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1、2006 年数学三试题分析、详解和评注一、填空题：16 小题，每小题 4 分，共 24 分. 把答案填在题中横线上.（1）1lim.nn【分析】将其对数恒等化 求解.lneN【详解】 ，(1)1 1llim()lnliiennn 而数列 有界， ，所以 .()li0nli()l0n故 .10limen【评注】对于幂指函数的极限，总是将其化为指数函数后求解.（2）设函数 在 的某邻域内可导,且 ， ，则()fx2efxf2132e.f【分析】利用复合函数求导即可.【详解】由题设知， ，两边对 求导得efxf，2()effx两边再对 求导得 ，又 ，x23()fxff 21f故 .323()eff
2、（3）设函数 可微,且 ,则 在点(1,2)处的全微分u102f24zfxy1,2d4d.zxy【分析】利用二元函数的全微分公式或微分形式不变性计算.【详解】方法一：因为 ，2(1,2) (1,2)484zfxyx，2(1,2) (1,2)fy所以 .1,21,21,2dd4dzzxyxy 方法二：对 微分得24zfxy，22d()d()(4)8d2fxyxy 故 .1,208dzfxy（4）设矩阵 ， 为 2 阶单位矩阵，矩阵 满足 ，则AEB2AE2 .B【分析】 将矩阵方程改写为 的形式，再用方阵相乘的AXXC或 或行列式性质进行计算即可.【详解】 由题设，有()2E于是有 ，而 ，所以
3、 .4BA122B【评注】 本题关键是将其转化为用矩阵乘积形式表示.（5）设随机变量 相互独立，且均服从区间 上的均匀分布，则XY与 0,3.max,1P9【分析】 利用 的独立性及分布计算.与【详解】 由题设知， 具有相同的概率密度XY与.1,3()30xfx 其 他则 max,1,PXYPY1PXY.2120d39x【评注】 本题属几何概型，也可如下计算，如下图：则 .1max,1,9SPXYPY阴（6）设总体 的概率密度为 为总体 的简X12,2x nfeX X单随机样本，其样本方差为 ，则2S.E【分析】利用样本方差的性质 即可.DX【详解】因为 ，()ded02xEXxf22 220
4、0ededxxxxf ，0eedxxx 所以 ，又因 是 的无偏估计量，22DXE2SDX所以 .S【评注】本题利用了样本方差是总体 的方差 的无偏估计量，最好能熟记样本均值和方差的性质和运算.二、选择题：714 小题，每小题 4 分，共 32 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7）设函数 具有二阶导数，且 ， 为自变量 在点 处()yfx()0,()fxfx0x的增量， 分别为 在点 处对应的增量与微分，若 ，则d与 f0 0(A) . (B) .0ydy(C) . (D) . 【分析】 题设条件有明显的几何意义，用图示法求解.【详解】
5、由 知，函数 单()0,()fxf()fx调增加，曲线 凹向，作函数 的图形yy如右图所示，显然当 时，0x，故应选(). d()()yffx【评注】 对于题设条件有明显的几何意义或所给函数图形容易绘出时，图示法是求解此题的首选方法.本题还可用拉格朗日中值定理求解： 0000()(),yfxfxfxx因为 ，所以 单调增加，即 ，又 ，)f()f则 ，即 .0()dyxfydy（8）设函数 在 处连续，且 ，则f 20lim1hf(A) 存在 (B) 存在0ff且 0ff且(C) 存在 (D) 存在 C 且 1且【分析】从 入手计算 ，利用导数的左右导数定义判定20lim1hf(0)f的存在性
6、.(),f【详解】由 知， .又因为 在 处连续，则20li1hf20lihffx0.()m()0xf令 ，则 .2th200()1lilihtfft所以 存在，故本题选（C）.()f【评注】本题联合考查了函数的连续性和左右导数的定义，属基本题型.（9）若级数 收敛，则级数1na(A) 收敛 . （B ） 收敛 .1n 1()na(C) 收敛. (D) 收敛. 1na 112n【分析】 可以通过举反例及级数的性质来判定.【详解】 由 收敛知 收敛，所以级数 收敛，故应选().1na1n 112na或利用排除法：取 ，则可排除选项（） ， （） ；()nn取 ，则可排除选项（）.故（）项正确.1
7、na【评注】 本题主要考查级数收敛的性质和判别法，属基本题型.（10）设非齐次线性微分方程 有两个不同的解 为任意常()yPxQ12(),yxC数，则该方程的通解是（） . （） . 12()Cyx112()()yC（） . （） xyx【分析】 利用一阶线性非齐次微分方程解的结构即可.【详解】由于 是对应齐次线性微分方程 的非零解，所以12()yx()0P它的通解是 ，故原方程的通解为()YC，故应选().1112()yxyCxy【评注】本题属基本题型，考查一阶线性非齐次微分方程解的结构：.*Y其中 是所给一阶线性微分方程的特解， 是对应齐次微分方程的通解.*y Y（11）设 均为可微函数，
