{企业风险管理}金融风险管理财务风险管理的数理基础

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1、,2,高素養的財務管理人才,現代的財務管理與風險管理的能力不僅需要財金專業的背景，更需要有嚴謹的數理思維訓練，尤其是新型交易工具與策略不斷推出，定價與分析大量資料以評估風險等的能力，需要具備非常好的數理與統計的基礎。 具有堅實計量分析基礎的頂尖商業人才再加上嚴謹的數理思惟訓練，已成為華爾街身價最高的搶手貨。 大量利用如火箭科學（Rocket Science）般艱澀的數學觀念與技巧運用在金融產品上，因此顛覆了傳統的比例分析等簡易的投資分析方法，而成為現今金融分析的主流。,3,2.1 隨機過程與機率分配之建立,隨機變數（Random Variable）：序列中任一時刻所觀察到的值卻是不確定的。 時

2、間數列（Time Series）：隨機變數隨著時間的經過，可以形成一組序列資料，此一跟時間有關而產生的資料。 隨機過程（Random Process） ：這些無法預知的數字稱為隨機變數，產生的過程則稱隨機過程 。,4,機率三項公理,， ：表示機率的數值一定會大零於或是等於零，絕對不會有負值。 ：所有結果出現機率的加總必為一。 若 (A與B為互斥事件)，則 ， 。,5,機率分配函數,又可分為間斷（Discrete）與連續（Continuous）兩種型態。 若函數滿足下列性質(間斷型)： ， ，其中 則稱函數為隨機變數的機率質量函數（Probability Mass Function，P.M.F）

3、。,6,機率分配函數,若函數滿足下述性質(連續型)： ， ，其中 稱函數為隨機變數的機率密度函數（Probability Density Function，P.D.F.）。 累積分配函數（Cumulative Distribution Function，C.D.F.）：,7,2.2 基本的敘述統計量,母體平均數與變異數 樣本平均數與樣本變異數 偏態與峰態 共變數與相關係數,8,2.2.1 母體平均數與變異數,基本統計量了解資料的特性 ：平均數（Mean）、變異數（Variance）、偏態係數（Coefficient of Skewness）、峰態係數（Coefficient of Kutosi

4、s） 。 母體：描述隨機變數的真實性質。 樣本：藉著分析樣本資料來推斷母體的特性。,9,母體平均數（Population Mean）,若為離散型，則 若為連續型，則,10,母體變異數（Population Variance）,若X為間斷型，則 若X為連續型，則,11,2.2.2 樣本平均數與樣本變異數,樣本平均數（Sample Mean）定義為： 樣本變異數定義（Sample Variance）為： s2開根號後取正根稱為標準差，以s表示。,12,表2.1 資產年底可能價值,13,例 子(根據表2.1 ),所以標準差為：,14,變異係數（Coefficient of Variance）,比較兩

5、個隨機變數的標準差或變異數時，會因為兩者的單位不同而無法比較，變異係數（Coefficient of Variance，C.V.）可以避免這樣的問題 。 用以表示每一單位報酬所帶來的風險，也是可以用來衡量不同投資之標的之間相對風險的指標。,15,2.2.3 偏態與峰態,偏態係數可用以瞭解投資獲利與損失的機會是否相等，兩者會不會有顯著差異。 若隨機變數為間斷型，則： 母體偏態係數 若隨機變數為連續型，則： 母體偏態係數,16,樣本偏態係數,偏態係數 以表2.1為例，其樣本偏態係數為： 偏態係數 = = =,17,峰態係數,用以測量資料分佈形狀峰度有多高，因此可用以衡量風險集中密集的程度。 若隨機

6、變數為間斷型，則： 母體峰態係數 若隨機變數為連續型，則： 母體峰態係數,18,峰態係數 (樣本),樣本峰態係數 = 例子(表2.1) 樣本峰態係數 = = =,19,2.2.4 共變數與相關係數,共變數(Covariance)可用以瞭解兩隨機變數x與y之間的關係 。 相關係數（Correlation Coefficient），相關係數不受單位變化影響，一般以希臘字母表示與之間的相關係數 。 相關係數其值均介於（-1,+1）之間 。,20,N種變數組合之平均數與變異數,組合平均數，以 表示： ， 表示資產價值佔總產價值之比例。 包含n 種變數之組合變異數，以 表示： ，,21,2.3 風險管理

7、常見的分配函數,常態分配 卡方分配 Student t 分配 對數常態分配,22,常態分配（Normal Distribution）,常態分配在分析上較易處理，僅需要平均值與變異數就可以表達。 常態分配的圖形為鐘形曲線，具有對稱性。 根據中央極限定理（Central Limit Theorem），使得在抽樣的樣本夠大時，常態分配可做為大樣本的近似分配。 許多資產報酬率假設分配的第一選擇。,23,常態分配之機率分配函數,機率分配函數： 表示變數的機率密度函數，其值由x、及所決定。因此整個常態分配的形狀只需要平均數與標準差就可以表達。稱為位置參數，可以影響圖形中心的位置；則為尺度參數,，愈大表圖形

