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1、1,小结 思考题 作业,一些应用,6.3 泰勒(Taylor)公式,泰勒公式的建立,第6章 微分中值定理与导数的应用,皮亚诺型余项泰勒公式,拉格朗日型余项泰勒公式,泰勒(Taylor) (英) 1685-1731,2,简单的,多项式函数,特点:,(1)易计算函数值;,(2)导数与积分仍为多项式;,(3)多项式由它的系数完全确定,又由它在一点的函数值及导数值确定.,而其系数,?,用怎样的多项式去逼近给定的函数,误差又如何呢,?,一、泰勒公式的建立,熟悉的函数来近似代替复杂函数., 应用,用多项式近似表示函数,理论分析,近似计算,3,一次多项式,在x0附近有,其误差是比 (x x0)高阶的无穷小.
2、,5,需要解决的问题,如何提高精度?,如何估计误差?,问题,(1) 系数怎么定?,(2) 误差(如何估计)表达式是什么?,不足,1. 精确度不高;,2. 误差不能定量的估计.,希望,一次多项式,在x0附近用适当的高次多项式,6,猜想,2. 若有相同的切线,3. 若弯曲方向相同,近似程度越来越好,1. 若在x0点相交,1. n次多项式系数的确定,7,得,假设,同理,代入Pn(x)中得,因为,因为,所以,所以,能满足要求.,8,二、皮亚诺型余项泰勒公式,皮亚诺(Peano,G.(意)1858-1932),定理6.6,若函数f(x)在点x0处有n阶导数, 则有,其中,证,只需证明,即证明,9,只需证
3、明,洛必达法则,导数的定义,于是, 定理得证.,带有皮亚诺型余项,皮亚诺型余项.,称为f (x)在点x0处的n阶局部泰勒公式;,或称为,的泰勒公式.,称为,10,当对余项要求不高时,可用皮亚诺型余项,11,n阶泰勒公式,麦克劳林(Maclaurin,C.(英)1698-1746),泰勒公式化为,称为f (x)的n阶局部麦克劳林公式.,12,解,代入上公式, 得,几个初等函数的麦克劳林公式,例,的n阶带有皮亚诺型余项的,麦克劳林公式.,因为,所以,13,解,例,因为,所以,的n阶带有皮亚诺型余项的,麦克劳林公式.,得,代入公式:,与一个余项Rn (x)之和:,14,其中,n次多项式,(resid
4、ual),余项,三、拉格朗日型余项泰勒公式,定理6.7,导数,15,称为f (x)的,泰勒多项式来逼近函数,下面将证明确实可以用,f (x), 并估计它的误差.,泰勒多项式.,16,分析,即证,也即证,其中,17,证,令,由要求,18,柯西定理,柯西定理,用1次,用2次,19,如此下去,得,可得,即,用n+1次柯西定理,20,拉格朗日型余项,或称为f (x)在点x0处的带有拉格朗日型余项的n 阶,n次近似多项式.,n 阶泰勒公式.,泰勒公式.,21,1.,泰勒公式就是拉格朗日中值公式.,2. 在泰勒公式中,这时的泰勒公式,按x的幂(在零点)展开的泰勒公式;,n阶泰勒公式,带有拉格朗日型余项的麦
5、克劳林公式.,称为,或称为f (x)的,当要研究误差时,可用拉格朗日型余项,22,麦克劳林(Maclaurin)公式,近似公式,误差估计式为,带有拉格朗日型余项,23,解,代入公式:,例,的n阶带有拉格朗日型余项,麦克劳林公式.,因为,所以,得,24,的近似表达公式,有误差估计式,得到,其误差,其误差,25,解,例,因为,所以,的n阶带有拉格朗日型余项,麦克劳林公式.,26,误差为,27,泰勒多项式逼近,28,类似地, 有,29,常用函数的麦克劳林公式,带皮氏余项,带拉氏余项,带皮氏余项,带拉氏余项,30,带皮氏余项,带拉氏余项,带皮氏余项,带拉氏余项,31,带皮氏余项,带拉氏余项,32,解,
6、练习,一阶和三阶泰勒公式及相应的拉格朗日型余项.,f (x)的一阶泰勒公式是,其中,三阶泰勒公式是,33,例,解,用间接展开的方法较简便.,两端同乘x, 得,带拉格朗日型余项的公式展开问题一般,不能用这种方法.,(带皮亚诺型余项).,34,例,解,的带有拉格朗日型余项与,带有皮亚诺型余项的麦克劳林公式, 并计算,用间接展开的方法较简便.,利用泰勒多项式的系数与函数的导数之间的关系,35,例,解,已知x 和误差界, 要求确定项数n,四、一些应用,36,满足要求.,37,计算 的近似值,使其精确到0.005 ,试确定x的适用范围.,近似公式的误差,例,用近似公式,解,已知项数 n 和误差界, 确定
7、公式中 x 的适用范围.,令,解得,即,由给定的近似公式计算的结果能准确到0.005.,38,解,常用函数的泰勒展开求,例,型未定式,39,像这类估值问题常用泰勒公式.,证,例,分析,利用泰勒公式可以证明某些命题及不等式.,带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式,得,(1),(2),将f (0)与f (1)在x0点展开成,40,即,故,41,证明,证,例,42,五、小结,多项式局部逼近.,泰勒(Taylor)公式的一些应用.,泰勒(Taylor)公式的数学思想,熟记常用函数的麦克劳林公式;,43,解,故由于,有,因,显然,思考题1,是x的4阶无穷小.,44,思考题2,考研数学一, 6分,设函数,的某邻域内具有一阶连续,导数,是比h高阶的无穷小,试确定a, b的值.,解,所以,因此当,有,或用罗必达法则做.,45,设函数,的某邻域内具有一阶连续,导数,是比h高阶的无穷小,试确定a, b的值.,解,必有,于是得,例,方法二,又由洛必达法则, 有,故,考研数学一, 6分,46,作业,习题6.3(213页),
