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1、第六第六+ +节节 定积分的换元法定积分的换元法 和分部积分法和分部积分法定定积分的分的换元法元法小小结 思考思考题 作作业定定积分的分部分的分部积分法分法definite integral by partsdefinite integral by substitution第五章第五章 定积分定积分 上一上一节的牛的牛莱公式将定莱公式将定积分的分的计算算的形式的形式,而不定而不定积分可用分可用换元法元法和分部和分部积分法求分法求积 , 这样定定积分的分的计算算问题已已经比比较完完满地解决了地解决了.归结为求不定求不定积分分,如果将如果将换元法和分部元法和分部积分法写成定分法写成定积分分常可使得
2、常可使得计算更算更简单.一、定积分的换元法一、定积分的换元法definite integral by substitution例1 计算 =还有别的方法吗?几何意义!定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法定理定理1则有有定定积分分换元公式元公式假假设函数函数函数函数满足条件足条件:(1) (2) 具有具有连续导数数,且其且其值域域定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法证证故有故有那么那么由于由于N-L公式公式N-L公式公式那么那么所以存在原函数所以存在原函数原函数原函数,定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法注注与不定积分的换元法类似,有=(1) 换元
3、一定要换限,上限对应上限,下限对应下限(不一定 ).(2) 求出的原函数后,不用将代回,直接代入新的积分限即可.定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法(3) 换元公式也可反过来用.=满足定理条件(4) 作的作的变换一定要一定要满足定理的条件足定理的条件: 有连续的导数定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法例2 计算定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法例例3 3 解解 在用在用“凑微分的方法凑微分的方法时, 不明不明显地写出地写出下限就不要下限就不要变.定定积分的上、分的上、新的新的变量量 t ,注注定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法
4、或或定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法注注作换元时,一定要满足定理的条件:有连续导数例4 =从而? 几个关于奇、偶函数及周期函数的几个关于奇、偶函数及周期函数的定定积分的例子分的例子. 换元积分换元积分例例5 5 由被由被积函数的函数的变化和化和积分区分区间变化来确定化来确定变换.通常通常还可以可以证明一些定明一些定积分等式分等式,(2) 当 为偶函数时,(3) 当 为奇函数时,定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法留意: 上面的结论可用于简化对称区间上连续奇,偶函数的定积分.这是定积分计算的一种技巧.例6 计算例7 计算定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法
5、和分部积分法证 (1)三角函数的定三角函数的定积分公式分公式例例8 8 由此由此计算算设证毕.化被积函数相同定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法设证由此计算由此计算另证: 要证化为对称区间上的奇函数的积分.定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法阐明明:虽然然但由于它没有但由于它没有初等原函数初等原函数,故此故此积分无法直接用分无法直接用N-L公式求得公式求得.定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法周期函数的定周期函数的定积分公式分公式这个公式就是个公式就是说：周期函数在任何周期函数在任何长为一周期的
6、一周期的区区间上的定上的定积分都相等分都相等.(留留给同学同学证)定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法推论设是以T为周期的连续函数，则对任意的自然数n，有定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法例例9 9 解解 法一法一定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法法二法二即即定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法例10 计算定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法定定积分的分部分的分部积分公式分公式定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法设有有连续的的导数数,那么那么defin
7、ite integral by parts定理定理2由不定由不定积分的分部分的分部积分法分法及及N-L公式公式.例11 计算例12 证明：假设上连续，那么定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法例例13 解解无法直接求出无法直接求出所以所以由于由于没有初等原函数没有初等原函数,定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法分析分析被被积函数中含有函数中含有“积分上限的函数分上限的函数”,用分部用分部积分法做分法做.选择积分上限的函数分上限的函数为定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法注注今后也可将原今后也可将原积分化分化为二重二重积分分计算算.例例14 14 证
8、明定积分公证明定积分公式式证设n为正偶数正偶数n为大于大于1的正奇数的正奇数 J.Wallis公式公式十七世纪的英国数学家十七世纪的英国数学家 John Wallis 给出给出.定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法积分积分 关于下标的递推公式关于下标的递推公式直到下直到下标减到减到0或或1为止止由于由于定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法所以所以,当当n为正偶数正偶数时,当当n为大于大于1的正奇数的正奇数时,定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法例例15 15 为正偶数为正偶数为大于为大于1的正奇数的正奇数上公式在上公式在计算其它算其它积分分时可以
9、直接引用可以直接引用.注注定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法例16 计算计算下列定积分。定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法定定积分的分部分的分部积分公式分公式定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法三、小结三、小结定定积分的分的换元公式元公式奇、偶函数在奇、偶函数在对称区称区间上的定上的定积分性分性质三角函数的定三角函数的定积分公式分公式周期函数的定周期函数的定积分公式分公式思考题思考题1 试检查下面运算是否正确试检查下面运算是否正确? 如不正确如不正确,定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法 希指出原因希指出原因.解答解答留意留意必定大于零必定大于零.上述运算的上述运算的问题在于引在于引进的的变换不不满足足换元法元法则的前提条件的前提条件.思考题思考题2解答解答定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法作业作业习题习题4.4 (2034.4 (203页页) ) (A)6.(12) (B) 3.(12) 定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法(A)3.(8) (13) (14) 4.(8) (B)2.(5)(8) 4. 5. 习题习题4.5 (2104.5 (210页页) )
