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1、2009年青岛市初级中学学业水平考试数学试题23题阅卷分析,23、我们在解决数学问题时，经常采用“转化”（或“化归”）的思想方法，把待解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已解决或比较容易解决的问题 譬如，在学习了一元一次方程的解法以后，进一步研究二元一次方程组的解法时，我们通常采用“消元”的方法，把二元一次方程组转化为一元一次方程；再譬如，在学习了三角形内角和定理以后，进一步研究多边形的内角和问题时，我们通常借助添加辅助线，把多边形转化为三角形，从而解决问题 问题提出：如何把一个正方形分割成n（n9）个小正方形？ 为解决上面问题，我们先来研究两种简单的“基本分割法” 基本分割法1：如图，把
2、一个正方形分割成4个小正方形，即在原来1个正方形的基础上增加了3个正方形 基本分割法2：如图，把一个正方形分割成6个小正方形，即在原来1个正方形的基础上增加了5个正方形图图图图图图 问题解决：有了上述两种“基本分割法”后，我们就可以把一个正方形分割成n（n9）个小正方形 （1）把一个正方形分割成9个小正方形 一种方法：如图，把图中的任意1个小正方形按“基本分割法2”进行分割，就可增加5个小正方形，从而分割成459（个）小正方形 另一种方法：如图，把图中的任意1个小正方形按“基本分割法1”进行分割，就可增加3个小正方形，从而分割成639（个）小正方形 （2）把一个正方形分割成10个小正方形 方法
3、：如图，把图中的任意2个小正方形按“基本分割法1”进行分割，就可增加32个小正方形，从而分割成43210（个）小正方形 （3）请你参照上述分割方法，把图给出的正方形分割成11个小正方形（用钢笔或圆珠笔画出草图即可，不用说明分割方法） （4）把一个正方形分割成n（n9）个小正方形 方法：通过“基本分割法1”、“基本分割法2”或其组合把一个正方形分割成9个、10个和11个小正方形，再在此基础上每使用1次“基本分割法1”，就可增加3个小正方形，从而把一个正方形分割成12个、13个、14个小正方形，依次类推，即可把一个正方形分割成n（n9）个小正方形 从上面的分法可以看出，解决问题的关键就是找到两种基
4、本分割法，然后通过这两种基本分割法或其组合把正方形分割成n（n9）个小正方形,类比应用：仿照上面的方法，我们可以把一个正三角形分割成n（n9）个小正三角形 （1）基本分割法1：把一个正三角形分割成4个小正三角形（请你在图a中画出草图）. （2）基本分割法2：把一个正三角形分割成6个小正三角形（请你在图b中画出草图）. （3）分别把图c、图d和图e中的正三角形分割成9个、10个和11个小正三角形（用钢笔或圆珠笔画出草图即可，不用说明分割方法）图a图b图d图c图e （4）请你写出把一个正三角形分割成n（n9）个小正三角形的分割方法（只写出分割方法，不用画图）,一、不同解法及答案汇编,变式6+5型,
5、（一）问题解决（3）：请你参照上述分割方法，把图给出的正方形分割成11个小正方形（用钢笔或圆珠笔画出草图即可，不用说明分割方法）,（二）类比应用：仿照上面的方法，我们可以把一个正三角形分割成n（n9 ）个小三角形 (1)基本分割法1：把图一个正三角形分割成4小正三角形（请你在图a中画出草图） （2）基本分割法2：把图一个正三角形分割成6小正三角形（请你在图b中画出草图） （3）分别把图c、图d和图e中的正三角形分割成9个、10个、11个小正三角形（用钢笔或圆珠笔画出草图即可，不用说明分割方法） （4）请你写出把一个正三角形分割成n (n 9 )个小正三角形的分割方法（只写出分割方法，不用画图）
6、,（2）基本分割法2：,答案,变式,图b,等,或,.5分,（3）把图c中的正三角形分割成9个小正三角形,答案,变式1 4+5型（基本分割法1+基本分割法2）,先构造图a,在所得到的四个正三角形中构造图b或其变式,或,等,6分,变式2 6+3型（基本分割法2+基本分割法1）,先构造图b,在所得到的四个正三角形中构造图a或其变式,或,或,等,把图d中的正三角形分割成10个小正三角形,答案,变式 4+3+3型（基本分割法1+基本分割法1+基本分割法1）,先构造图a或变式,在所得到的四个正三角形中构造图a或其变式,或,或,.7分,把图e中的正三角形分割成11个小正三角形,答案,变式 6+5型（基本分割
