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1、一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系,第二节 微积分基本定理,积分的基本原理：微积分基本定理，由艾萨克牛顿和戈特弗里德威廉莱布尼茨在十七世纪分别独自确立。微积分基本定理将微分和积分联系在一起，这样，通过找出一个函数的原函数，就可以方便地计算它在一个区间上的积分。积分和导数已成为高等数学中最基本的工具，并在自然科学和工程学中得到广泛运用。 积分的一个严格的数学定义由波恩哈德黎曼给出（参见条目黎曼积分）。黎曼的定义运用了极限的概念，把曲边梯形设想为一系列矩形组合的极限。从十九世纪起，更高级的积分定义逐渐出现，有了对各种积分域上的各种类型的函数的积分。比如说，路径积分是多元函数的积分，积分
2、的区间不再是一条线段（区间a,b），而是一条平面上或空间中的曲线段；在面积积分中，曲线被三维空间中的一个曲面代替。对微分形式的积分是微分几何中的基本概念。 对积分概念的推广来自于物理学的需要，并体现在许多重要的物理定律中，尤其是电动力学。现代的积分概念基于抽象代数学，主要是由昂利勒贝格建立的勒贝格积分。,设,记作,一、积分上限函数及其导数,1. 定义,即,2. 定理1,且,证,因为,若,思路：,根据导数的定义，“求增量、算比值、取极限”,积分中值定理,显然,又,注,定理说明了：,若,就是 在 上的一个原函数.,由此,证,3. 定理1,(3),(2),例1,解,例2,解,解,例3,例4,解,证,/,例6,证,证,是单调增加的。,又,证,证,二、牛顿-莱布尼茨（Newton-leibniz）公式,1 定理2,所以Newton-Leibniz 公式也称 微积分基本公式.,解,解,解,注,公式又可记为：,例5 设 , 求 .,解,例6 求,解,由图形可知,解,求,在,内的表达式。,例7,设,解,求,在,内的表达式。,例8,设,
