《复变函数复级数的基本性质教学教材》由会员分享，可在线阅读，更多相关《复变函数复级数的基本性质教学教材（26页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、4.1复级数的基本性质,2、复数项级数,3、复函数项级数,4、解析函数项级数,1、复数列的极限,1、 复数列的极限,定义,记作,复数列收敛的条件,那末对于任意给定的,就能找到一个正数N,证,从而有,所以,同理,定理：数列收敛的Cauchy准则,课堂练习:,下列数列是否收敛? 如果收敛, 求出其极限.,1.定义,表达式,称为复数项级数.,称为级数的部分和.,部分和：,若部分和数列sn(n=1,2,)以有限复数s为极限,2、复数项级数,即,收敛与发散（敛散性）,注： 与实数项级数相同, 判别复数项级数敛散性的基本方法是:,则称复数项无穷级数(4.1)收敛于s,且称s为(4.1)的和,写成,否则若复
2、数列sn(n=1,2,)无有限极限,则称级数(4.1)为发散.,定理4.1 设 n=an+ibn(n=1,2,),an及bn为实数,则复级数(4.1)收敛于s=a+ib(a,b为实数)的充要条件为:,分别收敛于a及b.,复数项级数收敛的条件,实数项级数,注：该定理的说明复数项级数的审敛问题可转化为,实数项级数的审敛问题,分别收敛于a及b,解,例1、,所以原级数发散,定理4.2 (Cauchy准则)复级数(4.1)收敛的充要条件为:对任给0,存在正整数N(),当nN且p为任何正整数时 |n+1+ n+2+ n+p|,推论2 收敛级数的各项必是有界的.,推论1 收敛级数的通项必趋于零:,(事实上，
3、取p=1,则必有|an+1|)，常用其等价命题：,不存在，则级数(4.1)发散,推论3 若级数(4.1)中略去有限个项,则所得级数与原 级数同为收敛或同为发散.,定理 4.3 复级数(4.1)收敛的一个充分条件为级数 收敛.,|an+1+an+2+an+p|an+1|+|an+2|+|an+p|,定义4.2 若级数 收敛,则原级数 称 为绝对收敛;非绝对收敛的级数,称为条件收敛.,绝对收敛与条件收敛,证 由于,若 收敛,则由定理4.2,必 收敛,定理4.4 (1)一个绝对收敛的复级数的各项可以 任意重排次序,而不改变其绝对收敛性,亦不改变其 和.(2)两个绝对收敛的复级数 s=a1+a2+an
4、+ s/=a1/+a2/+an/+ 可按右图所示的对角 线法（Cauchy乘积）,得出乘积级数,a1a1+(a1a2+a2a1)+(a1an+a2an-1+ +ana1)+ 它收敛于ss.,下列数列是否收敛, 如果收敛, 求出其极限.,而,解,例2、,所以数列发散.,例3,解,级数满足必要条件,但,例4,故原级数收敛, 且为绝对收敛.,因为,所以由正项级数的比值判别法知:,解,定义4.3 设复变函数项级数 f1(z)+f2(z)+f3(z)+fn(z)+ (4.2) 的各项均在点集E上有定义,且在E上存在一个函数f(z),对于E上的每一点z,级数4.2均收敛于f(z),则称f(z)为级数(4.
5、2)的和函数,记为:,任给0,以及给定的zE,存在正整数N=N(,z), 使当nN时,有|f(z)-sn(z)|,式中:,3、复函数项级数,用N的说法来描述这件事就是:,定义4.4 对于级数(4.2),如果在点集E上有一个函数f(z), 使对任给的0,存在正整数N=N(z),当nN时,对一切 的zE均有 |f(z)-sn(z)|, 则称级数(4.2)在E上一致收敛于f(z). 记作:,定理4.5 (柯西一致收敛准则)级数(4.2)在点在点集E上 一致收敛于某函数的充要条件是: 任给的0,存在正整数N=N(),使当nN时,对于 一切zE,均有 |fn+1(z)+fn+p(z)| (p=1,2,)
6、.,Weierstrass优级数准则: 如果整数列Mn(n=1,2,), 使对一切zE,有|fn(z)|Mn (n=1,2,),而且正项 级数 收敛,则复函数项级数 在点集E上 绝对收敛且一致收敛: 这样的正向级数 称为函数项级数 的优级数.,定理4.6 设级数 的各项在点集E上连续,并且一 致收敛于f(z),则和数 也在E上连续.,定理4.7 设级数 的各项在 曲线C上连续,并且 在C上一致收敛于f(z),则沿C可以逐项积分:,定义4.5 设函数fn(z)(n=1,2,)定义于区域D内,若级数 (4.2)在D内任一有界闭集上一致收敛,则称此级 数在D内闭一致收敛.,定理4.8 设级数(4.2
7、)在圆K:|z-a|R内闭一致收敛的充要条件为:对于任意正数,只要R,级数 (4.2)在闭圆K:|z-a| 上一致收敛. 证 必要性 因为K,就是K 内的有界闭集. 充分性 因为圆K内的任意闭集F,总可以 包含在圆K内的某个闭圆Kp上. 显然,在区域D内一致收敛的级数必在D内内 闭一致收敛,但其逆不真.例如我们考察几何级数,当|z|1时,此级数收敛,但不一致收敛.可是由例4.2知它在单位圆|z|1内是内闭一致收敛的.,定理4.9 设 (1)fn(z) (n=1,2,)在 区域D内解析,则 (1) f(z)在区域D内解析,4、解析函数项级数,在区域D内内闭一致收敛于函数f(z):,证 (1)设z0为D内任一点,则必有0,使闭圆K: |z-a| 全含于D内.若C为圆K:|z-z0| 内任一围 线,则由柯西积分定理得,再由假设即知级数 在K上一致收敛,且fn(z) 是连续的.所以有定理4.6知f(z)在K上连续,由定 理4.7得,于是,由摩勒拉定理知f(z)在K内解析,即f(z)在点 z0解析.由于z0的任意性,故f(z)在区域D内解析.,(p=1,2,),(2) 设z0为D内任一点, 则必有 0，使闭圆K: |z-z0| 全含于D内,K的边界是圆周:|z-z0|= 故有定理3.13有,在上由条件(2)知级数,是一致收敛的.于是由定理4.7得到,两端同乘以 就得到所要证明的,