8、散的愈開（通常也意味著波動越大）。,24,常態分配之偏態係數,常態分配之偏態係數為0。 若偏態係數大於零，則稱該機率分配正偏態或右偏態（Skewed to the Right），意味機率分配圖形往右延伸，而且出現的結果多分布在平均數的左側；反之，若偏態係數小於零，則稱該機率分配負偏態或左偏態（Skewed to the Left），意味圖形往左延伸，而且出現的結果多分布在平均數的右側。,25,偏態效果：右偏態與左偏態（與常態分配比較）,26,常態分配之峰態係數,常態分配之峰態係數為+3。 再以峰態係數而言，是次數分配曲線與常態曲線比較，是較為尖峻或平坦（參見圖2.5），若當分配之峰態係數大於常

9、態分配的3時，便稱該分配具有高狹峰（Leptokurtosis）或有厚尾（Fat-Tailed）的現象，此時極端事件出現的機率比常態分配預測的要來的高；反之，若分配之峰態係數小於常態分配的3時，便稱該分配具有低闊峰（Platykurtosis）或有窄尾（Thin-Tailed）的現象，此時極端事件出現的機率比常態分配預測的要來的低。,27,峰態效果：高狹峰與低闊峰（與常態分配比較）,28,標準常態分配,然而為了避免處理不同常態分配而擁有不同參數的研究困難，可以近一步將常態分配轉換。常態分配的優點是不論其平均數和標準差之值為何，均可經過標準化的變換，轉換成平均數為 0 和標準差為 1 的標準常態

10、分配。 標準化： 分配函數變成為：,29,圖2.6 標準常態分配區域圖,值,30,2.3.2卡方分配,將標準常態分配加以平方後所得到的機率分配，以來表示。 假設個獨立之常態隨機變數，其平均數分別為 ， 變異數為 ， 所以： 則稱隨機變數是自由度為n的卡方分配，其平均數 ，變異數 。,31,卡方分配的性質,卡方分配為常態分配平方，故其值永遠為正。 當自由度越來越大時，分佈將會越來越趨近常態分佈。,32,2.3.3 Student t 分配,假設X與Y為獨立之隨機變數，分別服從標準常態分配N(0,1)與自由度為的卡方分配，則下列隨機變數被稱做是具有自由度n的t分配（t Distribution w

11、ith n Degrees of Freedom），一般以tn表示：,33,利用t 分配,母體服從 母體變異數未知且為小樣本時，則： 其中：,34,圖2.8 t分配與標準常態分配之機率分配圖形,t 分配相較於常態分配而言具有厚尾的特徵，且隨著樣本數目n 越大，t分配將越來越接近常態分配。,35,2.3.4 對數常態分配,如果x lognormal，則ln x normal。 如果x normal，則ex lognormal。 對數常態分配的機率分配函數 ：,，,，,36,2.4 信賴區間與信賴水準,在給定水準之下，信賴區間可以用來預測未來事件發生可能範圍。 信賴區間的表示方法 ： 信賴水準（C

12、onfidence Level）則進一步提供了精確的預測值，而非一個區間。,37,2.5 蒙地卡羅模擬法,是一種數值研究方法，主要是利用隨機取樣 （Random Sampling）的方式來模擬隨機變數的機率分配，進而取得一些重要的參數。 該法可以模擬未來特定期間下，對可能發生之不同情境與其相對應之資產價格可能變化，利用一個隨機過程來重複模擬，以建立投資組合於未來特定期間之損益（或報酬）的分配，因此特色就是不需要就隨機變數的統計分配預先加以假設或預測 。,38,2.6 迴歸分析,相關與簡單迴歸分析 判定係數與檢定 多重迴歸分析,39,2.6.1 相關與簡單迴歸分析,簡單迴歸模型首先假設X 與Y

13、之間符合下列線性關係： 估計方程式 ： 運用此方法之前仍需滿足下列幾個條件： - 因變數y與自變數x之關係是直線的。 - 殘差與自變數之間互相獨立。 - 自變數為已知，而且非隨機（Nonstochastic）。 - 殘差項具有期望值為0、常態分布、獨立及變異一致性。,40,普通最小平方法,尋找儘量使得下列的殘差平方和（Sum of Squared Error，SSE）為最小值的方法： 利用OLS:,41,2.6.2判定係數與檢定,R2的值可以滿足 R2 。 R2愈高代表配適度較佳，也就是迴歸模型有 較高的解釋與預測能力 。 計算方式如下式：,or,42,的兩個性質,因為真實的母體殘差變異數 不

14、容易得到，因此以樣本殘差變異數 （Sample Residual Variance）代替， 的計算方式為：,43,檢定 是否顯著異於零,0 = 0 1 0 為符合自由度為 n-2 的 t 分配，故只要計算： 查表之後，如果我們發現檢定t值是顯著異於零的話，則表示因變數Y與自變數X兩者之間具有顯著的統計相關程度，因此就要拒絕虛無假設H0。,44,2.6.3多重迴歸分析,多重線性迴歸模型表示如下： 超過一個以上的自變數，因此需要一個額外的假設 ： 自變數之間沒有線性相關的問題，而且 樣本的個數要大於估計的參數數量。 虛無假設與對立假設 ： H0： v.s. H1 ,，,2.7 馬克勞林展開式,所謂的馬克勞林展開式（McLavren Expansion）或馬克勞林級數（Series）是屬於泰勒展開式（Taylor Expansion）的一種，在財務資產的評價估計上經常被使用到，也是財務數值方法的基本。 其概念就是把任何函數轉換成用多項式的表示方式來逼近，目的就是要利用微分與積分工具，來剖析函數的結構。,馬克勞林展開式的定義,的馬克勞林展開式,