苏教版高三数学复习课件85空间直角坐标系培训讲学

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1、了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置/会推导空间两点间 的距离公式 1对空间直角坐标系，主要考查空间点的坐标的写法及两点间距离的求 法，以填空题形式出现 2空间直角坐标系作为辅助工具，协助求解立体几何中的若干问题,【命题预测】,第5课时 空间直角坐标系,1对于空间直角坐标系的坐标轴的记忆，可以联系平面直角坐标系的特点进行类比记忆，包括一些公式，都可以采用类比记忆法对于坐标轴可以记忆为“横为x，纵为y，z轴竖立直起来”也可以根据课本中介绍的右手直角坐标系的方法进行记忆 2对于空间的坐标运算可以结合平面坐标中的运算公式，有些公式可以直接把平面坐标的性质扩展到空间内，但是要注意在平面坐标

2、系中与坐标轴垂直的问题，在空间坐标系中通常需要与坐标平面垂直,【应试对策】,3在空间直角坐标系中，直线与平面之间的距离或者求坐标问题都可以使 用平面几何与立体几何的性质加以研究同平面直角坐标系一样，有很多 性质在空间直角坐标系中也成立，例如，P1(x1，y1，z1)和P2(x2，y2，z2)的中 点坐标公式为 . 4在空间直角坐标系中，如果一点的坐标不是确定的，而是满足某种条件，我们可以根据条件建立坐标之间的关系，即建立一个方程，方程和点的运动轨迹可以建立对应关系，这样得到的方程就是空间曲线的方程,在空间直角坐标系中平面的方程、直线的方程 在空间直角坐标系中，平面的方程为AxByCzD0(A、

3、B、C不同时为0) 直线的方程为,【知识拓展】,1空间直角坐标系 (1)从空间某一个点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴：x轴、y轴、 z轴，这样就建立了空间直角坐标系Oxyz，点O叫做 ，x轴、y 轴、z轴叫做 这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为 xOy平面， 平面， 平面,坐标原点,坐标轴,yOz,zOx,(2)右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系 (3)点的坐标 对于空间任意一点A，作点A在三条坐标轴上的射影，即经过点A作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴，它们与x轴

4、、y轴和z轴分别交于P，Q，R.点P，Q，R在相应数轴上的坐标依次为x，y，z，我们把有序实数组(x，y，z)叫做点A的 ，记为A(x，y，z),坐标,(4)中点坐标公式：平面上中点坐标公式可推广到空间，即设A(x1，y1，z1)， B(x2，y2，z2)，则AB的中点为：P . 思考：空间中的点与有序实数组(x，y，z)有怎样的对应关系？ 提示：一一对应的关系,2空间两点间的距离公式 空间中的两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离： P1P2 特别地，空间任意一点P(x，y，z)与原点O间的距离：OP .,1点(1,0，9)关于原点的对称点为_ 答案：(1,0,9)

5、 2点(1，1,3)与点(2，4,6)之间的距离为_ 解析：所求距离为 . 答案：,3点(10,4，2)关于点(0,3，5)的对称点的坐标是_ 解析：设(x，y，z)为所求，则x100,4y6，2z10，所以x 10，y2，z8. 答案：(10,2，8),4已知点P在z轴上，且满足|PO|1(O是坐标原点)，则点P到点A(1,1,1)的 距离是_ 解析：由题意P(0,0,1)或P(0,0，1)，所以|PA| . 答案：,5在ABC中，若A(1,2,3)，B(2，2,3)，C ，则AB边上的中 线CD的长度为_ 解析：A(1,2,3)，B(2，2,3)，D . |CD| . 故AB边上的中线长为

6、 . 答案：,(1)确定空间定点M的坐标的步骤：过点M分别作垂直于x轴、y轴和z轴的 平面，依次交x轴、y轴和z轴于P、Q和R.确定P、Q和R在x轴、y轴和z轴上 的坐标x、y和z.得出点M的坐标为(x，y，z) (2)已知M点坐标为(x，y，z)确定点M位置的步骤：在x轴、y轴和z轴上依 次取坐标为x、y和z的点P、Q、R.过点P、Q、R分别作垂直于x轴、y轴和z 轴的平面，如果三个平面交于一点，那么这个点就是坐标为(x，y，z)对应 的点M.在建立空间直角坐标系求点的坐标时，要使尽可能多的点落在坐标轴上，尽可能多的线段平行于坐标轴，有直角的，把直角边放在坐标轴上,【例1】 已知VABCD为

7、正四棱锥，O为底面中心，AB2，VO3，试建 立空间直角坐标系，并求出各顶点坐标 思路点拨：由于正四棱锥VABCD的顶点V在底面上的射影为底面的中心 O，且O为正方形ABCD的两条对角线AC，BD的交点，故以O为坐标原点， OB，OC，OV所在的直线为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,解：解法一：建立空间直角坐标系，如图甲所示， 正方形ABCD的边长AB2，AOOCOBOD . 又VO3，A(0， ，0)，B( ，0,0)，C(0， ，0)，D( ，0,0)， V(0,0,3) 解法二：以底面中心O为坐标原点，建立如图乙所示的空间直角坐标系，则A(1，1,0)，B(1,1,0)，C(

8、1,1,0)，D(1，1,0)，V(0,0,3),变式1：如右图所示，四棱锥PABCD的底面是边长为2的正方 形，侧棱PA底面ABCD，PA2，M、N分别为AD、BC的 中点，试建立适当的坐标系，写出P、A、B、C、D、M、N的坐标 解：以A为坐标原点，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y 轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)、 B(2,0,0)、C(2,2,0)、D(0,2,0)、M(0,1,0)、N(2,1,0)、P(0,0,2),利用空间两点之间的距离公式除了可以求距离之外，还可以根据距离公式 求点的坐标或点的坐标满足的方程以及判断三角形的形状求三角形的面积 等

