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1、优化建模与LINDO/LINGO软件 第 8 章目标规划模型,内容提要,8.1 线性规划与目标规划 8.2 目标规划的数学模型 8.3 目标规划模型的实例 8.4 数据包络分析,8.1 线性规划与目标规划,线性规划通常考虑一个目标函数(问题简单),目标规划考虑多个目标函数(问题复杂),线性规划,目标规划,某企业生产甲、乙两种产品，需要用到A,B,C三种设备，关于产品的盈利与使用设备的工时及限制如下表所示。,例8.1 生产安排问题,问该企业应如何安排生产，使得在计划期内总利润最大？,1. 线性规划建模,该例8.1是一个线性规划问题，直接考虑它的线性规划模型,设甲、乙产品的产量分别为x1, x2,
2、建立线性规划模型：,用Lindo或Lingo软件求解,得到最优解,2. 目标规划建模,在上例8.1中，企业的经营目标不仅要考虑利润，还需要考虑多个方面，因此增加下列因素(目标)：,力求使利润指标不低于1500元,考虑到市场需求,甲、乙两种产品的产量比应尽量保持1:2,设备A为贵重设备，严格禁止超时使用,设备C可以适当加班，但要控制；设备B既要求充分利用，又尽可能不加班，在重要性上，设备B是设备C的3倍,从上述问题可以看出，仅用线性规划方法是不够的，需要借助于目标规划的方法进行建模求解,某汽车销售公司委托一个广告公司在电视上为其做广告，汽车销售公司提出三个目标：,例8.2 汽车广告费问题,广告公
3、司必须决定购买两种类型的电视广告展播各多少分钟？,第一个目标，至少有40万高收入的男性公民(记为HIM)看到这个广告,第二个目标，至少有60万一般收入的公民(记为LIP)看到这个广告,第三个目标，至少有35万高收入的女性公民(记为HIW)看到这个广告,广告公司可以从电视台购买两种类型的广告展播：足球赛中插播广告和电视系列剧插播广告。广告公司最多花费60万元的电视广告费。每一类广告展播每一分钟的花费及潜在的观众人数如下表所示,3.尝试线性规划建模,对于例8.2考虑建立线性规划模型,设x1, x2分别是足球赛和电视系列剧中插播的分钟数，按照要求，可以列出相应的线性规划模型,用Lindo或Lingo
4、软件求解,会发现该问题不可行。,4. 线性规划建模局限性,线性规划要求所有求解的问题必须满足全部的约束，而实际问题中并非所有约束都需要严格的满足；,线性规划只能处理单目标的优化问题，而对一些次目标只能转化为约束处理。但在实际问题中，目标和约束好似可以相互转化的，处理时不一定要严格区分；,线性规划在处理问题时，将各个约束(也可看作目标)的地位看成同等重要，而在实际问题中，各个目标的重要性即有层次上的差别，也有在同一层次上不同权重的差别,线性规划寻求最优解，而许多实际问题只需要找到满意解就可以了。,8. 2 目标规划的数学模型,为了克服线性规划的局限性,目标规划采用如下手段：,1. 设置偏差变量;
5、 2. 统一处理目标与约束; 3. 目标的优先级与权系数。,目标规划的基本概念,1. 设置偏差变量,用偏差变量(Deviational variables)来表示实际值与目标值 之间的差异，令 - 超出目标的差值，称为正偏差变量 - 未达到目标的差值，称为负偏差变量 其中 与 至少有一个为0,约定如下： 当实际值超过目标值时，有 当实际值未达到目标值时，有 当实际值与目标值一致时，有,2. 统一处理目标与约束,在目标规划中，约束可分两类，一类是对资源有严格限制 的，称为刚性约束(Hard Constraint)；例如在用目标规划 求解例8.1中设备A禁止超时使用，则有刚性约束,另一类是可以不严
