第二章线性系统的数学描述1教学材料

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1、自动控制原理,杭州电子科技大学 “自动控制原理”精品课程课题组 2009. 10,2006年度浙江省精品课程,第二章 线性系统的数学描述,引言 2.1 线性系统的时域数学模型 2.2 传递函数 复数域数学模型 2.3 结构图 2.4 信号流图,引言,数学模型的含义 数学模型：用数学的方法和形式表示和描述系统中各变量间的关系。 分析和设计控制系统，首先要建立它的数学模型。,控制系统中常见的三类数学模型 输入输出描述，或外部描述 用数学方式把系统的输入量和输出量之间的关系表达出来。 微分方程、传递函数、频率特性和差分方程 。,状态空间描述或内部描述 不仅可以描述系统输入、输出之间的关系，而且还可以

2、描述系统的内部特性。 它特别适用于多输入、多输出系统， 也适用于时变系统、非线性系统和随机控制系统 图形化表示：用比较直观的结构图（方块图）和信号流图进行描述。 注：同一系统的数学模型可以表示为不同的形式，需要根据不同的情况对这些模型进行选择使用。,建立数学模型的两种基本方法 机理分析法： 依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学 规律列写出相应的数学关系式，建立模型。 适用于比较简单的系统 实验辨识法： 人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。 适用于复杂系统,数学模型的概括性 许多表面上完全不同的系统（如机械系统、电气系统、液压系

3、统和经济学系统）有时却可能具有完全相同的数学模型。 数学模型表达了这些系统的共性。 数学模型建立以后，研究系统主要是以数学模型为基础分析并综合系统的各项性能，而不再涉及实际系统的物理性质和具体特点。,由数学模型确定系统性能的主要途径,本章将重点讨论以下几类控制系统模型 微分方程 单位脉冲响应 传递函数 方块图（结构图） 信号流图,2.1 线性系统的时域数学模型,目的：从时间域角度，建立系统输入量（给定值）和系统输出量（被控变量）之间的关系。 两种描述：微分方程描述、单位脉冲响应描述。,线性系统的微分方程描述（机理建模法） SISO线性定常系统的输入输出关系微分方程描述的标准形式,(2-1),式

4、中 r(t)：系统的输入信号； c(t)：输出信号； ai(i=1,2,n)和bj(j=0,1,m)是由系统的结构参数决定的系数。,几点说明： 控制系统中输出量和输入量通常都是时间的函数； 很多常见的元件或系统的输出量和输入量之间的关系都可以用一个微分方程表示，方程中含有输出量、输入量及它们各自对时间的导数或积分； 控制系统的微分方程又称为动态方程或运动方程； 微分方程的阶数一般是指方程中最高导数项的阶数，又称为系统的阶数。,列写系统微分方程的步骤 划分不同环节，确定系统输入量和输出量； 写出各环节（元件）的运动方程； 消去中间变量，求取只含有系统输入和输出变量及其各阶导数的方程； 化为标准形

5、式。,例2-1：图2-1是由电阻R、电感L和电容C组成的无源网络，试列写以 为输入量，以 为输出量的网络微分方程。 解 设回路电流为i(t)，由基尔霍夫电压定律可写出回路方程为,消去中间变量i(t)，可得描述该无源网络输入输出关系的微分方程 (2-2)式也可以写为 其中： ， 。 这是一个典型的二阶线性常系数微分方程，对应的系统称为二阶线性定常系统。,(2-3),(2-2),例2-2： 图2-2是一个由理想运算放大器组成的电容负反馈电路 。电压 和 分别表示输入量和输出量，试确定这个电路的微分方程式。,解 理想运算放大器正、反相输入端电位相同，且输入电流为零。根据基尔霍夫电流定律有 整理后得

6、或者为 式中T=RC为时间常数。方程(2-4)和(2-5)就是该系统的微分方程，这是一个一阶系统。,(2-4),(2-5),例2-3: 图2-3表示一个含有弹簧、运动部件、阻尼器的机械位移装置。外力 f(t) 是系统的输入量，位移 y(t) 是系统的输出量。试确定系统的微分方程。,解 根据牛顿运动定律，系统的运动方程为 或写成 思考：比较表达式(2-3)和(2-7)可以得到什么结论,(2-6),(2-7),例2-4：图2-4表示一个单摆系统，输入量为零（不加外力），输出量为摆幅(t)。试建立系统的的运动方程。,解 对于图2-4所示的单摆系统，根据牛顿运动定律可以直接推出如下系统运动方程 显然方

