. 若A B且A B, 即A=B, 则称
4、A与B相等.,9,2.和事件:,3.积事件： 事件A B=x|x A 且 x B称A与B的积，即事件A与B同时发生. A B 可简记为AB.,类似地, 事件 为可列个事件A1, A2, .的积事件.,10,4.差事件: 事件A-B=x|xA且xB 称为A与B的差. 当且仅当 A发生, B不发生时事件A-B发生. 即:,显然: A-A=, A- =A, A-S= ,11,5.事件的互不相容(互斥):,12,6. 对立事件(逆事件)：,13,7.事件的运算律:,交换律:,结合律:,对偶律:,分配律:,14,例. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件A1,A2,A3分别表示 甲、乙、丙射中，试说明下列事件
5、所表示的结果：,15,3. 概率的概念,一. 古典定义：,等可能概型的两个特点:,例如:掷一颗骰子,观察出现的点数.,(1) 样本空间中的元素只有有限个;,(2) 试验中每个基本事件发生的可能性相同.,概率的古典定义: 对于古典概型, 样本空间S1, 2, , n, 设事件A包含S的 k 个样本点，则事件A的概率定义为,16,古典概型概率的计算步骤:,(1) 选取适当的样本空间S, 使它满足有限等可能的要求, 且把事件A表示成S的某个子集.,(2) 计算样本点总数n及事件A包含的样本点数k.,(3) 用下列公式计算:,17,例1. 袋中装有4只白球和2只红球. 从袋中摸球两次,每次任取一球.有
6、两种式: (a)放回抽样; (b)不放回抽样. 求: (1)两球颜色相同的概率; (2)两球中至少有一只白球的概率.,例2. 设一袋中有编号为1,2,9的球共9只, 现从中任取3只, 试求: (1)取到1号球的概率,（事件A） (2)最小号码为5的概率.（事件B）,18,例3. 某接待站在某一周曾接待过12次来访, 且都是在周二和周四来访. 问是否可以推断接待时间是有规定的?,19,二、几何定义:,定义,20,定义 当随机试验的样本空间是某个区域,并且任意一点落在度量 (长度, 面积, 体积) 相同的子区域是等可能的,则事件 A 的概率可定义为,说明 当古典概型的试验结果为连续无穷多个时, 就
7、归结为几何概率.,21,例1 甲、乙两人相约在 0 到 T 这段时间内, 在预 定地点会面. 先到的人等候另一个人, 经过时间 t ( tT ) 后离去.设每人在0 到T 这段时间内各时刻 到达该地是等可能的 , 且两人到达的时刻互不相关. 求甲、乙两人能会面的概率.,会面问题,22,蒲丰投针试验,例21777年,法国科学家蒲丰(Buffon)提出了投针 试验问题.平面上画有等距离为a(0)的一些平行直 线,现向此平面任意投掷一根长为l ( a )的针,试求 针与任一平行直线相交的概率.,23,几何概型的概率的性质,(1) 对任一事件A ,有,24,三. 统计定义:,(一) 频率 1. 在相同
8、的条件下, 共进行了n次试验,事件A发生的次数nA, 称为A的频数, nA/n称为事件A发生的频率, 记为fn(A).,3. 频率的特性: 波动性和稳定性.,25,1.定义: 设S是样本空间, E是随机试验. 对于E的每个事件A对应一个实数P(A), 称为事件 A的概率, 其中集合函数P(.)满足下列条件:,(1) 对任一事件A,有P(A)0; (非负性）,(2) P(S)=1;（规范性),(3) 设A1,A2,是两两互不相容的事件,则有 P(A1 A2 )=P(A1)+P(A2)+ (可列可加性),四. 概率公理化定义:,26,2.概率的性质：,一般地有: P(B-A)=P(B)-P(AB)
9、.,27,推广,28,例4. 设P(A)=p, P(B)=q, P(AB)=r, 用p, q, r表示下列事件的概率:,29,5. 条件概率,(一)条件概率: 设试验E的样本空间为S, A, B是事件, 要考虑在A已经发生的条件下B发生的概率, 这就是条件概率问题.,例1.老王的妻子一胎生了3个孩子,已知老大是女孩，求另 两个也都是女孩的概率(假设男孩、女孩出生率相同).,30,2. 性质: 条件概率符合概率定义中的三个条件, 即,此外, 条件概率具有无条件概率类似性质.例如：,31,注,当AS时, P(BS)=P(B), 条件概率化为无条件概率, 因此无条件概率可看成条件概率.,计算条件概率
10、有两种方法:,1. 公式法：,32,2. 缩减样本空间法： 在A发生的前提下, 确定B的缩减样本空间, 并在其中计算B发生的概率, 从而得到P(B|A).,例2. 在1, 2, 3, 4, 5这5个数码中, 每次取一个数码, 取后不放回, 连取两次, 求在第1次取到偶数的条件下, 第2次取到奇数的概率.,33,(二) 乘法公式:,P(AB)0, 则有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).,推广,34,35,(三) 全概率公式和贝叶斯公式:,1. 样本空间的划分,注,(1) 若B1,B2,Bn是样本空间S的一个划分, 则每次试验中, 事件B1, B2, , Bn 中必有一 个且仅有