6、格限制的，连同原线性规划的目标,构 成柔性约束(Soft Constraint).例如在求解例8.1中，我们 希望利润不低于1500元，则目标可表示为,求解例8.1中甲、乙两种产品 的产量尽量保持1:2的比例， 则目标可表示为,设备C可以适当加班，但要控制， 则目标可表示为,设备B既要求充分利用，又尽可能 不加班，则目标可表示为,从上面的分析可以看到： 如果希望不等式保持大于等于，则极小化负偏差； 如果希望不等式保持小于等于，则极小化正偏差； 如果希望保持等式，则同时极小化正、负偏差,3.目标的优先级与权系数,在目标规划模型中，目标的优先分为两个层次，第一个层次是目标分成不同的优先级，在计算目
7、标规划时，必须先优化高优先级的目标，然后再优化低优先级的目标。通常以P1,P2,.表示不同的因子,并规定PkPk+1，第二个层次是目标处于同一优先级，但两个目标的权重不一样，因此两目标同时优化，用权系数的大小来表示目标重要性的差别。,解在例.1中设备A是刚性约束，其于是柔性约束首先，最重要的指标是企业的利润，将它的优先级列为第一级；其次，甲、乙两种产品的产量保持1:2的比例，列为第二级；再次，设备 B和C的工作时间要有所控制，列为第三级，设备B的重要性是设备C的三倍，因此它们的权重不一样。由此可以得到相应的目标规划模型。,目标规划模型的建立,例8.3 用目标规划方法求解例8. 1,目标规划的一
8、般模型,目标规划模型的一般数学表达式为：,求解目标规划的序贯式算法,其算法是根据优先级的先后次序，将目标规划问题分解成 一系列的单目标规划问题，然后再依次求解。 算法8.1 对于k=1,2,q,求解单目标问题,解因为每个单目标问题都是一个线性规划问题， 因此可以采用LINDO软件进行求解。按照算法8.1和 例8.3目标规划模型编写单个的线性规划求解程序。 求第一级目标企业利润最大，列出LINDO程序。 程序名：exam0804a.ltx,例8.4 用算法8.1求解例8. 3,目标,解因求出的目标函数的最优值为，即第一级偏差为 .再求第二级目标，列出其LINDO程序。 程序名：exam0804b
9、.ltx,例8.4 用算法8.1求解例8. 3,修改的目标,增加的约束,解因求出的目标函数的最优值仍为，即第二级偏差 仍为. 继续求第三级目标，列出其LINDO程序。 程序名：exam0804c.ltx,例8.4 用算法8.1求解例8. 3,求出的目标函数的最优值为29,即第三级偏差为29,分 析结果, x1为2, x2为4, DPLUS1 为100,因此目标规划的 最优解为x *=(2,4),最优利润为1600.,修改的目标,增加的约束,解按照算法8.1和例8.3目标规划模型编写LINGO求解程 序，列出其LINGO程序, 程序名：exam0805.lg4,例8.5 (继例8.4) 用算法8
10、.1求解例8. 3的LINGO程序,程序运行说明，分三次求解： 在做第一级目标计算时，P(1),P(2)和P(3)分别输入1,0和0，Goal(1)和Goal(2)输入两个较大的数，表示这两项约束不起作用； 在做第二级目标计算时，P(1),P(2)和P(3)分别输入0,1和0，由于第一级的偏差为0，因此Goal(1)为0，Goal(2)输入一个较大的数； 在做第三级计算时，P(1),P(2)和P(3)分别输入0,0和1，由于第一级、第二级的偏差为0，因此Goal(1)和Goal(2)的输入值也为0。 结果可以参见程序演示！,由于在例8.4中虽然给出了目标规划问题的最优解,但需要连续编几个LIN
11、DO程序,在使用时不方便,下面使用LINGO软件,编写一个通用程序。,8. 3 目标规划模型的实例,前面介绍了目标规划的求解方法，接着再介绍几个目标规划模型的实例。,某音像商店有5名全职售货员和4名兼职售货员。全职售货员每月工作160小时，兼职售货员每月工作80小时。根据过去的工作记录，全职售货员每小时销售CD25张，平均每小时工资15元，加班工资每小时22.5元。兼职售货员每小时销售CD10张，平均每小时工资10元，加班工资每小时10元。现在预测下月CD销售量为27500张，商店每周开门营业6天，所以可能要加班。另每出售一张CD盈利1.5元。,例8.6,该商店经理认为，保持稳定的就业水平加上