7、程(2-8)是一个二阶的非线性微分方程，但是在摆幅较小的情况下，单摆运动方程可以认为是线性的,(2-8),(2-9),相似系统和相似变量 数学模型相同的各种物理系统称为相似系统； 在相似系统的数学模型中，作用相同的变量称为相似变量。 根据相似系统的概念，一种物理系统研究的结论可以推广到其相似系统中。 可以用一种比较容易实现的系统模拟其他较难实现的系统。,*非线性微分方程的线性化,为什么要研究非线性方程的线性化问题？ 系统、元件非线性特性的普遍存在性； 精确描述系统的动态方程通常为非线性微分方程； 高阶非线性微分方程除计算机求解外，无一般形式的解，这给研究系统带来理论上的困难； 线性微分方程理论

8、比较成熟。,图2-5 非线性特性,1、对弱非线性的线性化 对于2-5(a)，当输入信号很小时，忽略非线性影响，近似为放大特性； 对于2-5(b)、(c)，当死区或间隙很小时，也可近似为放大特性。,2、平衡位置的小偏差线性化 考虑输入、输出变量之间的非线性关系y=f(x),系统经常工作在平衡点A(x0,y0)处，则A点附近的输入、输出关系可用Talor级数展开的方法得到，即 当x很小时，可得 上式是A点处的切线方程。 采用平衡点A处的切线方程代替非线性方程y=f(x),这就是小偏差线性化的几何意义。,若非线性函数具有两个自变量，如z=f(x,y)，则在平衡点展成Talor级数后的线性方程为 经上

9、述处理，有些非线性关系可以近似用线性关系表示，简化问题研究。 对于强非线性情况（图2-5(d)），不可能对其进行线性化处理，只能采用非线性理论来分析。（第八章详细讨论）,复习回顾,控制系统的工程要求 控制系统的建模 机理分析法建立微分方程 输入输出 中间变量及机理分析 弱非线性方程的线性化处理 作业点评 1-4（6）线性时变,二、*实验辨识法建模单位脉冲响应描述 实验辨识法：利用输入、输出的实验数据建立系统数学模型的方法 辨识前提：系统是线性定常、零初始条件（t0时刻系统的响应及其各阶导数均为零）。则有 其中，c(t)和 r(t)是系统的输出和输入（已知）。,辨识任务：确定算子 H （由系统本

10、身的特性决定）。 辨识方法：通过已知输入信号作用下系统的响应，来确定任意输入信号作用下系统的响应 。 优点：零初始条件下，内部结构未知的LTI系统，可以通过测量系统的输入及响应的实验数据，经过一定的处理求得其数学模型。,1、单位脉冲响应建模 脉冲函数的概念 单位脉冲响应：零初始条件下的LTI在(t)作用下的输出;即g(t)=H(t)。 如果输入信号为A(t-) ，则系统脉冲响应为Ag(t-) ; 进一步将作用在系统上的任一分段连续函数用一系列长方形常值脉冲信号叠加，即,则零初始条件下LTI系统在任一输入r(t)作用下的响应可近似表示如下 如果脉冲宽度足够小，即=d，并将和式取为积分式，则有如下

11、卷积公式 其中,是输入作用时刻，t是观测系统响应的时刻。 对于 t ，根据因果系统和零初始条件的约定有g(t-)=0, (t ), 所以有 作变量代换，可得到卷积公式的另一种形式 结论：(2-1)和(2-10)、(2-11)均为LTI系统的时域模型，且等价。,(2-10),(2-11),2.2 传递函数-复数域数学模型,为什么要研究LTI系统的传函表示？ Laplace变换的回顾 传递函数的定义 建立LTI系统传递函数模型的两种途径：微分方程、卷积公式 传递函数特点和有关概念,一、为什么要研究LTI系统的传函表示？ 微分方程是系统的时域数学模型，给定外部作用和初始条件下，求解微分方程可以得到系

