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1、第六章 IIR数字滤波器的设计,作业：5(2)，9, 10,本章思路：,滤波是信号处理中最为重要的方法，数字滤波器与模拟滤波器相比有很多优势 IIR数字滤波器的设计有两种方法：间接设计法和直接设计法 间接设计法借助模拟滤波器的设计方法来设计数字滤波器，是本章的重点 所以本章内容： a.滤波的基本概念 b.模拟滤波器设计 c.模拟滤波器到数字滤波器的设计方法,6.1滤波的基本概念,滤波就是提取输入信号中的有用频率成分，抑制无用频率成分的信号处理过程。 所谓数字滤波器，是指输入、输出均为数字信号，通过数值运算处理改变输入信号所含频率成分的相对比例，或者滤除某些频率成分的数字器件或程序。,所谓数字滤
2、波器设计，就是要找出满足滤波要求的系统的单位脉冲响应h(n)，或者系统的系统函数H(z).,正因为数字滤波通过数值运算实现滤波，所以数字滤波器处理精度高、稳定、体积小、重量轻、灵活、不存在阻抗匹配问题，可以实现模拟滤波器无法实现的特殊滤波功能。,滤波器,模拟滤波器,数字滤波器,经典滤波器,根据滤波特性来分：低通；高通；带通；带阻 (理想滤波器是不可实现的,只能在一定程度上去逼近),从单位脉冲响应长度来分：IIR-DF；FIR-DF,现代滤波器,寻找在某种准则下的最优解 维纳滤波器，卡尔曼滤波器，自适应滤波器,从对信号处理的作用来分：选频；其他,2 数字滤波器的技术指标 常用的数字滤波器一般属于
3、选频滤波器。假设数字滤波器的频率响应函数H(ej)用下式表示： H(ej)=|H(ej)|ej() 式中，|H(ej)|称为幅频特性函数; ()称为相频特性函数。幅频特性表示信号通过该滤波器后各频率成分振幅衰减情况，而相频特性反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况。因此，即使两个滤波器幅频特性相同，而相频特性不同，对相同的输入，滤波器输出的信号波形也是不一样的。,1. p和s分别称为通带边界频率和阻带截止频率。,2. 从p到s称为过渡带，过渡带上的频响一般是单调下降的,3. 通带频率范围为0|p，在通带中要求(11)|H(ej)|1，阻带频率范围为s|，在阻带中要求|H(ej)|2。,片
4、段常数特性： 对于选频型滤波器，一般对通带和阻带内的幅频响应曲线形状没有具体要求，只要求其波纹幅度小于某个常数，通常将这种要求称为“片段常数特性”。所谓片段，是指“通带”和“阻带”，常数是指“通带波纹幅度1”和“阻带波纹幅度2”，而通带最大衰减p和阻带最小衰减s是与1和2完全等价的两个常数。片段常数特性概念在选频型滤波器设计中很重要，尤其有助于理解IIR数字滤波器的双线性变换设计思想。,图6.1.3所示的单调下降幅频特性，p和s别可以表示为 如果将|H(ej0)|归一化为1，(6.1.3b)和(6.1.4b)式则表示为： ,(6.1.3b),(6.1.4b),(6.1.5),(6.1.6),当
5、幅度下降到 时，标记=c，此时 dB，称c为3 dB通带截止频率。p、c和s统称为边界频率，它们是滤波器设计中所涉及到的很重要的参数。对其他类型的滤波器，(6.1.3b)式和(6.1.4b)式中的H(ej0)应改成 ，0为滤波器通带中心频率。,FIR滤波器不能采用间接法，常用的设计方法有窗函数法、频率采样法和切比雪夫等波纹逼近法。,3 数字滤波器设计方法概述,IIR滤波器设计方法有间接法和直接法,间接法是借助于模拟滤波器的设计方法进行的,其设计步骤是： 先设计过渡模拟滤波器得到系统函数Ha (s)，然后将Ha(s)按某种方法转换成数字滤波器的系统函数H(z)。,模拟高通、带通和带阻滤波器的设计
6、过程是： 先将希望设计的各种滤波器的技术指标转换为低通滤波器技术指标，然后设计相应的低通滤波器，最后采用频率转换法将低通滤波器转换成所希望的各种滤波器。,IIR滤波器设计方法,直接法,间接法,零极点累试法,频域幅度平方误差最小法,时域直接设计法,脉冲响应不变法,双线性变换法,6.2 模拟滤波器的设计 巴特沃斯(Butterworth)滤波器:具有单调下降的幅频特性； 切比雪夫(Chebyshev)滤波器:幅频特性在通带或者阻带有等波纹特性，可以提高选择性； 椭圆(Ellipse)滤波器:选择性是最好的，但通带和阻带内均呈现等波纹幅频特性，相位特性的非线性也稍严重。 贝塞尔(Bessel)滤波器