12、必要的加班，比不加班但就业水平不稳定要好。但全职售货员如果加班过多，就会因疲劳过度而造成效率下降，因此不允许每月加班超过100小时。建立相应的目标规划模型，并运用LINGO软件进行求解。,解 首先建立目标约束的优先级。 P1：下月的CD销售量达到27500张； P2： 限制全职售货员加班时间不超过100小时； P3： 保持全体售货员充分就业，因为充分工作是良 好劳资关系的重要因素，但对全职售货员要比 兼职售货员加倍优先考虑； P4： 尽量减少加班时间，但对两种售货员区别对 待，优先权因子由他们对利润的贡献而定。,例8.6,例8.6,第二，建立目标约束。 (1) 销售目标约束。设 x1 ：全体全
13、职售货员下月的工作时间； x2 ：全体兼职售货员下月的工作时间； ：达不到销售目标的偏差； ：超过销售目标的偏差。 希望下月的销售量超过27500张CD片，因此销售目标为,例8.6,第二，建立目标约束。 (2) 正常工作时间约束，设 ：全体全职售货员下月的停工时间； ：全体全职售货员下月的加班时间； ：全体兼职售货员下月的停工时间； ：全体兼职售货员下月的加班时间。 由于希望保持全体售货员充分就业，同时加倍优先考虑全职售货员,因此工作目标约束为,例8.6,第二，建立目标约束。 (3) 正常工作时间约束，设 ：全体全职售货员下月加班不足100小时的偏差； ：全体全职售货员下月加班超过100小时的
14、偏差。 限制全职售货员加班时间不超过100小时，将加班约束看成正常上班约束，不同的是右端加上100小时，因此加班目标约束为,例8.6,第二，建立目标约束。 接上(3) 另外，全职售货员加班1小时，商店得到的利润 为15元(25*1.5-22.5=15)，兼职售货员加班1小时，商店得 到的利润为5元(10*1.5-10=5)，因此加班1小时全职售货员 获得的利润是兼职售货员的3倍，故权因子之比为,所以，另一个加班目标约束为：,例8.6,第三，按目标的优先级，写出相应的目标规划模型：,第四，写出相应的LINGO程序，程序名：exam0806.lg4.,程序运行说明，分四次求解： 在做第一级目标计算
15、时，P(1),P(2),P(3)和P(4)分别输入1,0,0和0，Goal(1), Goal(2)和Goal(3)输入两个较大的数，表示这两项约束不起作用； 在做第二级目标计算时，P(1),P(2),P(3)和P(4)分别输入0,1,0和0，由于第一级的偏差为0，因此Goal(1)为0,Goal(2)和Goal(3)输入一个较大的数； 在做第三级计算时，P(1),P(2),P(3)和P(4)分别输入0,0,1和0，由于第一级,第二级的偏差为0，因此Goal(1)和Goal(2)的输入值也为0， Goal(3)输入一个较大的数； 在做第四级计算时，P(1),P(2),P(3)和P(4)分别输入0
16、,0,0和1，由于第一级,第二级和第三级的偏差为0,因此Goal(1),Goal(2)和Goal(3)输入值也为0； 全职售货员总工作时间为900小时(加班100小时)，兼职售货员总工作 时间500小时(加班180小时)，下月共销售CD27500张，商店共获得利润 27500*1.5-800*15-100*22.5-500*10=22000(元) 其结果可以参见程序演示！,某计算机公司生产三种型号的笔记本电脑A,B,C。这 三种笔记本电脑需要在复杂的装配线上生产，生产 1台A,B,C型号的笔记本电脑分别需要5,8,12小时。 公司装配线正常的生产时间是每月1700小时。公司 营业部门估计A,B,C三种笔记本电脑的利润分别是 每台1000,1440,2520元，而公司预测这个月生产的笔 记本电脑能够全部售出。,例8.7,例8.7,公司经理考虑以下目标： 第一目标：充分利用正常的生产能力，避免开工不足； 第二目标：优先满足老客户的需求，A,B,C三种型号的电脑 5