9、,【例2】 (1)在z轴上求与两点A(4,1,7)和B(3,5，2)等距离的点；(2)证明： 以A(4,3,1)，B(7,1,2)，C(5,2,3)为顶点的ABC是等腰三角形 思路点拨：(1)首先要明白z轴上点的坐标的特点， 再代入两点之间的距离公 式即可(2)证明三角形是等腰三角形，只需证明其中有两边的长度相等， 也即只需证明其中两点的距离相等,(1)解：z轴上的点横坐标和纵坐标都为零，故设所求点为M(0,0，z)依题 意，有MAMB， 即 ， 两边平方，解得z ，因此，所求点为M . (2)证明：由两点间的距离公式，得AB ， BC ， CA ， 由于BCCA ，ABC是等腰三角形,变式2

10、：(2010广东模拟题)如右图所示，以棱长为a的正方体 的三条棱所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，点P在正 方体的对角线AB上，点Q在棱CD上 (1)当点P为对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，探究PQ 的最小值； (2)当点P在对角线AB上运动，点Q在棱CD上运动时，探究PQ 的最小值,解：(1)因为B(0,0，a)，A(a，a,0)，P为AB的中点，所以P .又因为Q在CD上运动，所以可设Q(0，a，z0)， 其中z00，a，因此PQ ， 可知，当z0 时，PQ取最小值 a.,(2)显然，当P在AB上运动时，P到坐标平面xOz、yOz的距离相等，且P在第一卦限，所以可设P(t，t，

11、at)，t0，a，又Q在CD上运动，所以可设Q(0，a，z0)，z00，a， 所以PQ ，当且仅当z0t 时，PQ取最小值 a.,1常见对称点的坐标规律：在空间直角坐标系中，已知点P(x，y，z)，则点 P：(1)关于原点的对称点是(x，y，z)(2)关于x轴的对称点是 (x， y，z)(3)关于y轴的对称点是(x，y，z)(4)关于z轴的对称点是(x，y，z)(5)关于xOy坐标面的对称点是(x，y，z)(6)关于yOz坐标面 的对称点是(x，y，z)(7)关于zOx坐标面的对称点是(x，y，z),2中点坐标公式：若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则线段AB的中点P的坐 标为

12、 . 3利用中点坐标公式也可求对称点的坐标,【例3】 求点A(1,2，1)关于x轴及坐标平面xOy的对称点B、C的坐标，以 及B、C两点间的距离 思路点拨：通过点A向平面xOy及x轴作垂线 解：如右图所示，过A作AMxOy交平面于M，并延长到C，使CMAM， 则A与C关于坐标平面xOy对称且 C(1,2,1)过A作ANx轴于N，并延长到点B，,使NBAN，则A与B关于x轴对称且B(1，2,1) A(1,2，1)关于坐标平面xOy对称的点C坐标为(1,2,1)； A(1,2，1)关于x轴对称的点B坐标为(1，2,1) |BC| 4.,变式3：求点P(1,2,3)关于坐标平面、坐标轴及原点的对称点

13、的坐标 解：(1)关于xOy平面的对称点坐标为(1,2，3)关于xOz平面的对称点坐 标为(1，2,3) 关于yOz平面的对称点坐标为(1,2,3) (2)关于x轴的对称点坐标为(1，2，3) 关于y轴的对称点坐标为(1,2，3)关于z轴的对称点坐标为(1，2，3) (3)关于坐标原点的对称点坐标为(1，2，3).,1建立空间直角坐标系后，可以把空间抽象的推理求值转化为具体的坐标 运算因此正确确定空间直角坐标系内点的坐标，以及由点的坐标正确判 断点的位置成为解题的关键 2在识图和标图时，一是要从直观图的角度来确定点的位置和坐标；二是 要习惯使用右手直角坐标系,【规律方法总结】,3特别情况，当z

14、1z20时，点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)都在xOy平面 内，空间两点的距离公式就成了平面内两点的距离公式： P1P2 . 因此，平面内两点的距离公式是空间两点的距离公式的特例.,【例4】 (本小题满分14分)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90， ABACAA12，M为BC1的中点，N为A1B1的中点，求|MN|. 规范解答：如图，以A为原点，AB，AC，AA1为x轴，y轴，z轴的正半轴建立空间直角坐标系，4分 则B(2,0,0)，C1(0,2,2)，A1(0,0,2)，B1(2,0,2)，9分 N(1,0,2)，M(1,1,1)，12分 MN . 14分,1以

15、长方体的一个顶点为原点，建立空间直角坐标系，将长方体的各个点 表示出来(已知长方体长、宽、高分别为3、4、5) 解：建立如图所示的空间直角坐标系， |AB|3，|BC|4，|BB1|5， 各点的坐标为：O(0,0,0)，A(4,0,0)，B(4,3,0)，C(0,3,0)，D1(0,0,5)， A1(4,0,5)，B1(4,3,5)，C1(0,3,5),2四棱锥PABCD中，底面ABCD是一直角梯形，BAD90，ADBC，ABBCa，AD2a，PA底面ABCD，PDA30，AEPD.试建立适当的空间直角坐标系，求出各点的坐标 解：如图所示，以点A为坐标原点，以AB、AD、AP所在的直线分别为x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系ABBCa， 点A(0,0,0)，B(a,0,0)，C(a，a, 0) |AD|2a，D(0,2a,0)PA底面ABCD，PAAD.,又PDA30，|PA|AD|tan 30 a.故点P . 面PAD面ABCD.过E作EFAD于F，则F为E在底面ABCD内的射影在 RtAED中， EDA30，|AE| |AD|a