7、法2+基本分割法2）,先构造图b,在所得到的四个正三角形中构造图b或其变式,8分,（4）请你写出把一个正三角形分割成n (n 9 )个小正三角形的分割方法（只写出分割方法，不用画图）,答案：通过基本分割法1、基本分割法2或其组合，把一个正三角形分割成9个、10个、11个小正三角形，再在此基础上，每使用一次基本分割法1，就可增加3个小正三角形，从而把一个正三角形分割成12个、13个、14个小正三角形，以此类推，即可把一个正三角形分割成n (n 9 )个小正三角形。,10分,变式：因为采用基本分割法（1），一次可增加3个正三角形，采用基本分割法（2），一次可增加5个正三角形，所以要分割成n (n9
8、 )个小正三角形，就是要增加（n-1）个正三角形，因此当n 9时，能算出n-1的值即可。即n-1=3a+5b，其中a、b的值分别表示使用基本分割法（1）和基本分割法（2）的次数。,二、评分细则说明（本着“给1分有理，扣1分有据”的原则）： 1、对于本大题6个画图题凡是用铅笔答卷不得分，我们阅卷组统一阅卷要求，凡是在题图上铅笔做的，一律用“-”划出，并注明“铅笔作图，此题0分”以示与其他作图问题的区别。 扣分解释： 根据题目要求：“用钢笔或圆珠笔画出草图即可” ，做出上述扣分决定。 由于用铅笔作图后，题目被改动的空间很大，在请示相关领导以后，为给于所有考生公平竞争的机会，做出上述扣分决定。 2、
9、根据评分标准要求：“当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分时，如果这一部以后的解答未改变这道题的内容和难度，可视影响程度决定后面部分的给分，但不得超过后面部分应给分数的一半，如果这一步以后的解答有较严重的错误，就不给分”，的原则，在“类比应用”部分，如果（1）（2）问中，分割法都对，其他画图出错，则第四问中叙述全对的得2分。若（1）（2）分割法有一种做对，第（4）问中叙述全对的得1分。 3、对于用铅笔画图，钢笔或者圆珠笔答卷的试卷，若用铅笔画的图全对，第4问叙述全对的得2分，若第（1）（2）问中分割法中只有一种做对，第（4）问叙述即使全对的只得1分。,4、 在“问题解决”和“类比应用”部
10、分第（3）问，根据题目要求：“仿照上面的方法，我们可以把一个正三角形分割成9、10、11个小正三角形”，考生试卷中对于虽然已分割成相应数额的图形，但没有用分割法（1）或（2）的，即没能发现规律或使用规律推广到一般情况的作图，不得分。 扣分解释： 本题主要是考察学生是否会利用所给材料采用“转化”（或“化归”）的思想方法，把待解决的问题通过某种转化过程，归结到一类已解决或比较容易解决的问题上，因此尽管有的考生也把大正三角形分割成10个或11个小正三角形，但是不能继续推广下去，也就不符合题目的具体要求，做出上述扣分决定。,5、在“问题解决”和“类比应用”部分第（4）问：“请你写出把一个正三角形分割成
11、n (n 9 )个小正三角形的分割方法（只写出分割方法，不用画图）”的扣分解释：在题目的表述中，必须体现两层含义：一是通过基本分割法1、基本分割法2或其组合，把一个正三角形分割成9个、10个、11个小正三角形，无论是采用语言表述还是采用图形表述、列式表述等形式，均可；二是找到可推广应用的方法在上述分割后的三种小正三角形的基础上，每使用一次基本分割法1，就可增加3个小正三角形。表述完整正确的得2分。只体现了第一层含义，第二层含义没有找到或找对“以3个正三角形的增长方式递增”规律的，得1分。,另注：同一图中有铅笔和钢笔作图，只看钢笔答案，铅笔无效，比如： 有的学生画图，如果只看铅笔作的答案是错的，
12、而用钢笔的部分是对的，按对的评分。,三、发现问题及错题库,错误类型一：铅笔答卷（画图部分） 原因分析： 没有审清题目要求 平日作图题习惯用铅笔画图，有一定的思维定势 错误类型二： （1）图形类,（2）文字表述类： 类比应用部分第4问：“请你写出把一个正三角形分割成n (n 9 )个小正三角形的分割方法（只写出分割方法，不用画图）” 学生答案：通过基本分割法1、基本分割法2或其组合，把一个三角形（正方形）分割成4、6、9个、10个、11个小三角形（正方形） ，再在此基础上，每使用一次基本分割法1（或2），就可增加2（4、6）个小三角形（正方形） ，从而把一个三角形（正方形）分割成7、10、12个
13、、13个、14个小三角形（正方形） ，以此类推，即可把一个三（正方形）角形分割成n (n 9 )个小三角形（正方形）。,原因分析： 没有审清题目要求 有一定的思维定势 思维表述不清，逻辑混乱 盲目抄袭材料内容，利用所给材料进行合理分析整合的能力有待加强，创造性思维的能力有待加强。,四、平日教学中的教学建议 1、规范学生的题目表述，教给能学生用数学语言较为严密的表达相应的数学思想。 2、教会学生多用变换的眼光看问题，加强对学生进行图形变换思路的引领。 3、放手给学生更大的思维空间，开拓学生的创造性思维，让学生真正成为课堂的主体，相信学生的思维能力、创造能力等各项学习能力。 4、认真参加各级教研活动，严格执行贯彻教研要求，认真备课和上课。,