11、一个发生.,36,2. 全概率公式:,称为全概率公式.,3. 贝叶斯公式:,37,例4. 某电子设备厂所用的晶体管是由三家元件制 造厂提供的,数据如下: 元件制造厂 次品率 提供的份额 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05 (1) 任取一只晶体管,求它是次品的概率. (2) 任取一只,若它是次品,则由三家工厂 生产的概 率分别是多少?,38,例5. 对以往数据分析结果表明, 当机器调整得良好 时, 产品的合格率为90%,而当机器发生某一故障时, 其合格率为30%, 每天早晨机器开动时机器调整良 好的概率为75%, 试求已知某日早上第一件产品是 合格品时, 机器
12、调整得良好的概率是多少?,39,1.6 独立性,设A,B是试验E的两事件,当P(A)0, 可以定义P(B|A).,一般地, P(B|A)P(B), 但当A的发生对B的发生的概 率没有影响时,有P(B|A)=P(B),由乘法公式有 P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B).,例如 设试验E为掷甲、乙两枚硬币，观察正反面出现情况. 设A“甲币出现H”, B“乙币出现H”, 试求: B发生的条件下，A发生的概率；A发生的概率.,1. 定义: 设A,B是两事件,如果满足等式 P(AB)=P(A)P(B), 则称事件A与事件B是相互独立的事件.,40,由定义可知:,1) 零概率事件与任何事件都
13、是相互独立的.,2) 由对称性, A,B相互独立, 必有B, A 相互独立.,如果对于任意的k(kn), 任意的1i1i2ikn 都有: P(Ai1Ai2Aik)=P(Ai1)P(Ai2)P(Aik), 则称这 n个事件相互独立.,41,3. 定理: 设A,B是两事件,且P(A)0,则A,B相互独立 的充要条件是: P(B|A)=P(B).,有关结论:,42,三. 利用独立性计算古典概率:,1. 计算相互独立的积事件的概率： 若已知n个事件A1, A2, , An相互独立，则 P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An),2. 计算相互独立事件的和的概率： 若已知n个事件A1, A2,
14、, An相互独立，则,例1. 两架飞机依次轮番对同一目标投弹, 每次投下一颗炸弹, 每架飞机各带3颗炸弹, 第1架扔一颗炸弹击中目标的概率为0.3, 第2架的概率为0.4, 求炸弹未完全耗尽而击中目标的概率。,43,44,45,第一章 习题课,一、主要内容:,样本空间,随机事件,概率定义及性质,古典概型,条件概率,全概率公式,Bayes公式,事件的独立性,46,二、课堂练习:,1.选择题: (1)当事件A与B同时发生,事件C必发生,则有( ) (A) P(C)=P(AB) (B) P(C)=P(AB) (C) P(C)P(A)+P(B)-1 (D) P(C)P(A)+P(B)-1,47,2.
15、填空题：,(2) 设两个事件A, B相互独立, A, B都不发生的概率 为1/9, A发生而B不发生的概率与B发生而A不发生 的概率相等, 则P(A)=_.,3.计算题：,48,设甲箱中有a只白球，b只黑球，乙箱中有c只白球，d只黑球，从甲箱中任取一球放入乙箱中，然后从乙箱中任取一球，试求从乙箱中取得白球的概率。 有n个不同(可辨别)的球，每个球都以同样的概率1/N被投到N (nN)个箱子中的每一箱中，试求下列事件的概率： (1) 某指定的n个箱子中各一球(A) (2) 恰有n个箱，其中各有一球(B) (3) 某指定箱中恰有m(m n)个球(C) (4) 恰有k个箱子，其中有m个球(D). 3
16、. 在一个盒子中混有新旧两种乒乓球，新的有白球40个，红球30个，旧球中有白球20个，红球10个，在这个盒子中任取一球，发现是新的，求这个球是白球的概率.,49,第二章 随机变量及其分布,2.1 随机变量,即X(e)是定义在样本空间S上的一个实函数,对于不同的试验结果e, X取不同的值, 由于试验前不能预料e的取值, 因而X取1还是取0也是随机的, 故称X(e)为随机变量。,50,1. 定义: 设随机试验E的样本空间是S=e, 若对于每一个 eS, 有一个实数X(e)与之对应, 即X(e)是定义在S上的单 值实函数，称为随机变量。简记为r.v.,注,(1) 可用随机变量X描述事件.,反过来, X的一个变化范围表示一个随机事件: “2X5”表示事件“掷出的点数大于2且小于5”.,51,2. 分类：,(2) 随机变量随着试验的结果而取不同的值,在试验之前不能确切知道它取什么值, 但是随机变量的取值有一定的统计规律性概率分布.,(1) 离散型随机变量