8、且 ，已知 是 在约(,)(,)fxy与 (,)0yx0(,)xy(,)fx束条件 下的一个极值点，下列选项正确的是0y(A) 若 ，则 . (,)xf 0(,)yfx(B) 若 ，则 . 0y(C) 若 ，则 . (,)xf0(,)yfx(D) 若 ，则 . 0y【分析】 利用拉格朗日函数 在 （ 是对(,)(,)(,)Fxyfxy0,)xy0应 的参数 的值）取到极值的必要条件即可.0,xy【详解】 作拉格朗日函数 ，并记对应 的参数(,)(,)(,)Fxyfxy0,xy的值为 ，则0， 即 .0(,)xyF000(,)(,)xxyyf消去 ，得 0,0000(,)(,)(,)(,)xyy
9、xfxfy整理得 .（因为 ） ，01, ,(,)x yxy (,)0yx若 ，则 .故选（）.0(,)xfyfx【评注】 本题考查了二元函数极值的必要条件和拉格朗日乘数法.（12）设 均为 维列向量， 为 矩阵，下列选项正确的是12,s nAmn(A) 若 线性相关，则 线性相关. s 12,s(B) 若 线性相关，则 线性无关. 12,s s(C) 若 线性无关，则 线性相关 . s 12,sA(D) 若 线性无关，则 线性无关. 12,s s A 【分析】 本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定.【详解】 记 ，则 .12(,)sB 12(,)sAAB所以，若向量组 线性
10、相关，则 ，从而 ，向量组s )rB()rs也线性相关，故应选().12,sA【评注】 对于向量组的线性相关问题，可用定义，秩，也可转化为齐次线性方程组有无非零解进行讨论.（13）设 为 3 阶矩阵，将 的第 2 行加到第 1 行得 ，再将 的第 1 列的 倍加到第AB2 列得 ，记 ，则C10P（） .（） .1A 1CPA（） .（） .TP T【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得.【详解】由题设可得，1010110,BACBA 而 ，则有 .故应选（）.10P1PA【评注】 （）每一个初等变换都对应一个初等矩阵，并且对矩阵 施行一个初等行A（列）变换，相当于左
11、（右）乘相应的初等矩阵.（）牢记三种初等矩阵的转置和逆矩阵与初等矩阵的关系.（14）设随机变量 服从正态分布 ， 服从正态分布 ，且X21(,)NY2(,)N12PP则必有(A) (B) 1212(C) (D) A 【分析】 利用标准正态分布密度曲线的几何意义可得.【详解】 由题设可得，121XYPP则 ，即 .12212其中 是标准正态分布的分布函数.()x又 是单调不减函数，则 ，即 .1212故选(A).【评注】 对于服从正态分布 的随机变量 ，在考虑它的概率时，一般先将2(,)NX标准化，即 .X三 、解答题：1523 小题，共 94 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（1
12、5） （本题满分 7 分）设 ,求1sin, ,0arctxyfxyy() ；lim,ygfx() .0lix【分析】第()问求极限时注意将 作为常量求解，此问中含 型未定式极限；x,0第()问需利用第()问的结果，含 未定式极限.【详解】() 1sinlim,liarctyy xygxfxx.sin11limarctarctnyyxx() （通分）20001arctnlililiarctnxx xxg 2 2220 001t (1)limlimlimx x xx 【评注】本题为基本题型，注意利用洛必达法则求未定式极限时，要充分利用等价无穷小代换，并及时整理极限式，以使求解简化.（16） （本
13、题满分 7 分） 计算二重积分 ，其中 是由直线 所围成的平面区域.2dDyxD,10yx 【分析】画出积分域，将二重积分化为累次积分即可.【详解】积分区域如右图.因为根号下的函数为关于 的x一次函数， “先 后 ”积分较容易，所以xy1220ddyD.31 12200 0d39yxyy【评注】计算二重积分时，首先画出积分区域的图形，然后结合积分域的形状和被积函数的形式，选择坐标系和积分次序.（17） （本题满分 10 分）证明：当 时，0ab. sin2cossin2cosaa【分析】 利用“参数变易法”构造辅助函数，再利用函数的单调性证明.【详解】 令 ，()ii,0fxxaxb则 ，且
