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1、高等院校非数学类本科数学课程,大 学 数 学,（三）,多元微积分学,第一章,多元函数微分学,第一章 多元函数微分学,本章学习要求： 理解多元函数的概念。熟悉多元函数的“点函数”表示法。 知道二元函数的极限、连续性等概念，以及有界闭域上连续函数的性质。会求二元函数的极限。知道极限的“点函数”表示法。 理解二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分等概念。了解全微分存在的必要条件和充分条件。了解二元函数的偏导数和全微分的几何意义。 熟练掌握二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分的计算方法及复合函数求导法。能熟练求出函数的二阶偏导数。了解求偏导与求导顺序无关的条件。 理解方向导数的概念，并掌握它的计算方
2、法以及它与梯度的关系。,一. 全 导 数,多元函数经复合运算后, 一般仍,是多元函数, 但也可能成为一元函数.,按前面关于多元函数的讨论方法, 复,合函数求导法则的研究可从复合后成,为一元函数的情况开始.,这就是全导数问题.,第五节 多元复合函数微分法,下面看另一种解法.,解,解,你能由此猜想到多元函数的复合函数求导法则吗 ？,+,将例中的情形进行一般性的描述,由此可推至一般的情况,定理(全导数公式),+,全导数公式图示,定理(全导数公式),现在证明定理,从而,证,定理获证,为什么取 绝对值 ?,解,设以下函数满足定理的条件,写出二元和三元函数的全导数公式:,请同学自己写,开始对答案,你做对了
3、吗 ?,二. 链导法则,一般多元复合函数的求导法则,假设所有出现的函数求导运算均成立, 试想一下如何求下面的导数：,将 y 看成常数,将 x 看成常数,分别将 x , y 看成常数, 按全导数公式求导, 而在具体运算时, 实质上又是求多元函数的偏导数.,从上面的作法可以看出, 将复合的多元函,求函数偏导数.,全导数公式求导, 在具体求导过程中实质上是,数中其余的变量看成常数, 对某一个变量运用,定理,m 个 n 元函数,一个 m 元函数,一个 n 元函数,定理,m 个 n 元函数,一个 m 元函数,一个 n 元函数,定理的条件, 则有,设,求,解,设,求,解,设,求,关于 u 的 一元函数,解,自己做,解,设,令,则,解,设函数,均可微, 求,g,g,解,设函数,均可微, 求,g,g,解,三. 全微分形式不变性,记得吗?,一元函数的微分有一个重要性质：,一阶微分形式不变性,还是中间变量, 在可微的条件下, 均有,在可微的条件下, f 的全微分总可写为：,不论 x 和 y 是自变量还是中间变量,详细的推导过程请同学自己看书.,设,不论,是自变量,还是中间变量, 在可微的条件下, 均有,一般说来:,设,应用全微分形式不变性求,解,设,应用全微分形式不变性求,解,