7、:通带内有较好的线性相位特性；,图6.2.1 各种理想模拟滤波器幅频特性,6.2.1 模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法 本书中，分别用ha(t)、a(s)、Ha(j)表示模拟滤波器的单位冲激响应、系统函数、频率响应函数，三者的关系如下： 可以用ha(t)、Ha(t)、Ha(j)中任一个描述模拟滤波器，也可以用线性常系数微分方程描述模拟滤波器。但是设计模拟滤波器时，设计指标一般由幅频响应函数|Ha(j)|给出，而模拟滤波器设计就是根据设计指标，求系统函数Ha(s)。,损耗函数的优点是对幅频响应|Ha(j)|的取值非线性压缩，放大了小的幅度，从而可以同时观察通带和阻带频响特性的变化情况。直接画出
8、的损耗函数曲线图正好与幅频特性曲线形状相反，所以，习惯将A()曲线称为损耗函数,6.2.2 巴特沃斯低通滤波器的设计 1 巴特沃斯低通模拟滤波器设计原理 巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数|Ha(j)|2用下式表示： (6.2.7) 式中，N称为滤波器的阶数。当=0时，|Ha(j)|=1； =c时， ，c是3 dB截止频率。在=c附近，随加大，幅度迅速下降。,幅度特性与和N的关系如图6.2.4所示。幅度下降的速度与阶数N有关，N愈大，通带愈平坦，过渡带愈窄，过渡带与阻带幅度下降的速度愈快, 总的频响特性与理想低通滤波器的误差愈小。 以s替换j，将幅度平方函数|Ha(j)|2写成s的函数： (6.
9、2.8), (6.2.9) 式中，k=0，1，2，2N-1。,S平面上有2N个极点等角距分布在半径为c的圆上， 极点对称于实轴和虚轴，虚轴上无极点，N为奇数时实轴上有极点, N为偶数时实轴上没有 极点 各极点之间的角距为,将极点表示式(6.2.13)代入(6.2.12)式，得到Ga(p)的分母是p的N阶多项式，用下式表示： （6.2.15） 归一化原型系统函数Ga(p)的系数bk，k=0，1，N1，以及极点pk，可以由表6.2.1得到。另外，表中还给出了Ga(p)的因式分解形式中的各系数，这样只要求出阶数N，查表可得到Ga(p)及各极点, 而且可以选择级联型和直接型结构的系统函数表示形式，避免
10、了因式分解运算工作。,表6.2.1 巴特沃斯归一化低通滤波器参数,1) 计算阶数N和3 dB截止频率c的公式 并考虑巴特沃斯滤波器的单调下降特性(边界频率点若满足指标，则其他频率点必然满足要求。)以及H(j0)=1，可以得到 由于巴特沃斯滤波器的幅度平方函数为,因此 上式两边取指数得到：,两式相除消去c, 得到只有一个未知量N的方程：,令,则,请注意，如果采用(6.2.19)式确定c，则通带指标刚好满足要求，阻带指标有富余； 如果采用(6.2.20)式确定c，则阻带指标刚好满足要求，通带指标有富余。 总结以上，低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下： (1) 根据技术指标p、 p、s和s，用(6.2
11、.18)式求出滤波器的阶数N。 (2) 按照(6.2.13)式，求出归一化极点pk，将pk代入(6.2.12)式，得到归一化低通原型系统函数Ga(p)。也可以根据阶数N直接查表6.2.1得到pk和Ga(p)。,(3) 将Ga(p)去归一化。将p=s/c代入Ga(p)，得到实际的滤波器系统函数 这里c为3 dB截止频率，如果技术指标没有给出c，可以按照(6.2.19)式或(6.2.20)式求出。 【例6.2.1】 已知通带截止频率fp=5 kHz，通带最大衰减 p=2 dB，阻带截止频率fs=12 kHz，阻带最小衰减 s=30 dB，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。,(2) 按照(6.
