数学建模概率论4讲义教材

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1、第六章 参数估计,6.1 点估计的几种方法 6.2 点估计的评价标准 6.3 最小方差无偏估计 6.4 贝叶斯估计 6.5 区间估计,一般常用 表示参数，参数 所有可能取值组成的集合称为参数空间，常用表示。参数估计问题就是根据样本对上述各种未知参数作出估计。 参数估计的形式有两种：点估计与区间估计。,设 x1, x2, xn 是来自总体 X 的一个样本，我们用一个统计量 的取值作为 的估计值， 称为 的点估计（量），简称估计。在这里如何构造统计量 并没有明确的规定，只要它满足一定的合理性即可。这就涉及到两个问题：,其一 是如何给出估计，即估计的方法问题； 其二 是如何对不同的估计进行评价，即估

2、 计的好坏判断标准。,例6.1.1 对某型号的20辆汽车记录其每加仑汽油的行驶里程(km)，观测数据如下： 29.8 27.6 28.3 27.9 30.1 28.7 29.9 28.0 27.9 28.7 28.4 27.2 29.5 28.5 28.0 30.0 29.1 29.8 29.6 26.9 经计算有 由此给出总体均值、方差和中位数的估计分别为: 28.695, 0.9185 和 28.6。 矩法估计的实质是用经验分布函数去替换总体分布，其理论基础是格里纹科定理。,二、概率函数P(x,)已知时未知参数的矩法估计,设总体具有已知的概率函数 P(x, 1, , k)， x1, x2

3、, , xn 是样本，假定总体的k阶原点矩k存在，若1, , k 能够表示成 1, , k 的函数j = j(1, ,k)，则可给出诸j 的矩法估计为 其中,例6.1.2 设总体服从指数分布，由于EX=1/， 即 =1/ EX，故 的矩法估计为 另外，由于Var(X)=1/2，其反函数为 因此，从替换原理来看，的矩法估计也可取为 s 为样本标准差。这说明矩估计可能是不唯一的，这是矩法估计的一个缺点，此时通常应该尽量采用低阶矩给出未知参数的估计。,例6.1.3 x1, x2, , xn是来自(a,b)上的均匀分布U(a,b)的样本，a与b均是未知参数，这里k=2，由于 不难推出 由此即可得到a,

4、 b的矩估计：,6.1.2 极(最)大似然估计,定义6.1.1 设总体的概率函数为P(x; )，是参数 可能取值的参数空间，x1, x2 , , xn 是样本，将样本的联合概率函数看成 的函数，用L( ; x1, x2, , xn) 表示，简记为L( )， 称为样本的似然函数。,如果某统计量 满足 则称 是 的极(最)大似然估计，简记为MLE（Maximum Likelihood Estimate）。,人们通常更习惯于由对数似然函数lnL( )出发寻找 的极大似然估计。 当L( )是可微函数时，求导是求极大似然估计最常用的方法，对lnL( )求导更加简单些。,例6.1.6 设一个试验有三种可能

5、结果，其发生概率分别为 现做了n次试验，观测到三种结果发生的次数分别为 n1 , n2 , n3 (n1+ n2+ n3 = n)，则似然函数为 其对数似然函数为,将之关于 求导，并令其为0得到似然方程 解之，得 由于 所以 是极大值点。,极大似然估计有一个简单而有用的性质：如果 是 的极大似然估计，则对任一函数 g( )，其极大似然估计为 。该性质称为极大似然估计的不变性，从而使一些复杂结构的参数的极大似然估计的获得变得容易了。,6.5 区间估计,6.5.1 区间估计的概念,定义6.5.1 设 是总体的一个参数，其参数空间为，x1, x2 , , xn是来自该总体的样本，对给定的一个 (0

6、1)，若有两个统计量 和 ，若对任意的 ，有 （6.5.1）,则称随机区间 为 的置信水平为1- 的置信区间，或简称 是 的1-置信区间. 和 分别称为 的（双侧）置信下限和置信上限.,这里置信水平1- 的含义是指在大量使用该置信区间时，至少有100(1-)%的区间含有 。,例6.5.1 设x1, x2 , , x10是来自N(, 2)的样本，则 的置信水平为1- 的置信区间为 其中， ,s 分别为样本均值和样本标准差。这个置信区间的由来将在6.5.3节中说明，这里用它来说明置信区间的含义。 若取 =0.10，则t0.95(9)=1.8331，上式化为,现假定 =15, 2 =4，则我们可以用

7、随机模拟方法由N(15,4)产生一个容量为10的样本，如下即是这样一个样本：14.85 13.01 13.50 14.93 16.97 13.80 17.9533 13.37 16.29 12.38 由该样本可以算得 从而得到 的一个区间估计为 该区间包含 的真值-15。现重复这样的方法 100次，可以得到100个样本，也就得到100个区 间，我们将这100个区间画在图6.5.1上。,由图6.5.1可以看出，这100个区间中有91个包含参数真值15，另外9个不包含参数真值。,图6.5.1 的置信水平为0.90的置信区间,取=0.50，我们也可以给出100个这样的区间，见图6.5.2。可以看出，

8、这100个区间中有50个包含参数真值15，另外50个不包含参数真值。,图6.5.2 的置信水平为0.50的置信区间,定义6.5.2 沿用定义6.5.1的记号，如对给定的 (0 1)，对任意的，有 （6.5.2） 称 为 的1- 同等置信区间。 同等置信区间是把给定的置信水平1- 用足了。常在总体为连续分布场合下可以实现。,定义 若对给定的 (0 1)和任意的，有 ，则称 为 的置信水平为1- 的（单侧）置信下限。假如等号对一切成立，则称 为 的1- 同等置信下限。若对给定的 (0 1)和任意的，有 ,则称 为 的置信水平为1- 的（单侧）置信上限。若等号对一切成立，则称 为1- 同等置信上限。