12、统的输出响应。 方法直观，借助计算机可快速、准确求出方程的解。 但是如果系统的结构改变或某个参数变化时，就要重新列写并求解微分方程，不便于对系统进行分析和设计。,拉普拉斯（Laplace）变换（简称拉氏变换）是求解线性常微分方程的有力工具，它可以将时域的微分方程转化为复频域中的代数方程，并且可以得到控制系统在复数域的数学模型传递函数。 传递函数不但可以反映系统的输入、输出动态特性，而且可以间接反映结构和参数变化对系统输出的影响。,从卷积公式建立系统的数学模型首先要确定系统单位脉冲响应的解析函数描述g(t)。 实验中得到的只是单位脉冲响应的曲线或各采样时刻的值，将这个曲线或采样序列转化为连续时间

13、函数是很复杂的。 经典控制理论中广泛采用的频域法和根轨迹法，就是以传递函数为基础建立起来的。 传递函数是经典控制理论中最基本和最重要的概念。,二、Laplace变换的回顾 1、拉氏变换的定义 若将实变量 t 的函数 f(t) 乘上指数函数e-st（其中 是一个复数），并且在 上对 t 积分，就可以得到一个新的函数F(s)，称F(s)为 f(t) 的拉氏变换，并用符号Lf(t)表示。 通常将F(s)称作的 f(t) 象函数，将 f(t) 称作F(s)的原函数。,2、拉氏变换的基本定理 线性定理 微分定理 如果初始条件 成立，则有 积分定理 初值定理 终值定理,三、传递函数的定义 线性定常系统的传

14、递函数，定义为零初始条件下，系统输出拉氏变换与输入拉氏变换之比 。 四、建立LTI系统传递函数模型的两种途径 从卷积公式角度建立TF模型 从微分方程角度建立TF模型 电气网络运算阻抗法直接建立TF模型,1、从卷积公式角度建立TF模型 对卷积公式(2-10)进行拉氏变换有 即 称G(s)为系统的传递函数。,结论： 传递函数是单位脉冲响应函数g(t) 的拉氏变换。 零初始条件下线性定常系统输出拉氏变换和输入拉氏变换的比。,2、从微分方程角度建立TF模型 设线性定常系统由下面的n阶线性常微分方程描述： 如果系统满足如下零初始条件,则根据拉氏变换的定义和性质，对微分方程进行拉氏变换，并令 、 ，从而可

15、得 由传递函数的定义可得 M(s)和N(s)分别称为传递函数G(s)的分子多项式和分母多项式。,五、传递函数的特点和有关概念 传递函数的概念适用于线性定常系统 传递函数是在零初始条件下定义的 传递函数概念主要适用于单输入、单输出的情况 传递函数是复变量s的有理真分式函数 传递函数与线性常微分方程一一对应 传递函数的特征方程、零点和极点 传递函数的三种形式 传递函数不能反映系统或元件的学科属性和物理性质（物理性质和学科类别截然不同的系统可能具有完全相同的传递函数 ）。,六、 典型环节（基本环节、基本单元）的数学模型 为什么要研究典型环节的数学模型？ 任何一个复杂系统都是由有限个典型环节组合而成的

16、。 从数学角度讲，一切有理分式传递函数都是由这些基本单元组成的。 典型环节通常分为以下八种。,一般形式传递函数的典型化分解,注意： 典型环节是根据微分方程划分的，不是具体的物理装置或元件。 一个典型环节往往由几个元件之间的运动特性共同组成。 同一元件在不同系统中作用不同，输入输出的物理量不同，可起到不同环节的作用。,比如：振荡环节由电位计、电容、电感三个元件构成,比例环节/放大环节 比例环节又称放大环节，该环节的运动方程和相对应的传递函数分别为 式中K为增益。 特点：输入输出量成比例，无失真和时间延迟。 实例：电子放大器，齿轮，电阻（电位器），感应式变送器等。,惯性环节 惯性环节又称非周期环节，该环节的运动方程和相对应的传递函数分别为 式中为T 时间常数，K为比例系数。