《56反常积分教学提纲》由会员分享，可在线阅读，更多相关《56反常积分教学提纲（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、5.6,-1-,二、瑕积分,常义积分,积分区间,被积函数,推广,一、无穷积分,反常积分,(广义积分),反常积分,是有限的，即,是有限数.,在,上有界.,定义5.2 设,-2-,则称,一、无穷积分,在,上连续，,为 f (x) 在无穷区间 上的无穷积分。,存在 ,若极限,则称无穷积分,收敛 ，,如果上述极限不存在,就称无穷积分,发散 .,类似地 , 若,则定义,并定义此极限为无穷积分的值,-3-,则定义,( c 为任意取定的常数 ),只要有一个极限不存在 , 就称,发散 .,无穷限的反常积分也称为第一类反常积分.,并非不定型 ,说明: 上述定义中若出现,它表明该反常积分发散 .,定义5.3 设,
2、在,上连续，,例1 计算反常积分,-5-,解,思考:,分析:,原积分发散 !,注意: 对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用,“偶倍 奇零” 的性质,否则会出现错误 .,例2 证明第一类 p 积分,-6-,证 当 p =1 时有,当 p 1 时有,当 p 1 时收敛 ; p1,时发散 .,因此, 当 p 1 时, 反常积分收敛 , 其值为,当 p1 时, 反常积分发散 .,-7-,解,解 原式,例3 计算反常积分,-8-,二、瑕积分,无穷间断,点称为瑕点，具体定义如下.,（即有无穷间断点）时, 这种积分称为瑕积分，,-9-,定义5.4 设,邻域内无界, 即,存在 ,若极限,则称瑕点为 a 的
3、瑕积分,收敛或存在，记作,如果极限不存在,就称瑕积分,发散 .,二、瑕积分,-10-,类似地 , 若,邻域内无界, 即,存在 ,若极限,则称瑕点为 b 的瑕积分,收敛或存在，记作,如果极限不存在,就称瑕积分,发散 .,-11-,定义5.5,且,则当两个瑕积分,都收敛时，称瑕积分,收敛，记作,否则瑕积分,发散 .,若被积函数在积分区间上仅存在有限个第,说明:,一类间断点,而不是反常积分.,则本质上是常义积分,注意: 若瑕点,-12-,计算表达式 :,则也有类似牛 莱公式的,若 b 为瑕点, 则,若 a 为瑕点, 则,若 a , b 都为瑕点, 则,则,可相消吗?,引入记号,例4 计算反常积分,-
4、13-,解 显然瑕点为 a , 所以,原式,例5 讨论反常积分,的收敛性 .,解,所以反常积分,发散 .,例6 证明瑕积分,-14-,证 当 p= 1 时,当 p 1 时收敛 ; p1,时发散 .,当 p1 时,所以当 q 1 时, 该广义积分收敛 , 其值为,当 q 1 时, 该广义积分发散 .,-15-,例7,解,求,的无穷间断点,故 I 为瑕,积分.,三、 函数,-16-,定义5.6,可以证明这个特殊函数在,时收敛 ., 函数,性质1,函数的性质:,事实上，,-17-,递推公式,证,(分部积分),性质3,性质2,-18-,应用中常见的积分,内容小结,-19-,1. 反常积分,积分区间无限,被积函数无界,常义积分的极限,（注意：不能忽略内部的瑕点）,2. 函数的定义及其性质.,