9、 单侧置信限是置信区间的特殊情形。因此，寻求置信区间的方法可以用来寻找单侧置信限。,6.5.3 单个正态总体参数的置信区间,一、 已知时 的置信区间 由此给出了的同等置信区间为 ， 。 （6.5.8） 这是一个以 为中心，半径为 的对称 区间，常将之表示为 。,例6.5.3 用天平秤某物体的重量9次，得平均值为 （克），已知天平秤量结果为正态分布，其标准差为0.1克。试求该物体重量的0.95置信区间。 解：此处1- =0.95， =0.05，查表知u0.975=1.96，于是该物体重量 的0.95置信区间为 ， 从而该物体重量的0.95置信区间为 15.3347，15.4653。,例6.5.4

10、 设总体为正态分布N(,1)，为得到 的置信水平为0.95的置信区间长度不超过1.2，样本容量应为多大？ 解：由题设条件知 的0.95置信区间为 其区间长度为 ，它仅依赖于样本容量n而与样本具体取值无关。现要求 ，立即有n(2/1.2)2u21-/2.现1- = 0.95，故u1-/2=1.96，从而n(5/3)2 1.962 = 10.6711。即样本容量至少为11时才能使得 的置信水平为0.95的置信区间长度不超过1.2。,二、 2未知时 的置信区间, 的1-置信区间为 此处 是 2的无偏估计。,例6.5.5 假设轮胎的寿命服从正态分布。为估计某种轮胎的平均寿命，现随机地抽12只轮胎试用，

11、测得它们的寿命（单位：万公里）如下： 4.68 4.85 4.32 4.85 4.61 5.02 5.20 4.60 4.58 4.72 4.38 4.70 此处正态总体标准差未知，可使用t分布求均值的置信区间。经计算有 =4.7092，s2=0.0615。取 =0.05，查表知t0.975(11)=2.2010，于是平均寿命的0.95置信区间为（单位：万公里）,在实际问题中，由于轮胎的寿命越长越好，因此可以只求平均寿命的置信下限，也即构造单边的置信下限。由于 由不等式变形可知 的1-置信下限为 将t0.95(11)=1.7959代入计算可得平均寿命 的0.95置信下限为4.5806（万公里）

12、。,三、 2的置信区间, 2的1-置信区间为,例6.5.6 某厂生产的零件重量服从正态分布N(, 2)，现从该厂生产的零件中抽取9个，测得其重量为（单位：克） 45.3 45.4 45.1 45.3 45.5 45.7 45.4 45.3 45.6 试求总体标准差 的0.95置信区间。 解：由数据可算得 s2 =0.0325，(n-1)s2=80325=0.26. 查表知 2 0.025(8) =2.1797，20.975(8)=17.5345， 代入可得 2的0.95置信区间为 从而 的0.95置信区间为: 0.1218，0.3454。,在样本容量充分大时，可以用渐近分布来构造近似的置信区间

13、。一个典型的例子是关于比例p 的置信区间。,6.5.4 大样本置信区间,设x1, xn是来自b(1, p)的样本, 得到p的置信区间为 其中记= u21-/2，实用中通常略去/n项，于是可将置信区间近似为,例6.5.7 对某事件A作120次观察，A发生36次。试给出事件A发生概率p 的0.95置信区间。 解：此处n=120， =36/120=0.3 而u0.975=1.96，于是p的0.95（双侧）置信下限和上限分别为 故所求的置信区间为 0.218，0.382,例6.5.8 某传媒公司欲调查电视台某综艺节目收视率p，为使得 p 的1-置信区间长度不超过d0，问应调查多少用户？,解：这是关于二

14、点分布比例p的置信区间问题，由（6.5.11）知，1-的置信区间长度为 这是一个随机变量，但由于 ，所以对任意的观测值有 。这也就是说p的1-的置信区间长度不会超过 。现要求p的的置信区间长度不超过d0，只需要 即可，从而 （6.5.12）,这是一类常见的寻求样本量的问题。比如，若取d0=0.04， =0.05，则 。 这表明，要使综艺节目收视率p的0.95置信区间的长度不超过0.04，则需要对2401个用户作调查。,6.5.5 两个正态总体下的置信区间,设x1 , , xm是来自N(1, 12)的样本，y1 , , yn是来自N(2, 22)的样本，且两个样本相互独立。 与 分别是它们的样本

15、均值， 和 分别是它们的样本方差。下面讨论两个均值差和两个方差比的置信区间。,一、1 -2的置信区间,1、 12和 22已知时的两样本u区间 2、 12 = 22 = 2未知时的两样本t区间,3、 22 / 12=已知时的两样本t区间,4、当m和n都很大时的近似置信区间 5、一般情况下的近似置信区间 其中,例6.5.9 为比较两个小麦品种的产量，选择18块条件相似的试验田，采用相同的耕作方法作试验，结果播种甲品种的8块试验田的亩产量和播种乙品种的10块试验田的亩产量（单位：千克/亩）分别为： 甲品种 628 583 510 554 612 523 530 615 乙品种 535 433 398 470 567 480 498 560 503 426 假定亩产量均服从正态分布，试求这两个品种平均亩产量差的置信区间.( =0.05）。,解：以x1 , , x8记甲品种的亩产量，y1 , , y10记乙品种的亩产量，由样本数据可计算得到 =569.3750，sx2 =2140.5536，m=8 =487.0000，sy2=3256.2222， n=10 下面分两种情况讨论。,(1) 若已知两个品种亩产量的标准差相同，则可采用两样本t区间。此处 故1 -2的0.95置信区间为,(2) 若两个品种亩产量的方差不等，则可采