12、2.13)式，其极点为 按照(6.2.12)式，归一化低通原型系统函数为 上式分母可以展开成五阶多项式，或者将共轭极点放在一起，形成因式分解式。这里不如直接查表6.2.1简单，由N=5直接查表得到： ,极点： 0.3090j0.9511， 0.8090j0.5878, 1.0000 归一化低通原型系统函数为 式中, b0=1.0000，b1=3.2361，b2=5.2361，b3=5.2361，b4=3.2361 分母因式分解形式为 以上公式中的数据均取小数点后四位。,(3) 为将Ga(p)去归一化，先求3 dB截止频率c。按照(6.2.19)式，得到： 将c代入(6.2.20)式，得到: ,
13、此时算出的比题目中给的s小，因此，过渡带小于指标要求。或者说，在s=212 krad/s时衰减大于30 dB，所以说阻带指标有富余量。 将p=s/c代入Ga(p)中, 得到：,6.2.3 切比雪夫滤波器的设计 1 切比雪夫滤波器的设计原理 巴特沃斯滤波器的频率特性曲线，无论在通带还是阻带都是频率的单调减函数。因此，当通带边界处满足指标要求时，通带内肯定会有较大富余量。因此，更有效的设计方法应该是将逼近精确度均匀地分布在整个通带内，或者均匀分布在整个阻带内，或者同时均匀分布在两者之内。这样，就可以使滤波器阶数大大降低。这可通过选择具有等波纹特性的逼近函数来达到。,切比雪夫滤波器的幅频特性就具有这
14、种等波纹特性。它有两种形式： 振幅特性在通带内是等波纹的、在阻带内是单调下降的切比雪夫型滤波器； 振幅特性在通带内是单调下降、在阻带内是等波纹的切比雪夫型滤波器。采用何种形式的切比雪夫滤波器取决于实际用途。图6.2.7(a)和(b)分别画出不同阶数的切比雪夫型和型滤波器幅频特性。,图6.2.7 不同阶数的切比雪夫型和型滤波器幅频特性,6.2.4 椭圆滤波器的设计 椭圆（Elliptic）滤波器在通带和阻带内都具有等波纹幅频响应特性。由于其极点位置与经典场论中的椭圆函数有关，所以由此取名为椭圆滤波器。又因为在1931年考尔（Cauer）首先对这种滤波器进行了理论证明，所以其另一个通用名字为考尔（
15、Cauer）滤波器。椭圆滤波器的典型幅频响应特性曲线如图6.2.10所示。,由图6.2.10(a)可见，椭圆滤波器通带和阻带波纹幅度固定时，阶数越高, 过渡带越窄； 由图6.2.10(b)可见，当椭圆滤波器阶数固定时，通带和阻带波纹幅度越小, 过渡带就越宽。所以椭圆滤波器的阶数N由通带边界频率p、阻带边界频率s、通带最大衰减 p和阻带最小衰减 s共同决定。后面对五种滤波器的比较将证实，椭圆滤波器可以获得对理想滤波器幅频响应的最好逼近，是一种性能价格比最高的滤波器，所以应用非常广泛。,图6.2.10 椭圆滤波器幅频响应特性曲线,6.2.5 五种类型模拟滤波器的比较 前面讨论了四种类型的模拟低通滤
16、波器（巴特沃思、切比雪夫型、切比雪夫型和椭圆滤波器）的设计方法，这四种滤波器是主要考虑逼近幅度响应指标的滤波器，第五种（贝塞尔滤波器）是主要考虑逼近线性相位特性的滤波器。,当阶数相同时，对相同的通带最大衰减 p和阻带最小衰减s，巴特沃思滤波器具有单调下降的幅频特性，过渡带最宽。两种类型的切比雪夫滤波器的过渡带宽度相等，比巴特沃思滤波器的过渡带窄，但比椭圆滤波器的过渡带宽。切比雪夫型滤波器在通带具有等波纹幅频特性，过渡带和阻带是单调下降的幅频特性。切比雪夫型滤波器的通带幅频响应几乎与巴特沃思滤波器相同，阻带是等波纹幅频特性。椭圆滤波器的过渡带最窄，通带和阻带均是等波纹幅频特性。,相位逼近情况: 巴特沃思和切比雪夫滤波器在大约3/4的通带上非常接近线性相位特性，而椭圆滤波器仅在大约半个通带上非常接近线性相位特性。贝塞尔滤波器在整个通带逼近线性相位特性，而其幅频特性的过渡带比其他四种滤波器宽得多。 复杂性: 在
